cours droites et plan en géométrie analytique

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• Publié par: Phuwyir
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• Langue: Slovak

Extrait

Chapitre 15

Droites du plan en géométrie analytique

Il s’agit d’étudier et d’utiliser la position relative de deux droites dans un repère.

On utilisera donc les équations des droites et la position relative de deux droites dans le plan : Propriété Équation d’une droite Dans un repère(O;I, J), une droite est ◮soit parallèle à l’axe des ordonnées(Oy), alors elle a une équation réduite de la forme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◮soit sécantes avec l’axe des ordonnées (droites affines), alors elle a une équation de la forme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. et Propriété Les trois cas de positions relatives de deux droites dans le plan Deux droites du plan sont ◮soit .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ◮soit .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ◮. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .soit .

I Casdes droites parallèles Chacune des deux droites peut être affine ou pas, il y a donc 3 cas à envisager : Propriété Deux premiers cas Compléter : ◮Deux droites parallèles à(Oy)sont .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ◮. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Une droite affine et une autre non affine sont Démonstration:Oralement, évoquer les propriétés géométriques mises en jeu. Théorème le dernier cas ′ ′′ Dans un repère, deux droitesdetdd’équationsy=mx+pety=m x+psontparallèles ′ si, et seulement si, elles ont le même coefficient directeur :m=m. Démonstration: ′ Chacune des droites a une droite linéaire associée qui lui est parallèle, notéesDetDd’équationsy=mx ′ ety=m x. (à démontrer si nécessaire) 52

II. CASDES DROITES SÉCANTES

′ ′′ Les pointsA(1, m)etA(1;m)sont des points deDetD. ′ ′′ On a alors par équivalence :d//dsi, et seulement si,D//Dsi, et seulement si,D=D ′ ′ si, et seulement si,A=Asi, et seulement si,m=m. Exemple :

Voir l’image énoncé : triangle.gif et triangles.png pour un début de justification.

Exercices : Livre : 38, 35 page 113 .

II Casdes droites sécantes Comme dans le plan, deux droites non parallèles sont. . . . . . . . . . . . . . . . , on a immédiatement de l’étude précédente : Propriété Si une droite est affine et l’autre non alors elles sont sécantes.

Théorème ′ ′′ Dans un repère, deux droitesdetdd’équationsy=mx+pety=m x+psontsécantes ′ si, et seulement si,m6=m.

Dans les deux cas, on recherche leur point d’intersection, en résolvant un système. (et on vérifiera sur une représentation graphique) Exemples :

′ 1) Ondonned:y= 2x+ 1etd:x= 6, ′ 2) OndonneD:y= 2x+ 1etD:y=−x+ 5.

Exercices : Livre : 77, 78 page 119 .

III Casdes droites confondues

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Théorème ′ Dans un repère, deux droitesdetdsont confondues si, et seulement si, elles ont la même équation.

On utilise surtout l’application suivante en géométrie :

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CHAPITRE 15.DROITES DU PLAN EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Propriété Alignement de trois points Dans un repère,A,BetCsont alignés si, et seulement si, un des points appartient à la droite formée par les deux autres (et doncvérifie son équation). Ce qui permet de démontrer : Théorème Caractérisation de l’alignement de trois points Dans un repère, on considère trois pointsA,BetC. Les pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, ◮Soitx A =x B =x C , ◮Soitx A ,x B ,x C sont toutes différentes et les droites(AB)et(AC)ont le même coefficient directeur.

Exemples : ′ ′′ Tester l’alignement des pointsA(2; 3),B(0; 3)etC(2,−5)puis deA(2; 3),B(−1; 2)etC(5,4). Exercices : Livre : 58, 62 page 243 Problèmes d’alignement.

Exercice : Le bonnet d’âne http ://pagespersoorange.fr/therese.eveilleau/pages/paradoxe/indexF.htm