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Chapitre 7Géométrie analytique dans l’espace.~~ ~Dans tout le chapitre, l’espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k), sauf mention du contraire.I Outils pour la géométrie dans l’espace.1 Points et vecteurs de l’espace.♠ Propriété 1 Si A(x ;y ;z ) et B(x ;y ;z ) sont des points de l’espace donnés par leurs coordonnées, alors :A A A B B B x +x y +y z +zA B A B A B• I ; ; est le milieu du segment [AB];2 2 2  x −xB A  −→ −→ • AB(x −x ;y −y ;z −z ) ou bien AB .B A B A B A y −y B A z −zB A2 Le produit scalaire.Remarque 1 Si A, B et C sont trois points de l’espace, alors :X Si A, B et C ne sont pas alignés, il existe un unique plan qui contient ces trois points.ABCPX Si A, B et C sont alignés, il existe une infinité de plans qui contiennent ces trois points.1016666102 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.P1 P2ABCP4 P3−→−→ −→−→SiP est un des plans qui contient A, B et C, alors AB.AC =AB×AC ou bien AB.AC =−AB×AC suivantque les vecteurs sont de même sens ou non. Dans tous les cas, cette valeur ne dépend pas du planP utilisé maisseulement des points A, B et C. En effet, dans le planP, le produit scalaire est défini par la relation :−→−→ 12 2 2AB.AC = AB +AC −BC2On se sert de cette remarque pour définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace. Définition 1 ~u et ~v sont des vecteurs de l’espace. A, B et C sont des points de l’espace tels que :−→ −→~u =AB ; ~v =ACSoitP un plan qui contient A, B et C. ...

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Chapitre 7
Géométrie analytique dans l’espace.
~~ ~Dans tout le chapitre, l’espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k), sauf mention du contraire.
I Outils pour la géométrie dans l’espace.
1 Points et vecteurs de l’espace.
♠ Propriété 1 Si A(x ;y ;z ) et B(x ;y ;z ) sont des points de l’espace donnés par leurs coordonnées, alors :A A A B B B
x +x y +y z +zA B A B A B• I ; ; est le milieu du segment [AB];
2 2 2  
x −xB A  −→ −→ • AB(x −x ;y −y ;z −z ) ou bien AB .B A B A B A y −y B A 
z −zB A
2 Le produit scalaire.
Remarque 1 Si A, B et C sont trois points de l’espace, alors :
X Si A, B et C ne sont pas alignés, il existe un unique plan qui contient ces trois points.
A
B
CP
X Si A, B et C sont alignés, il existe une infinité de plans qui contiennent ces trois points.
1016
6
6
6
102 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
P
1 P
2
A
B
C
P4 P
3
−→−→ −→−→
SiP est un des plans qui contient A, B et C, alors AB.AC =AB×AC ou bien AB.AC =−AB×AC suivant
que les vecteurs sont de même sens ou non. Dans tous les cas, cette valeur ne dépend pas du planP utilisé mais
seulement des points A, B et C. En effet, dans le planP, le produit scalaire est défini par la relation :
−→−→ 1
2 2 2AB.AC = AB +AC −BC
2
On se sert de cette remarque pour définir le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace.
Définition 1 ~u et ~v sont des vecteurs de l’espace. A, B et C sont des points de l’espace tels que :
−→ −→
~u =AB ; ~v =AC
SoitP un plan qui contient A, B et C. Le produit scalaire dans l’espace des vecteurs ~u et~v est le produit scalaire de
ces vecteurs dans le planP. On le note, comme dans le plan, ~u.~v.
◦Exercice 1. Faire l’exercice n 3 page 343 (dans le plan).
◦Exercice 2. Faire l’exercice n 34 page 346 (dans l’espace).
a. Propriétés algébriques.
• Le produit scalaire est symétrique : ~u.~v =~v.~u.
• ~u.(~v +w~) =~v.~u+~v.w~. On peut faire de même avec le premier des deux vecteurs grâce à la symétrie.
• Pour tout réel k, (k~u).~v = k(~u.~v). Ce qui fait que l’on peut omettre l’un ou l’autre de ces deux couples de
parenthèses.
b. Propriétés géométriques.
−→−→
\• Pour A =B et A =C, comme dans le plan, AB.AC =AB×AC×cosBAC.
~• Pour tout vecteur ~u, 0.~u = 0.
• Ainsi deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Cette propriété
découle des deux précédentes. −→−→ −→−→• Pour A =B et A =C, si le point H est la projection du point C sur la droite (AB), alors AB.AC =AB.AH.
Preuve: de la dernière propriété :I. OUTILS POUR LAGÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE. 103
C
−→−→ −→ −→ −→
AB.AC = AB.(AH +HC)
−→−→ −→−→
= AB.AH +AB.HC| {z }
=0 B
−→−→
= AB.AH
H
A
◦Exercice 3. Faire l’exercice n 5 page 343.
◦Exercice 4. Faire l’exercice n 40 page 346 (dans l’espace).
◦Exercice 5. Faire l’exercice n 34 page 346 (octaèdre).
◦Faire le T.D. n 2 page 336.
3 Les distances, les normes.
√ √
2 Définition 2 La norme du vecteur ~u est le nombre ~u.~u noté aussi ~u .√
Notation: On note ~u le nombre ~u.~u.
4 Expression analytique dans une repère orthonormal.
′ ′ ′ ′ ′ ′♠ Propriété 2 Si ~u(x :y :z) et ~v(x :y :z ), alors ~u.~v =xx +yy +zz
Preuve:
′ ′ ′~ ~~ ~ ~ ~~u.~v = (xi +yj +zk).(x i+y j +z k)
′ ′ ′~~ ~~ ~~= xx i.j +yy i.j +zz i.j|{z} |{z} |{z}
=1 =1 =1
′ ′ ′= xx +yy +zz
2Remarque 2 On note ~u.~u =~u , c’est le carré scalaire.
−→♠ Propriété 3 ~u = 0 si et seulement si ~u = 0.
♠ Propriété 4 Expression analytique du produit scalaire, de la norme, de la distance dans un repère orthonormé.p
2 2 2• Si ~u(x :y :z), alors ~u = x +y +z .
• Si A(x ;y ;z ) et B(x ;y ;z ) sont des points de l’espace, alors :A A A B B B
p−→
2 2 2AB = AB = (x −x ) + (y −y ) +(z −z )B A B A B A
◦Exercice 6. Faire l’exercice n 32 page 345.
◦Reprendre l’exercice n 32, et proposer un calcul dans un repère bien choisi.
◦Exercice 7. Faire l’exercice n 35 page 346 (dans un repère).104 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
II Équations cartésiennes de plans de l’espace.
1 Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul.
Définition 3P est un plan de l’espace. Un vecteur non nul~n orthogonal au planP est appelé vecteur normal àP.
Remarque 3 ~n est un vecteur non nul. A est un point de l’espace. Il existe un unique plan passant par le point A et
orthogonal au vecteur ~n.
n
P
A
2 Équation cartésienne d’un plan de l’espace.
Définition 4P estunplandel’espace.OnappelleéquationcartésienneduplanP touterelationliantlescoordonnées
vérifiée par les points deP et par ces points seulement.
a. Utilisation d’un vecteur normal.
Remarque 4 ~n(a;b;c) est un vecteur non nul. A(x ;y ;z ) est un point fixé de l’espace. Soit M(x;y;z) un point deA A A
l’espace.
n
M
A6
II. ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DEPLANS DEL’ESPACE. 105
−−→
M ∈P ⇐⇒ AM ⊥~n−−→⇐⇒ AM.~n = 0
⇐⇒ (x−x )a+(y−y )b+(z−z )c = 0A A A
⇐⇒ ax+by +cz−(ax +by +cz ) = 0A A A| {z }
=d
⇐⇒ ax+by +cz +d = 0
On a ainsi obtenu une équation cartésienne du planP.
Remarque 5 On constate que les coordonnées du vecteur ~n sont les coefficients des variables x, y et z.
Réciproquement : soit une équation du type ax+by +cz +d où les nombres a, b et c ne sont pas tous nuls en
même temps.
dX Il existe au moins un point qui vérifie cette équation. En effet, supposons que a = 0. Alors le point A(− ;0;0)
a
convient.
X Soit ~n(a;b;c). Ce vecteur n’est pas nul. De plus, si M(x;y;z) est un point qui vérifie l’équation, alors :
ax + by + cz + d = 0
ax + by + cz + d = 0A A A
(x−x )a + (y−y )b + (z−z )c = 0A A A
−−→
Ainsi AM ⊥~n et M est un point du plan qui est orthogonal à ~n et qui passe par A.
Remarque 6 L’équation d’un plan peut aussi être donnée sous la forme ax+by +cz =d.
Exercice 8. Faire des exercices de la page 347. Par exemple :
◦ ◦ ◦• les n 43, n 44 et n 45 (équation toutes bêtes, penser à mettre en évidence le fait qu’il n’y a pas unicité de
l’équation);
◦ ◦• les n 46 (plan perpendiculaire à une droite), n 47 (plans perpendiculaires).
b. Le cas des plans parallèles.
′ ′ ′ ′ ′X Si les plansP etP sont parallèles, d’équations respectives ax+by +cz =d et ax+by +cz =d , alors les
′ ′ ′~′vecteurs ~n(a;b;c) et n (a ;b ;c ) sont colinéaires. Leurs coordonnées sont donc proportionnelles.
′X Inversement siP a pour équation ax +by +cz = d, siP est un plan parallèle au planP, une équation de
′ ′ ′
P sera du type ax+by +cz =d , puisque ~n(a;b;c) sera un vecteur normal à la fois àP et àP .
◦Exercice 9. Faire le n 48 page 347.
◦ ◦Exercice 10. Faire le n 58 et le n 59 page 349 (les plans médiateurs).
◦Exercice 11. Faire le n 60 page 349 (les plans perpendiculaires) sauf la queqstion (e).
3 Application : distance d’un point à un plan.
♠ Propriété 5 Si H est la projection orthogonale de A surP, alors AH est la plus petite distance entre un point de
P et A6
106 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
A
H
M
Preuve: En effet, pour tout point M ∈P (M = H), le triangle AMH est rectangle en H. On en déduit que la
longueur de l’hypoténuse AM est supérieure à la longueur du côté AH. AH est donc le minimum des distance entre
A et un point du plan.
Définition 5 A est un point de l’espace etP est un plan de l’espace. La distance entre A etP, notée d(A;P), est
le minimum des distances entre un point deP et A. La propriété précédente indique que d(A;P) =AH, où H est le
projeté orthogonal de A surP.
♠ Propriété 6 SoitP un plan de l’espace d’équation cartésienne ax +by +cz +d = 0. A(x ;y ;z ) un point deA A A
l’espace. La distance entre A etP est donné par la formule :
|ax +by +cz +d|A A A
d(A;P) = √
2 2 2a +b +c
−→
Preuve: Soit H la projection orthogonale de A surP. Soit ~n(a;b;c;). Les vecteurs HA et ~n sont donc colinéaires.
A
n
H
−→ −→ −→
X Alors AH.~n =AH× ~n ou bien AH.~n =−AH× ~n . Ainsi :|AH.~n| =AH× ~n .−→|AH.~n|
X Ainsi d(A;P) =AH = .
~n
X Il reste à calculer ces deux quantités :
⋆ Comme H est un point deP, ax +by +cz +d = 0 et d =−ax −by −cz . Ainsi :H H H H H H
−−→
AH.~n = a(x −x )+b(y −y )+c(z −z )A H A H A H
= ax +by +cz −ax −by −czA A A H H H
= ax +by +cz +dA A A6
6
6
II. ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DEPLANS DEL’ESPACE. 107

2 2 2⋆ ~n = a +b +c .
|ax +by +cz +d|A A A
X On obtient donc d(A;P) = √ .
2 2 2a +b +c
◦Exercice 12. Faire l’exercice n 50 page 347.
◦Exercice 13. Faire l’exercice n 66 page 350 (volume d’un tétraèdre).
4 Demi-espaces
SoitP un plan de l’espace a pour équation ax +by +cz +d = 0. Supposons que c = 0. On peut même prendre
c> 0 quitte à multiplier toute l’équation par -1.
~SoitD une droite de vecteur directeur k.D coupeP en un point M (x ;y ;z ).0 0 0 0
• Comme M est un point deP, ax +by +cz +d = 0.0 0 0 0
~• Soit M un point de la droiteD. CommeD a pour vecteur directeur k, les coordonnées de M sont du type
M(x ;y ,z).0 0
z > z D 0
M(x ; y ; z )
0 0
M(x ;y ; z )
0 0 0
z < z
0
M(x ; y ; z )
0 0
Alors :
z >z ⇐⇒ cz >cz0 0
⇐⇒ ax +by +cz +d>ax +by +cz +d0 0 0 0 0
⇐⇒ ax +by +cz +d> 00 0
Ainsi, il y a équivalence entre M est au dessus de M et ax +by +cz+d> 0. C’est à dire entre M est au dessus0 0 0
deP et ax +by +cz +d> 0.0 0
De même, il y a équivalence entre M est au dessous deP et ax +by +cz +d< 0.0 0
Définition 6 L’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient l’inéquation ax+by+cz+d> 0 (ou ax+by+
cz +d< 0 ) est un demi-espace ouvert de frontièreP. dans ce cas, le demi-espace ne contient pas la frontièreP.
Remarque 7 Onavuquesicestunnombrepositif,l’ensembledespointsM dontlescoordonnéesvérifientl’inéquation
ax+by+cz+d> 0 est en fait le demi-espace qui est au dessus deP, et l’ensemble des points M dont les coordonnées
vérifient l’inéquation ax+by +cz +d< 0 est en fait le demi-espace qui est au dessous deP.
De même, on peut définir des demi-espace quand a = 0, ou b = 0.
Définition 7 L’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient l’inéquation ax+by+cz+d≥ 0 (ou ax+by+
cz +d≤ 0 ) est un demi-espace fermé de frontièreP. Dans ce cas, le demi espace contient la frontière.
◦ ◦Exercice 14. Faire les exercices n 54 et n 55 page 347.108 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
III Droites de l’espace .
~~ ~Dans cette partie, l’espace est rapporté à un repère (O;i;j;k).
1 Différentes représentation d’une droite.
a. Représentation paramétrique d’une droite.
−→
SoitD une droite de l’espace passant par le point A(a;b;c) et de vecteur directeur u(x ;y ;z ). Soit M(x;y;z)1 1 1
un point de l’espace.
−−→
M ∈D ⇐⇒ AM et ~u sont colinéaires−−→⇐⇒ il existe un réel t tel que AM =t~u x−a = tx1
⇐⇒ il existe un réel t tel que y−b = ty1
z−c = tz1 x = a+tx 1
⇐⇒ il existe un réel t tel que y = b+ty1
z = c+tz1
 x = a +tx1
Définition 8 L’ensemble des relations s’appelle représentation paramétrique de la droiteD.y = b+ty1
z = c +tz1
Remarque 8 On obtient des points de la droiteD en donnant des valeurs au paramètre t. Chaque droite possède
une infinité de représentations paramétriques.
◦ ◦Exercice 15. Faire les exercice n 16 à n 22 pages 376 et 377.
◦ ◦Exercice 16. Faire les exercices n 26 à n 28 page 377 (intersection d’une droite et d’un plan).
2 Distance d’un point à une droite.
Définition 9 D est une droite de l’espace et M est un point. La distance entre M etD est la distance entre M et la
projection orthogonale H de M surD.
Exercice 17.
D est une droite qui passe par le point A et de vecteur directeur ~u.6
6
6
IV. BARYCENTRES ET PLANS DEL’ESPACE. 109
M
D
H
u
A
−→
1. On note I le point défini par AI =~u.
−→−−→
(a) Montrer que|AI.AM| =AI×AH.
−−→|AM.~u|
(b) Montrer alors que AH = .
~u
(c) En déduire une expression de la distance entre M etD.
2. La droiteD a pour représentation paramétrique :
 x = −1 + t
y = − 2t
z = 2 + 2t
Déterminer la distance entr le point M(1;2;−3) et la droiteD
IV Barycentres et plans de l’espace.
1 Barycentre de deux, de trois points, de quatre points de l’espace.
◮ la définition est la même que dans le plan :
Définition 10
• Si A et B sont des points de l’espace, si α et β sont des réels tels que α +β = 0, il existe un seul point G qui
vérifie la relation : −→ −→ −→
αGA+βGB = 0
G est le barycentre des points pondérés (A;α) et (B;β).
• Si A, B et C sont des points de l’espace, si α, β et γ sont des réels tels que α +β +γ = 0, il existe un seul
point G qui vérifie la relation : −→ −→ −→ −→
αGA +βGB +γGC = 0
G est le barycentre des points pondérés (A;α), (B;β) et (C;γ).
◮ Les calculs avec des coordonnées sont les mêmes que les calculs dans le plan , il suffit juste de rajouter une
coordonnée. Si A(x ;y ;z ) etB(x ;y ;z ) sont des points de l’espace donnés par leurs coordonnées, siα etβA A A B B B
sont des réels tels que α+β = 0, alors le barycentreG des points pondérés (A;α) et (B;β) a pour coordonnées :

α.x +β.x α.y +β.y α.z +β.zA B A B A B
G ; ;
α +β α +β α+β6
6
110 CHAPITRE 7. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE.
◮ Les propriétés sont les mêmes que dans le plan :
♠ Propriété 7
⋆ Propriété d’alignement :
le barycentre G des points pondérés (A;α) et (B;β) est aligné avec A et B
⋆ Propriété de commutativité : le barycentre G des points pondérés (A;α) et (B;β) est aussi le barycentre
des points pondérés (B;β) et (A;α).
⋆ Propriété d’homogénéité : si k est un nombre réel non nul,
le barycentre G des points pondérés (A;α) et (B;β) est aussi le barycentre des points
pondérés (A;kα) et (B;kβ)
⋆ Propriété d’associativité :
si G est le barycentre des points pondérés (A;α), (B;β) et (C;γ), si α +β = 0, on peut
définir le barycentre H des points pondérés (A;α) et (B;β) . G est aussi le barycentre des
points pondérés (H;α +β) et (C;γ)
• Enfin, il faut citer la propriété universelle des barycentres :
Propriété universelle :G est le barycentredes points pondérés (A;α) et (B;β). Pour tout pointM du plan,
−−→ α −−→ β −−→
MG = MA+ MB
α+β α +β
Exercice 18. ABCD est un tétraèdre du plan. Montrer que les droites joignant les côtés des milieux opposés et
les droites joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourantes.
◦Exercice 19. Faire l’exercice n 6 page 375.
2 Représentation barycentrique d’un plan.
−−→ −→
A,B etC sontdespointsdel’espacenonalignés.P estl’uniqueplanquicontientcestroispoints.Ainsi (A;AB;AC)−−→ −−→ −→
est un repère deP. Pour tout point M deP, le vecteur AM est une combinaison linéaire des vecteurs AB et AC. Il−−→ −→ −→
existe deux nombres t et t tels que AM = t AB +t AC. Introduisons M entre les points du membre de droite de1 2 1 2
cette égalité.
−−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
AM =t AB +t AC ⇐⇒ AM =t AM +t MB +t AM +t MC1 2 1 1 2 2−−→ −−→ −−→ −→⇐⇒ (1−t −t )AM +t BM +t CM = 01 2 1 2

Ainsi, comme (1−t −t )+t +t = 1, M = bar (A,1−t −t ),(B,t ),(C,t ) .1 2 1 2 1 2 1 2
On peut montrer réciproquement que tout barycentre des points A, B et C est un point deP.
♠ Propriété 8 L’ensemble des barycentres des points A, B et C est le plan (ABC).
◦Exercice 20. Faire l’exercice n 1 page 375.
Définition 11 On appelle intérieur du triangle ABC l’ensemble des points M barycentres de A, B et C avec des
coefficients tous de même signe.
Exemple 1 Le centre de gravité (isobarycentre) d’un triangle est à l’intérieur du triangle.
3 Représentation barycentrique d’une droite, d’un segment.
−→
SoitD une droite passant par les points A et B (A =B). (A;AB) est donc un repère de la droiteD.