Cours de trigonométrie

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• Publié par: Eftyo
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• Langue: Catalan

Extrait

Chapitre 20
Trigonométrie :
Le Radian
Cosinus et Sinus d’un réel
I Le Radian
ePendant plus de 2000 ans, jusqu’au 19 siècle, le degré est l’unité de mesure d’un angle géométrique.
Le choix de 360 ° vient du fait que le périmètre d’un cercle vaut environ 6 fois son rayon, et le système
de numération utilisé était en base 60! Les mesures d’angles sont alors principalement utilisées pour
l’astronomie, la géométrie, la marine.
Remarque Le quart du méridien terrestre mesure 10 000 km et correspond à 90 °, donc pour 1 ° on a un
arc d’environ 111,11 km et surtout pour une minute de degré, cela donne environ 1,852 km.
C’est le mille marin.
Remarque La longueur du méridien terrestre a servi, en 1791, à définir le mètre comme unité de longueur
(théoriquement, celui-ci était égal à la dix millionième partie d’un quart de méridien terrestre)
De nos jours, les géodésiens, topographes préfèrent le grade utilisant, lui, notre numération en base 10.
Cela donne 200 grades pour 180 °. Ce qui permet de calculer plus simplement : 1 grade correspond à 100
km sur le méridien terrestre.
eOn utilise en Mathématiques depuis le 19 siècle une autre unité!
Prenons pour en découvrir l’intérêt des calculs de géométrie dans un cercle :
SoitC un cercle de centre O et rayon r. Soit A et B deux points de ce cercle.÷On pose α =AOB exprimé en degrés.
B
A
α
r
O
C
Rappels
¯
◮ Longueur de l’arc AB
62I. LE RADIAN 63
• La circonférence du cercle C est : l = 2πr
2π¯ ÷• La longueur de l’arc AB est proportionnelle à l’angle AOB, donc : l = α×r
360
⌢
◮ Surface du secteur angulaire AOB
2• La surface du disque C est : S =πr
π
2˙ ÷• La surface du secteur angulaire AOB est proportionnelle à l’angle AOB, donc : S = α×r
360
Pour simplifier ces expressions, on décide de changer d’unité de mesure des angles.
définition Le radian÷l’angle AOB, mesuré en degré par α, est maintenant mesuré en radians par le nombre :
2π
α
360
÷On dira que l’angle AOB est mesuré, en radians, par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur le
cercle de centre O et de rayon 1.
÷Soit θ une mesure en radians de l’angle AOB.
¯
◮ La longueur de l’arc AB est : l =θr
2θr˙◮ La surface du secteur angulaire AOB est : S =
2
On mesure donc, en radian, en utilisant l’unité naturelle de ce cercle, c’est à dire son rayon!
Compléter le tableau (fig.20.1, p.63) :
En de- 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
grés
En ra- 1
dians
Tab. 20.1 – Les angles classiques
Exercices : Livre : 16, 17, 18 page 187 ..... .b
b
b
b
b
b
64 CHAPITRE 20. TRIGONOMÉTRIE : LE RADIAN COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL
II Cercles trigonométriques gradués en radian
Définition Cercle trigonométrique
Un cercle C du plan est trigonométrique si
Sens trigo.
◮ son rayon mesure une unité,
◮ on définit un sens de parcours de C, appelé sens trigo- r = 1
nométrique, qui est le sens contraire du parcours des O
aiguilles d’une montre ( et le sens de rotation de la terre
lorsqu’on se place au pôle nord).
C
Un cercle trigonométrique
On se propose maintenant de graduer un cercle trigonométrique avec les mesures en radian des angles
classiques.
πa) Cercle gradué en - Cercle gradué avec des moitiés de l’angle plat
2
On utilise l’angle d’un triangle rectangle.
Pour construire ces graduations, on trace deux droites perpendiculaires passant par le centre du cercle.
π
2
Sens trigonométrique
π 02× =π π2 4× = 2π
2
C
π
3×
2
πb) Cercle gradué en . Cercle gradué avec des tiers de l’angle plat
3
On utilise l’angle d’un triangle équilatéral.
Pour construire ces graduations, on trace un diamètre du cercle et les médiatrices des rayons du cercle
obtenus.b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
II. CERCLES TRIGONOMÉTRIQUES GRADUÉS EN RADIAN 65
π π
2×
3 3
Sens trigo.
π 0
3× =π π3 6× = 2π
3
C
π π
4× 5×
3 3
πc) Cercle gradué en . Cercle gradué avec des quarts de l’angle plat
4
On utilise les angles d’un triangle rectangle isocèle.
Pour construire ces graduations, on trace un carré circonscrit au cercle, ses diagonales et les médiatrices
des côtés de ce carré.
π π
2× =
4 2
Sens trigo.π
4π
3×
4
π 0
4× =π π4 8× = 2π
4
π π
5× 7×
4 4
π π
6× = 3×
4 2b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
66 CHAPITRE 20. TRIGONOMÉTRIE : LE RADIAN COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL
πd) Cercle gradué en . Cercle gradué avec des sixièmes de l’angle plat
6
Pour construire ces graduations, on trace deux droites perpendiculaires passant par le centre du cercle et
les médiatrices des rayons obtenus.
π π
3× =
6 2 π π
2× =π π
6 34× = 2×
6 3 Sens trigo.
π
π 6
5×
6
π 0
6× =π π6 12× = 2π
6
π π
7× 11×
6 6
π π
π π 10× = 5×
8× = 4× 6 3
6 3
π π
9× = 3×
6 2
III Cosinus et Sinus d’un réel
a) Représentation d’un réel sur un cercle trigonométrique
Définition
⊕
xM
1Un cercle C du plan est trigonométrique, A est un point de C
et un axe gradué représentant les reéls est tangent au cercle au
point A.
0◮ On place le réel x sur l’axe, O A
◮ On enroule les réels positifs dans le sens trigonométrique,
◮ On enroule les réels négatifs dans le sens contraire du
-1sens trigonométrique.
On obtient alors pour tout réel x un point M le représentant
surC.
# » # »˘x est alors une mesure en radian de l’arc orienté AM et donc aussi de l’angle orienté (OA;OM)
Remarque Chaque réel est représenté par un et un seul point, mais chaque point du cercle représente
une infinité de réel!b
III. COSINUS ET SINUS D’UN RÉEL 67
Définition Cosinus et Sinus d’un réel
⊕On considère maintenant un cercle trigonométrique et 1
un repère orthonormé d’unité 1 et d’origine, le centre sin(x) M(x)
du cercle.
0Pour tout réel x, on considère M le point du cercle le
−1 1représentant, on a alors : O cos(x)
◮ cos(x) =xM
◮ sin(x) =y −1M
ï ò
π
Remarque Si x∈ 0; , on retrouve la géométrie plane et la trigonométrie dans un triangle rectangle.
2
sin(x)
Remarque On définit ensuite, pour tout x réel, tan(x) = .
cos(x)
Propriétés
Pour tout réel x,
2 2
◮ cos(x)∈ [−1 ; 1] ◮ sin(x)∈ [−1; 1] ◮ cos (x)+sin (x) = 1
Démonstration:
Compléter le tableau (fig.20.2, p.67) :
π π π π π
Valeurs de x, 0 π − 2π
6 4 3 2 2
en radian
cos(x)
sin(x)
tan(x)
Tab. 20.2 – Les lignes trigonométriques classiques
Exercices : Livre : 23, 24, 25 page 188 ..... Valeurs remarquables.
Exercices : Livre : 26, 27 page 188 ..... Calculs.
Exercice : Livre : 41 page 191 ..... Lectures sur cercle.