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Chapitre 4Nombres complexes.I Définition d’un nombre complexe.1 Le nombre i.2 Définition 1 Le nombre i est un nombre tel que i =−1.Remarque 1 le nombre i n’est donc pas un nombre réel.Il a été introduit pour obtenir des racines carrées de nombres réels négatifs.2 Les nombres complexes. Définition 2• Un nombre qui s’écrit sous la forme x+i.y, où x et y sont des nombres réels, est un nombre complexe.• L’ensemble des nombres complexes est notéC.a. Forme algébrique d’un nombre complexe.Soit z =x+i.yb un nombre complexe. L’écriture x+i.y s’appelle forme algébrique du nombre complexe z. Définition 3 Avec la notation précédente,• x est appelée partie réelle de z, elle est notéeRe(z);• y est appelée partie imaginaire de z, elle est notéeIm(z).Remarque 2 x et y sont des nombres réels.Exemple 1• Si z = 3+5i, alorsRe(z) = 3 etIm(z) = 5.• Par contre, si z = (−2−i)+i(4−5i),X −2−i n’est pas la partie réelle de z (ce n’est pas un réel);X 4−5i n’est pas la partie imaginaire de z (ce n’est pas un réel).b. Égalité de deux nombres complexes.⋆Proposition 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partieimaginaire.c. Cas particulier.• Les nombres réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Ainsi, l’ensembleR des réelsest un sous ensemble de l’ensembleC.6162 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES.• On appelle nombre imaginaire pur un nombre complexe dont la partie réelle est nulle.d. ...

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Extrait

Chapitre 4

Nombres complexes.

I Définition d’un nombre complexe. 1 Le nombre i .  Définition 1 Le nombre i est un nombre tel que i 2 = − 1 . Remarque 1 le nombre i n’est donc pas un nombre réel. Il a été introduit pour obtenir des racines carrées de nombres réels négatifs. 2 Les nombres complexes.  Définition 2 • Un nombre qui s’écrit sous la forme x + iy , où x et y sont des nombres réels, est un nombre complexe. • L’ensemble des nombres complexes est noté C . a. Forme algébrique d’un nombre complexe. Soit z = x + iyb un nombre complexe. L’écriture x + iy s’appelle forme algébrique du nombre complexe z .  Définition 3 Avec la notation précédente, • x est appelée partie réelle de z , elle est notée R e ( z ) ; • y est appelée partie imaginaire de z , elle est notée I m ( z ) . Remarque 2 x et y sont des nombres réels. Exemple 1 • Si z = 3 + 5 i , alors R e ( z ) = 3 et I m ( z ) = 5 . • Par contre, si z = ( − 2 − i ) + i (4 − 5 i ) , X − 2 − i n’est pas la partie réelle de z (ce n’est pas un réel) ; X 4 − 5 i n’est pas la partie imaginaire de z (ce n’est pas un réel). b. Égalité de deux nombres complexes.

⋆ Proposition 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. c. Cas particulier. • Les nombres réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Ainsi, l’ensemble R des réels est un sous ensemble de l’ensemble C .

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62 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES. • On appelle nombre imaginaire pur un nombre complexe dont la partie réelle est nulle. d. Interprétation géométrique. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct R = { O~u~v } . Alors : Remarque 3 • à tout nombre complexe z = x + iy , on peut associer le point M    x   ; y  R • Réciproquement, à tout point M   x   on lexe z = x + iy . peut associer le nombre comp  y  R  Définition 4 Avec les notations précédentes : • Le point M    y x    R est l’image du nombre complexe z = a + ib . • Le nombre lexe z = x + iy e  x  comp st l’affixe du point M   y  R Exercice 1. Faire les exercices n ◦ 2, n ◦ 3 page 309. Exercice 32. Faire l’exercice n ◦ 5 page 309. Faire remarquer où se trouvent l’axe des réels et l’axe des imaginaires purs. Exercice 33. Faire l’exercice n ◦ 6 page 309. II Opérations sur les nombres complexes. Les opérations sur nombres complexes sont les mêmes que sur les nombres réels. Il faut simplement utiliser la règle de calcul i 2 = − 1 quand on fait une multiplication. 1 Addition ou soustraction de deux nombres complexes.  Définition 5 Si z = x + iy et z ′ = x ′ + iy ′ alors : X on définit le complexe z + z ′ par z + z ′ = ( x + x ′ ) + i ( y + y ′ ) ; X on définit le complexe z − z ′ par z + z ′ = ( x − x ′ ) + i ( y − y ′ ) . Exemple 2 Si z = 3 + 5 i et z ′ = − 4 + 2 i , alors : ⋆ z + z ′ = (3 + 5 i ) + ( − 4 + 2 i ) = (3 − 4) + (5 + 2) i = − 1 + 7 i ⋆ z − z ′ = (3 + 5 i ) − ( − 4 + 2 i ) = (3 + 4) + (5 − 2) i = 7 + 3 i −−−→ Remarque 4 On sait que si M ( x ; y ) et M ′ ( x ′ ; y ′ ) , alors M M ′ ( x ′ − x ; y ′ − y ) . Par analogie on dira que : −−−→ X Si M ( z ) et M ′ ( z ′ ) alors M M ′ a pour affixe z ′ − z . X Plus généralement, si ~w est un vecteur, alors, si w~ ( x ; y ) dans le repère R , alors on dit que ~w a pour affixe le nombre complexe z = x + iyb , ou que w est l’image de z = x + iy . ~ Notation: On peut noter z M ou bien z ~w l’affixe. On peut aussi écrire M ( z ) ou w~ ( z ) . Exercice 34. Faire les n ◦ 18 à n ◦ 20 page 310.

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III. LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 2 Multiplication de deux nombres complexes. Avec les mêmes nombres complexes que précédemment, on procède comme pour un développement : z × z ′ = (3 + 5 i ) × ( − 4 + 2 i ) = 3 × ( − 4) + 3 × 2 i + 5 i × ( − 4) + 5 i × 2 i = − 12 + 6 i − 20 i − 10 car i 2 = − 1 = − 22 − 14 i Remarque 5 ainsi, toutes les méthodes de calcul vues avec les nombres réels et les expressions algébriques seront valides dans l’ensemble C . On pourra utiliser les développements, les factorisations, les identités remarquables, y compris les sommes de termes d’une suite géométrique, ou arithmétique. Exercice 35. Faire les n ◦ 8 à n ◦ 17 page 310.

III Les équations du second degré. 1 Les nombres complexes dont le carré est un nombre réel strictement négatif. Remarque 6 Nous avons vu que i 2 = − 1 . Ainsi, i est une solution de l’équation z 2 = − 1 . On peut remarquer que ( − i ) 2 = ( − i ) × ( − i ) = − 1 . On constate donc que − i est aussi une solution de l’équation z 2 = − 1 . ⋆ Proposition 2 si a est un nombre réel, une équation du type z 2 = a possède toujours des solutions : • si a est un nombre réel strictement positif, les solutions de l’équation z 2 = a sont a et − a ; • si a = 0 , l’équation z 2 = 0 a pour seule solution 0 ; • si a est un nombre réel strictement négatif, les solutions de l’équation z 2 = a sont i − a et − i − a (attention : si a est strictement négatif, − a est strictement positif). Preuve: • Il reste la seconde preuve à faire : a est donc un nombre négatif. dans ce cas, ( i − a ) 2 = i 2 − a 2 = − ( − a ) = a . • z 2 = a ⇐⇒ z 2 − a = 0 ⇐⇒ z 2 − ( i − a ) 2 = 0 ⇐⇒ ( z − i − a )( z + i − a ) = 0 qui donne les deux solutions. Exemple 3 • Les solutions de l’équation z 2 = 7 sont 7 et − 7 . • Les solutions de l’équation z 2 = − 3 sont i 3 et − i 3 . Exercice 36. Remplir le tableau suivant en donnant les nombres complexes dont le carré est égal à a .

a 47 − 16 0 12 − 7 89 − 100 x 1 tel que x 1 2 = a x 2 tel que x 2 2 = a

2 Première application des nombres des nombres complexes : résolution des équations du second degré. Dans ce paragraphe, les nombres a , b et c sont des nombres réels. Le nombre a est non nul. On considère l’équation ax 2 + bx + c = 0 . Le nombre Δ = b 2 − 4 ac est appelé discriminant de l’équation. Rappel: • Si Δ = 0 , alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 a une seule solution : x 0 = − 2 b . a

64 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES. • Si Δ > 0 , alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 a deux solutions : − b + Δ − b − Δ x 1 = ; x 2 = 2 a 2 a

Exercice 37. Faire l’exercice n ◦ 61 page 313. a. Quand le déterminant est strictement négatif. On suppose ici que le nombre Δ = b 2 − 4 ac est strictement négatif. Dans ce cas, on remarque : ( i − Δ) 2 = Δ ; ( − i − Δ) 2 = Δ On va appliquer, quand Δ est strictement négatif, les mêmes formules que pour le premier cas précédent en les adaptant aux nombres complexes : ⋆ Proposition 3 Si Δ < 0 , alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 a deux solutions qui ne sont pas des nombres réels mais des complexes : − b + i − Δ − b − i − Δ = z 1 2 a ; z 2 = 2 a Preuve: On rappelle la forme canonique du trinôme du second degré : ax 2 + bx + c = a "  ( x + 2 b a  2 − 4 Δ a 2 # Alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 est équivalente à l’équation  ( x + 2 b a  2 − 4 Δ a 2 = 0 Dans le cas où Δ < 0 , on peut alors écrire :  ( x + 2 b a  2 −  i 2 − a Δ  2 = 0 Il reste à factoriser :  x + 2 b a + i 2 − a Δ   x + 2 b a − i 2 − a Δ  = 0 qui donne deux solutions : b + i − Δ b + i − Δ z 1 = 2 a ; z 2 = 2 a Exemple 4 On veut résoudre l’équation 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 . X On commence par calculer Δ : Δ = ( − 3) 2 − 4 × 2 × 2 = − 7 X Comme Δ est un nombre réel strictement négatif, l’équation 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 a deux solutions qui sont des nombres complexes. X On applique les formules de la dernière proposition : 3 + i 7 3 − i 7 z 1 = 4 ; z 2 = 4

Exercice 38. Faire l’exercice n ◦ 62 page 313 puis l’exercice n ◦ 68 page 314. Exercice 39. Faire l’exercice n ◦ 64 page 313.

IV. CONJUGUÉ D’UN NOMBRE COMPLEXE. IV Conjugué d’un nombre complexe. 1 Définition et notation.

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a. Remarque sur les solutions d’une équation du second degré. Si on considère les solutions z 1 = 3+ 4 i 7 et z 2 = 3 − 4 i 7 de l’équation précédente, on remarque que : ⋆ z 1 et z 2 ont la même partie réelle, R e ( z 1 ) = R e ( z 2 )= 3 4 ; ⋆ z 1 et z 2 ont des parties imaginaires opposées, I m ( z 1 )= 4 7 et I m ( z 2 ) = − 4 7  Définition 6 Deux nombres complexes qui ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées sont conjugués. C’est à dire que, si x et y sont des nombres réels, les nombres complexes z = x + iy et z ′ = a − ib sont conjugués. Remarque 7 On dit que z ′ = x − iy est le conjugué de z = x + iy . ( z = x + iy est aussi le nombre conjugué de z ′ = x − iy .) Exemple 5 X Les nombres complexes − 2 + 3 i et − 2 − 3 i sont des nombres complexes conjugués. X Par contre, les nombres complexes 5 + i (1 + 2 i ) et 5 − i (1 + 2 i ) ne sont pas des nombres complexes conjugués car 1 + 2 i n’est pas un nombre réel. Notation: On note z le conjugué du nombre complexe z . Exercice 40. Donner le conjugué des nombres complexes suivants. z 1 = 5 + 7 i ; z 2 = 3 − 2 i ; z 3 = 13 ; z 4 = 7 i ; z 5 = 5 + i (1 + 2 i )

Exercice 41. Faire l’exercice n ◦ 32 page 311. b. Cas particuliers. • Les nombres réels sont les seuls qui sont égaux à leur conjugué. • Les nombres imaginaires purs sont les seuls qui sont opposés à leur conjugué. Application géométrique. Remarque 8 ~ ~ seulement si z est un nombre ◮ Si ~w ( z ) et w ′ ( z ′ ) sont des vecteurs non nuls, alors w~ et w ′ sont colinéaires si et z ′ ~ ~ réel. En effet, en supposant que w ′ 6 = 0 : ~ ~ ~w et w ′ sont colinéaires ⇐⇒ Il existe un réel λ tel que ~w = λw ′ ⇐⇒ Il existe un réel λ tel que z = λz ′ ⇐⇒ Il existe un réel λ tel que z = λz ′ ⇐⇒ z z ′ est un nombre réel ◮ On peut alors utiliser la caractérisation des nombres réels par les conjugués : On obtient alors z ′ = z z ′ . z ◮ Dans le cas de points, cette propriété peut se traduire de deux manières différentes : X M ( z ) , M ′ ( z ′ ) et M ′′ ( z ′′ ) sont alignés si et seulem i z ′ ′ ′ − z z est un nombre réel ; ent s z − X Soit M 1 ( z 1 ) , M ′ 1 ( z ′ 1 ) , M 2 ( z 2 ) et M ′ 2 ( z ′ 2 ) . Les droites ( M 1 M ′ 1 ) et ( M 2 M ′ 2 ) sont parallèles si et seulement − si z z ′ ′ 1 2 z 1 est un nombre réel. − z 2

66

CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES.

c. Interprétation graphique. Les images de z et de z sont symétriques par rapport à l’axe des réels.

d. Remarque sur zz

y v 0 u

−y

M(z)

x

M'( z )

Exercice 42. Avec les notations de l’exercice précédent, calculer z 1 z 1 et z 2 z 2 . ⋆ Proposition 4 Si x et y sont des nombres réels, si z = x + iy , alors zz = x 2 + y 2 . 2 Utilisation des conjugués pour faire des quotients. Exemple 6 Écrivons 2 1 + − 3 i i sous forme algébrique. 1 − i 1 − i 2 − 3 i = × 2 + 3 i 2 + 3 i 2 − 3 i (1 − i )(2 − 3 i ) = 13 − 1 − 5 i = 13 1 5 = − − i 13 13 Ainsi, l’utilisation du conjugué permet en fait de mettre sous forme algébrique les quotients de nombres complexes. Exercice 43. Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : 1 + i 2 i 2 − i z 1 = 3 − 2 i ; z 2 = 4 − i ; z 3 = 2 + i Exercice 44. Déterminer l’inverse des nombres complexes : z 1 = 1 + 3 i ; z 2 = − 1 − i ; z 3 = 4 i Exercice 45. Faire l’exercice n ◦ 21, n ◦ 22 et n ◦ 23 page 310. Exercice 46. Faire l’exercice n ◦ 70 page 314.

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V. MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE. 3 Propriétés algébriques de la conjugaison. ⋆ Proposition 5 X z + z ′ = z + z ′ . X zz ′ = zz ′ . En particulier, si λ est un nombre réel, λz = λz . X 1 = 1 . z z Exercice 47. Faire l’exercice n ◦ 25 page 311. V Module d’un nombre complexe. Le plan est toujours rapporté à un repère orthonormé direct ( O~u~v ) . 1 Définition. Rappel: Soit z = x + iy un nombre complexe écrit sous forme algébrique. On a vu que zz = x 2 + y 2 . D’autre part, on sait que, si ~w ( x ; y ) est le vecteur image de z , alors w~ = x 2 + y 2 . On voit donc que le produit zz et w~ sont liés.  Définition 7 Soit z = x + iy un nombre complexe écrit sous forme algébrique. Le nombre zz = x 2 + y 2 est le module du nombre complexe z . Notation: On note | z | le module de z . Avec cette notation : | z | = zz = x 2 + y 2 Exemple 7 Si z = 3 + 5 i , alors | z | = 3 2 + 5 2 = √ 34 . Remarque 9 Le module de z est donc en fait la norme du vecteur image de z . Exercice 48. Déterminer le module des nombres complexes suivants : 1 1 + i ; 2 − i 2; 2 + 2 3 ; i ; − 9

2 Propriétés algébriques du module. On a déjà vu que | z | = zz . On en déduit que : ⋆ Proposition 6 z et z ′ sont des nombres complexes. Alors : | zz ′ | = | z ||  | z ′ | ;  z 1  = | z 1 | ;  z z ′  = | | z z ′ | | Preuve:

| zz ′ | = ( zz ′ )( zz ′ ) = zz ′ zz ′ = | z ||  | z ′ | Exemple 8 Si z 1 = 3 + i et z 2 = 1 − i , calculons le module de z 1 et de z 2 : | z 1 | = 3 2 + 1 2 = 10 ; | z 2 | = 1 2 + ( − 1) 2 = 2 On a alors :

68 ◮ | z 1 z 2 | = 10 × 2 = 20 = 2 5 ; z z 1 2 = | 10 5 ; ◮ =   2 ◮ | z 14 | = ( 10) 4 = 10000 = 100 . Exercice 49. Faire l’exercice n ◦ 41 page 312. 3 Applications géométriques.

CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES.

a. La géométrie élémentaire. Tous les exercices de géométrie élémentaire (par exemple utiliser le théorème de Pythagore, nature d’un triangle, etc    ) peuvent se traiter à l’aide des modules de nombres complexes. Exercice 50. Faire l’exercice n ◦ 42 page 312. Exercice 51. 1. On considère le nombre complexe z 1 = − 3 + i . Calculer le module de z 1 . 2. (a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z 2 − 2 2 z + 4 = 0 . (b) Donner le module des solutions de cette équation. 3. Le plan est muni du repère orthonormé direct ( Ou~~v ) d’unité graphique 1 cm. On considère les nombres complexes z 2 = 2 + i 2 et z 3 = 2 − i 2 . On note M 1 , M 2 et M 2 les points d’affixes respectives z 1 , z 2 et z 3 . (a) i. Montrer que mes points M 1 , M 2 et M 3 sont sur le cercle C de centre O et de rayon 2. ii. Placer les points M 1 , M 2 et M 3 dans le repère ( O~uv~ ) en utilisant le cercle C et l’argument des nombres complexes. (b) Soit z 4 = 3 + 2 2 − i . Soit M 4 le point d’affixe z 4 . − −−→ − −−→ i. Donner l’affixe des vecteurs M 1 M 2 et M 3 M 4 . ii. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère M 1 M 2 M 4 M 3 ?

b. Médiatrice d’un segment. Rappel: Soient deux points A et B du plan. La médiatrice Δ du segment [ AB ] est l’ensemble des points M situés à égale distance des points A et B . ⋆ Proposition 7 Si A a pour affixe z A et B a pour affixe z B , la médiatrice Δ du segment [ AB ] est l’ensemble des points M ( z ) tels que | z − z A | = | z − z B |

c. équation d’un cercle. Rappel: Soit A un point et r un réel strictement positif. Le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M tels que AM = r ⋆ Proposition 8 Si A a pour affixe z A , le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M ( z ) tels que : | z − z A | = r

Exercice 52. Faire le n ◦ 43 page 312 question 1 seulement, puis l’exercice n ◦ 44.

VI. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE DIFFÉRENT DE ZÉRO. 69 VI Forme trigonométrique d’un nombre complexe différent de z éro. 1 Révisions de trigonométrie.

a. Les coordonnées polaires. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O ; ~u ; v~ ) . Au lieu de repérer un point M du plan par son couple de coordonnées ( x ; y ) , on le repère par : ◮ la longueur OM ; −−→ ◮ l’angle orienté Θ formé par u~ et OM . OM sin θ M(x;y) OM= OM v θ

0 u OM cos θ

On peut noter dans alors : M [ OM ; Θ] ♠ Propriété 1 Si M ( x ; y ) , alors OM = x 2 + y 2 . Ainsi, cos(Θ) = x 2 x + y 2 ; sin(Θ) = x 2 y + y 2 b. Quelques angles à connaître.

Quelques valeurs de cosinus et sinus π π π 3 π angle en radians 0 π 6 4 3 2 π 2 2 1 cosinus 1 2 3 22 0 -1 0 sinus 0 2 1 2 2 2 3 1 0 -1 c. Les angles que l’on peut déduire.

2 π π 3 π − π 5 π Exercice 53. Donner cosinus et les sinus des angles de mesure 3 , − 6 , 4 , 4 , . 6 Exercice 54. Identifier les angles à l’aide de leur cosinus et de leur sinus.      s c i o n s Θ Θ = = 1 2 − 2 ;      c si o n s Θ Θ= = − − 2 2 2 2 ;      c si o n s Θ Θ= = − − 1 2 2 3 3

;

70

0

0

0

1

1

1

CHAPITRE

0

0

0

1

1

1

4.

NOMBRES

COMPLEXES.

VI. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE DIFFÉRENT DE ZÉRO. 71 2 Argument d’un nombre complexe.  Définition 8 Soit z un nombre complexe non nul. Soit M l’image de z dans le plan. Soient [ r ; Θ] les coordonnées polaires du point M . Le nombre Θ est un argument du nombre complexe z . Notation: On note arg( z ) = Θ [2 π ] .

M(z) OM =  z v θ =arg(z) 0 u

Exercice 55. Faire l’exercice n ◦ 33 page 311. Remarque 10 Si M ( z ) et M ′ ( z ) , on a vu que ces points sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. On en déduit que arg( z ) = − arg( z ) .

y M(z) v Θ 0 u −Θ x −y M'( z )

Dans ces conditions, si z = x + iy , on a | z | = x 2 + y 2 . En notant arg( z ) = Θ , y cos(Θ) = x 2 x + y 2 = | z x | ; sin(Θ) = x 2 y + y 2 = | z | Exemple 9 Soit z = 1 + i 3 . • On commence par calculer | z | . | z | = 1 2 + 3 2 = 1 + 3 = 2 . • Puis on identifie un cosinus et un sinus avec les formules précédentes : 1 s Θ =  2      s c i o nΘ= 2 3 = ⇒ Θ = π 3 [2 π ]