Cours d'introduction à la mécanique quantique

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Extrait

Introduction`alame´caniquequantique

Alice Sinatra septembre 2008

Contents 1 Ondes et particules en physique classique 2 1.1 Particule ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ´ 1.2Energieme´canique...............................4 1.3 Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4Interf´erenceentredeuxondes.........................7 1.5Repr´esentationcomplexedesondes......................7 2 Les particules quantiques : ni ondes ni particules 9 2.1Exp´eriencedestrousd’Youngavecuneondelumineuse...........9 2.2L’expe´riencedestrousd’Youngavecdesprojectiles.............11 2.3L’exp´eriencedestrousd’Youngavecdesparticulesquantiques.......11 3Une“onde”comme“amplitudedeprobabilite´”13 3.1Amplitudedeprobabilite´etprobabilite´....................13 3.2 Fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Les relations onde-particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.4Leprinciped’ind´eterminationdeHeisenberg.................16 3.5 La taille d’un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4Unmod`elesimpledel’atomed’hydrog`ene20 4.1Se´riesspectroscopiquesetniveauxd’´energie.................20 4.2Lemod`eledeBohr...............................22

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Ondes et Particules2 4.3Discussioncritiquedumod`eledeBohr....................24 4.4Fonctionsd’ondedel’electrondansl’atomed’hydroge`ne...........25 ´ 5L’e´quationdeSchro¨dingeretlaquantificationdel’´energie28 ´ 5.1 Equation de Schr¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 o 5.2 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ˆ 5.3 Fonctions propres deH.3..0........´etatssteter.s....taoinnia 5.4Quantificationdel’´energie...........................31 ´ 6Etudequalitativesurles´etatspropresetles´energiepropresdansdes potentiels`aunedimension35 7 L’oscillateur harmonique 40 ´ 7.1 Energies propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 7.2Solutionnume´riquedel’´equationdeSchro¨dingerpourunpotentielhar- monique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.2.1Connectiona`unemachineunixoulinux...............41 ´ 7.2.2Ecritured’unprogrammeFortranquiint`egrel’´equationdeSchro¨dinger pour un potentiel harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.2.3 Utilisation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.3 Valeurs moyennes de grandeurs observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8 Le rayonnement du corps noir et la naissance de la physique quantique 49 ´ 8.1Equilibreentreradiationetmati`ere......................50 8.2 Lois de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.3Modesdelaradiationencavit´e........................51 ´ 8.4 Energie moyenneǫ¯ T (ν’u)dahmretrulialoncsquencfer´euedeoniqνa` l’´equilibrethermique.LoisdePlanck.....................53 1 Ondes et particules en physique classique Cepremiercoursestconsacr´ea`desrappelsimportantsdephysiqueclassique.Nousy introduirons des notations et des concepts physiques que nous utiliserons dans la suite. Pour une particule ponctuelle on introduira la “position”, la “vitesse”, la “trajectoire”, la

Ondes et Particules

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“quantite´demouvement”,l’“´energie”etc.Pouruneonde,nousverronslasignificationde “longueurd’onde”,“pulsation”,“fr´equence”,“pe´riode”et“intensit´e”.Nousexaminerons aussilephe´nom`ened’interf´erenceentreondesquijoueunrˆolefondamentalenphysique quantique.

1.1 Particule ponctuelle Enphysiqueclassique,uneparticuleponctuellequised´eplacedansR 3 ´tcaraee´siestc er a chaque instantt sa positionpar deux vecteurs :~xet sa vitesse~ve`tmeeSysansl.D ` ` Internationaldemesure(SI),lapositionsemesureenm`etresmet la vitesse en metres par secondems. Sil’onconside`re~x(tontilareudelbavial,spmetntinoncod´erueetmmue)occnitenof math´ematiquequirelie~xet~vest d~x d (t t ) =~v(t)(1) L’ensemble des points~x(t)parls´eeetriram´sp,temeui,qcepaesl’nsdaapebruocenuemrof s’appellelatrajectoiredupointconside´re´e.Sil’onconnaˆıtlapositionetlavitessedela ~ particulea`l’instantt= 0 ainsi que la forceFquel`alapartlelalucitseemuoseesiats massemaccnllurealrtjacetoiredelaparticuelne´rseloavtn’l´equationodneN,euwttpoe d 2 t m d ~x t ( 2 ) = F~ (t)(2) L’´equation(2)estunee´quationdiff´erentielledontlasolutionestunefonction~x(t) . Le termeaveclad´erive´eseconderepr´esentel’acce´l´eration~ade la particule x t =(3) d 2 ~ dt ( 2 t = ) d dv~(t) ~a ~ La massemse mesure en kilogrammeskg, et la force|F| 1en Newton, avecN= 1kgms −2  que la solution. Remarquez~x(tseuaca`cxeweNndioneonndtoed)tauqe´’l positionsdelaparticulea`touttempsainsiquea`savitessev~(t) `a tout temps, en utilisant la relation (1). A lieu de la vitessev~emtnuoevdemeit´tquanntlaouveiseslituno,p~de laparticule,proportionnelle`alavitesseaveccommefacteurdeproportionnalit´elamasse m ~ ~(4) p=mv 

Ondes et Particules4 Nousfaisonsicideuxremarquesquisoulignentdesdiff´erencesimportantesentre physique classique et physique quantique. (i)Enphysiqueclassiqueonpeutattribuera`chaqueinstantunepositionx~(t) et une vitesse~v(t la particule.) a` verrons que ceci n’est pas possible en physique Nous quantique.Laparticulequantiquenepeutpasetreparfaitementlocalise´edansl’espace ˆ r´eeletavoirenmeˆmetempsunevitessebiend´efinie. (ii)Enphysiqueclassique,pouruneparticuledonn´eesoumise`auneforcedonne´e,les conditions initialesx~(0) et~vctmolpe`etmrnine´evolutitementl’eme`xuaudnotsys´e)d(0 instantssuccessifs.Onditqueenphysiqueclassiqueilya“de´terminisme”.Nousverrons qu’il n’en sera pas ainsi pour une particule quantique et que la physique quantique est, defac¸onintrinse`que,nond´eterministe,enparticulierquandonintroduitleconceptde mesureetd’observationsurlesyst`eme. ´ 1.2Energieme´canique ~ Connaissant la trajectoire~x(tla`arcfoeciluaptrimesseuootre)denF, nous pouvons calculerson´energiem´ecaniqueEgieci.n´eeCtlilq-ueeicesocpmsodele´’nereKet de l’e´nergiepotentielleU E=K+U (5) L’e´nergiecine´tiqueestli´eeaumouvementdelaparticule K= 1 2 mv 2 2 = p 2 m (6) lorsquel’´energiepotentiellede´penddelapositiondelaparticuleetestlie´eaufaitque laparticuleestsoumise`auneforce 1 ´sice´rpsulP.neme’l,tene´eigrtepoientellU(~x) de la particuleestli´ee`alaforcepar ~ ~ F(~x) =−gradU(~x)(7) ` A une dimension, F(x) =− d Ud( x x) (8) 1 tentiel.ntd’unpoleeuntmere`eisice´dsavirfsedecronsidOnco