Cours de mathématiques pour le signal discret

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Mathematiques pour le signal discret { Ma32Guy CasaleIRMaR b^ at 21 Beaulieuhttp ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/ ReferencesA First Course in Mathematical AnalysisDavid Brannan, Cambridge University PressMathematiques BTS-DUT IndustrielsC. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus{ Chapitre 1 : Suites numeriques{ 2 : Series numeriques{ Chapitre 3 : Series entieres{ 4 : Transformee en Z11 Suites numeriques1.1 Quelques de nitions.De nition 1 Une suite numerique est une fonction de N dans R (suite reelle)ou C (suite complexe) qui a un entier n associe un nombre u .nUne suite est notee (u ) ou (u ) et u est appele le terme general de lan n2N n nsuite.Cette notation est une abreviation de (u ;u ;u ;u ;u :::).0 1 2 3 4Exemples 1{ Les decimales d’un nombre : l’ecriture de est (3; 1; 4; 1; 5;:::).{ Suites de nies a partir d’une formule f en prenant les valeurs de f en les2 sinxx +epentiers : Si f(x) = , f de nit une suite u =f(n).njxj { Suites constantes u =c2C pour tout n2N : (c;c;c;c;c;:::).n{ La suite des temperatures (en C) relevees tous les matins a l’IUT : (8:5; 12; 9:2; 7:6; 8;:::):{ Echantillonnage a la periode T d’un signal F :e(F (t );F (t +T );:::;F (t +nT );:::) = (u ;u ;:::u :::):0 0 e 0 e 0 1 nNous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.Representations graphiques2Operations sur les suitesSoient (u ) et (v ) deux suites.n nOn de nit la somme (u ) + (v ) terme a terme :n n( u ...

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Extrait

Math´ematiquespourlesignaldiscret–Ma32 Guy Casale

IRMaRbaˆt21Beaulieu

http ://perso.univ-rennes1.fr/guy.casale/

R ´ e ´ rences ef A First Course in Mathematical Analysis David Brannan, Cambridge University Press Mathe´matiquesBTS-DUTIndustriels C. Larcher, M. Pariente, J.-C. Roy, Techniplus

–Chapitre1:Suitesnume´riques –Chapitre2:S´eriesnum´eriques Chapitre3:Se´riesenti`es – er –Chapitre4:Transform´eeenZ

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1Suitesnume´riques 1.1Quelquesde´finitions. D´efinition1 ´riqueUne suite n est une fonction deNdansRleel´eer)usti( ume ouCui(selpmoceta`iuq)exunentiernassocie un nombreu n . Unesuiteestnote´e(u n ) n∈N ou(u n )etu n tseem´gtere´llepaepelaralden´e suite. Cettenotationestuneabre´viationde(u 0 , u 1 , u 2 , u 3 , u 4 . . .). Exemples 1 –Lesde´cimalesd’unnombre:l’´ecrituredeπest(3,1,4,1,5, . . .). –Suitesd´efinies`apartird’uneformulefen prenant les valeurs defen les entiers : Sif(x) = x p 2 | + x| e − sin π x ,fde´nfitinuetiuseu n =f(n). – Suites constantesu n =c∈Cpour toutn∈N:(c, c, c, c, c, . . .). –Lasuitedestemp´eratures(en ◦ C’IUT:atins`alotsuelmslevee´se)r(8.5,12,9.2,7.6,8, . . .). –Echantillonnage`alape´riodeT e d’un signalF: (F(t 0 ), F(t 0 +T e ), . . . , F(t 0 +nT e ), . . .) = (u 0 , u 1 , . . . u n . . .). Nous verrons d’autres exemples dans la suite du cours.

Repre´sentationsgraphiques

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Operations sur les suites ´ Soient (u n ) et (v n ) deux suites. Ond´efinitlasomme(u n ) + (v n reemt)te`ae:rm (u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 . . . u n + (v 0 v 1 v 2 v 3 v 4  v. . . n = (u 0 +v 0 u 1 +v 1 u 2 +v 2 u 3 +v 3 u 4 +v 4 . . . u n +v n Onde´finitleproduit(u n )×(v n erme)trme:`ate (u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 . . . u n . . .) ×(v 0 v 1 v 2 v 3 v 4 . . . v n . . .) = (u 0 v 0 u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 . . . u n v n . . .) Ond´efinitlede´acaleg+“1”ou vers le futur (u n+1 ) : (u n ) = (u 0 u 1 u 2 u 3 u 4  u. . . n . . .) (u n+1 ) = (u 1 u 2 u 3 u 4 u 5  u. . . n+1 . . .) Onde´finitledegalace´-“”1ou vers le pass´ (u n−1 ) e : (u n  () =u 0 u 1 u 2 u 3 u 4  u. . . n . . .) (u n−1  0) = (u 0 u 1 u 2 u 3 . . . u n−1 . . .) De´finissezvousmemelesde´calages±kpourk∈N: ˆ

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. . .) . . .) . . .)

De´finition2ellteuieer´esUn(u n )est dite –m´eeajorsi

–minoreesi ´

–´neebrosi

–croissantesi

–etnassiorecd´si

Remarque 1Une suite(z n )naetiossdenombrescomplexalqu´eifiededcr´eensetuepˆsaperte oude´croissantecaronnepeuxpastoujourscomparerdeuxnombrescomplexes.Lessuites –(<ez n )lles,tiesr´eeedraps –(=mz n )des parties imaginaires, –(|z n |)des modules peuventˆetrecroissantes,de´croissantes,borne´es,...

Deuxcaract´erisationsde la variation d’une suite : – Une suit ´ lle (u n e)ssoicrstes(rteanceor.p´dtn)esiasseulsiettsiemen e ree u n+1 −u n est toujours (resp. ). –Unesuitere´elle(u n ) de nombresstrictement positifsest croissante e si ulement si u n+1 est (resp.d´ecroissant)etse u n (resp. ).

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D´emonstrationparre´currence. Pourmontrerqu’uneproprie´t´eP(n) est vraie pour tout entiern≥n 0 : 1.Onmontrequelapropri´ete´estvraieaurangn 0 i.e.P(n 0 ) est vraie. 2. On montre que si pourn,e´fixP(n−1) est vraie alorsP(n) l’est aussii.e. P(n−1)⇒P(n). Exemple 2 Calc l par r´ ce la somme desn:r´esscarmiererp u ez ecurren Sc(n) = 1 + 4 + 9 + 16 +. . .+n 2 6 = 1 n(n+ 1)(2n+ 1). 1.

2.

Exemple 3oMeqncunu’uiesteertnrapzce´rerru(u n )´vrefiinatu n+1 u n−1 =u 2 n pour toutnssoicr´e.teansiorctseduoetnas

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1.2 Limites & convergence De´finition3On dit qu’une suite(u n )tend (ou converge) versun nombre`si pourtoutepr´ecisionεil existe un rangNtel que pour toutn≥Nles nombresu n soienta`unedistanceεde`: ∀ε >0,∃N∈Ntel quen≥N⇒ |u n −`| ≤ε Exemple 4lra´eeng´meMorontqunsap’`ranglasuitedeterraitdru’cnreatni √ n+1 1 est plus petit que10 −10 .

S’il existe, le nombre`paepetsell´alimitede la suite (u n ) et on note limu n =`ouu n −→`. n→+∞n→+∞ S’il n’existe pas on dit que la suitediverge. Exemples 5 –Lasuitedetermeg´ene´ralu n =e −n converge vers0.

n –Lasuitedetermege´ne´ralu n = 2 converge vers1. n+

–Lasuitedetermeg´ene´ralu n =n 2 ne converge pas.

–Lasuitedetermege´ne´ralu n = sin( n 2 π )ne converge pas.

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Th´eor`eme1 – Si la limite existe elle est unique.

–Unesuiteconvergenteestborne´e.

– Si(u n )et(v n )v´erifientu n =v n lorsquen > n 0 alors (u n )converge si et seulement si(v n )converge.

– S’il existeq∈Ntel queu n+q =v n pour toutnalors (u n )converge si et seulement si(v n )converge. Si elles conve ent,limu n = limv n . rg n→+∞n→+∞

Preuve –. . . . Th´eore`me2Ttiusetuoe.nteetsroe´reegocvnissaecrotmajntee ( rcessioetnaimteouTsuteeditneet.nor´eeestconverg ) ´ Preuve. –. . .

  Exemple 6peinransquelasuited´efioMtnoru n = 1 + 1 2 + 4 1 +. . .+ 2 1 n converge.

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1.3Re`glesop´eratoiressurleslimites. 1.3.1Combinaisonsline´aires.

Siu n −→`etv n −→` 0 alorsu n +v n −→`+` 0 . n→+∞n→+∞n→+∞ Siu n n − →+ →`etλ∈R(ouC) alorsλu n n → − + → ∞ λ`. ∞

1.3.2 b. Produits et quotients.

Siu n −→`etv n −→` 0 alorsu n v n −→`` 0 n→+∞n→+∞n→+∞ − Si de plus lesv n ainsi que` 0 sont non nuls alors u n → ` ` 0 . v nn→+∞

1.3.3 Image par une fonction continue.

Siu n −→`et sifest une fonction continue en`alors n→+∞ →` f(u n ) n→ − +∞ f( ). ATTENTIONCeci est faux sifn’est pas continue.

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1.4 Suites classiques. 1.4.1Suitesarithme´tiques. Unesuitearithme´tiquederaisonret de premier termeu 0 inpe´dfieetserencecurarr´ paru n+1 =u n +r. Onde´montre(parre´currence)queu n =u 0 +nr. - Sirest constante, tous les termes valent= 0, la suite u 0 . - Sir >0uitee,.lasroores´imssejcattmseaipanasset’n - Sir <.imon´reeuite,las0astpesn’leelismaetnassiorce´dtse La somme desnierstermpremutva:etm´ueiqaetihtir’dseusnu u 0 +u 1 +u 2 +. . .+u n =

1.4.2Suitesg´eom´etriques. Unesuitege´ome´triquederaisonqet de premier termeu 0 ets´dfieinarepecr´reurenc paru n+1 =qu n . Onde´montre(parrecurrence)queu n =q n u 0 . ´ Siu 0 pnonisulluntiS.sr´epenesrseusscaettn:seetuols=t0esonsuitdelarmes - Siq=l0saiustante´eteestcon0``alegardtiaraptdnocesu.emre - Siq= 1 la suite est constante, tous le termes valentu 0 . - Siq=−1 la suite vaut alternativementu 0 et−u 0 . - Si|q|>1 la suite ne converge pas. - Si|q|<1 la suite converge vers 0. La somme desnesrmtersitsuund’e´moe´geaveuqirtut:rpmeei u 0 +u 1 +u 2 +. . .+u n =

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