Cours du 23 Octobre 2008

Françoise

Description

CNAMParis20082009MVA013F.Guiiraud Cours du 23 Octobre 2008 Fonctions réciproques • Fonction monotone sur un intervalle Théorème : Unefonctionstrictementmonotonesurl’intervalle[a,b]effectueunebijectiondecetintervallesur[f(a),f(b)](ou[f(b),f(a)])doncilexisteunebijectionréciproquede[f(a),f(b)](ou[f(b),f(a)])dans[a,b].quiàf(x)faitcorrespondrex. 2Exemple :f:x→ x + 1eststrictementcroissantede[0,+∞[dans[1,+∞[doncilexisteunebijectionréciproquede2 −1[1,+∞[dans[0,+∞[,quel’ondétermineenécrivant:y=x +1⇔x= y1soit f (x) = x1• Graphe de la fonction réciproque −1 −1Passerdefà f revientàéchangerxety,doncsilesaxessontorthonorméslegraphedefetceluide f sontsymétriquesparrapportàlabissectricedesaxesy=x.Exercices:2 +a)Soitlafonctionf:x→2x +5.Montrerqu’elleeststrictementdécroissantesurR .Quelleestsabijectionréciproque?Tracerlesdeuxcourbessurlemêmegraphique.2 + - -festlacomposéedeh:x→2x etdeg:x→x+5,hestdécroissantedeR dans R et g estcroissantedeR 5y 5y+ 2 2dans ]∞,5],f(x)= go h(x) doncfestdécroissantesurR ;y=2x +5⇔x = ⇔x= 2 ...

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Extrait

CNAMParis 20082009 MVA013 F.Guiiraud

 

            

•       :  intervalle sur [a,b]Une fonction strictement monotone sur l’intervalle cet effectue une bijection de [f(a),f(b)] ( ou [f(b), f(a)]) donc il existe une bijection réciproque de [f(a),f(b)] ( ou [f(b), f(a)]) dans [a,b]. qui à f(x) fait correspondre x.     f : x→  x 2 +1  de [0 , +est strictement croissante∞ [1 , +[ dans∞ il existe une bijection réciproque de[ donc [1 , +∞ , +[ dans [0∞ =x[ , que l’on détermine en écrivant : y 2 + 1⇔ x = y1 soit f −1 (x) = x1

•      − Passer de f à f 1  de f et celui de le graphe , donc si les axes sont orthonormésrevient à échanger x et y f −1   sont symétriques par rapport à la bissectrice des axes y = x .  : a) Soit la fonction f : x→2x 2 + 5 . Montrer qu’elle est strictement décroissante sur +  sa est. Quelle bijection réciproque ? Tracer les deux courbes sur le même graphique. f est la composée de h :x→ 2x 2 et de g :x→x +5 , h est décroissante de + dans  et  g est croissante de    dans  ]∞, 5] , f(x) = gh(x) donc f est décroissante sur +  ; y = 2x 2 + 5⇔x 2  5  = 2 y    ⇔ y 2 5     = x f −1 x)(  5  =  x    2  



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  

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

 



  b) Soit la fonction : x f→  2x f(  meor flas ou   1x 1   2 = )x peu. On 1     3 x )xs   (firer tcé Nous allons montrer que f est croissante sur ] 1 ;+ ∞ [ . et qu’elle admet une fonction réciproque sur ] 1 ;+ ∞ [ que nous allons déterminer : On a : 0 < x 1   1 < x 2  x  donc– 1 1 1     x  >     1 2 x   2  t  e 1      1 1   <   1   1   x 2   2 ioss crcd noe ts , f   1 1 tean.  Cherchons l’ensemble d’arrivée   y = 2   x 1 1  soi= 1  x = 1+  1    à condition que y soit ≠ 2  t y 2  x1  et  2  y  La restriction de f à ] 1 ;+ ∞ [ est bijective de ] 1 ;+ ∞ [ dans ]  ∞, 2[ et elle admet une application réciproque

Q

∈

1    n  , n x +∞    

1        x +∞       

1       3    x +∞        

inférieures

Voici les limites des fonctions suivantes en x=0 :    1 1  x 2        x Lim q and ite u  +∞+∞ x→0 par valeurs supérieures Limite quand  ∞+∞                    x→0 par valeurs

•      λ   ! &∞   ⇔   lim f(x)  λ =0 : f(x) λ est arbitrairement petit dès que x est suffisamment grand en valeur −>∞

t 3

e es

+ λ =    l − i > m 000 f(x)=  ⇔   l − i > m 00 f(x)  λ =0  ⇔   li −> m 0 f(x 0 h)  0  la fonction f(x) = 3 +(x1) 2 admet pour limite 3 quand x→1 car f(1 + h) = 3 +h 2 dont la limit si x tend vers 1.

  la fonction f(x) = 1+ x 2 tend vers 1 quand x→0. •      λ  ! ! "      

     λ#  $ " !  !  #   $ •   %          ! " l  i −> m 0 f(x)=  ⇔  l  i −> m 0 f(x)  λ =0  ⇔f(x)=λ+g(x) avec l  i −> m 0 g(x)=0  

  

+

∞        

 

t grand en

  • "!   !   '          lim f(x)   signifie que si x   l − i > m  0 f(x)= +∞  ou   −> 0 = − ∞ x0 tend vers 0 f(x) d valeur absolue.

evient arbitrairemen

lim f(x)= −>∞

absolue.

 

 

 

 

 impossible

impossible

    

  

   

   

CNAMParis 20082009 MVA013

   

   

  

    

   

   

  

    

   

   

           f −1  : x →  1+   1 2  x    

 

  ! "    



  

    

   

 F.Guiiraud

 +∞ si l’ < 0 +∞         

∞   

 

forme indéterminée

lim (f/g)=lim(f. g 1  ) 

 ∞ si l’ > 0

 ∞ si l’ > 0

 +∞ < 0 si l’ forme indéterminée

 

 l.l’

 0

lim(f.g)

 0

∞             

CNAMParis 20082009 MVA013 F.Guiiraud

 +∞ si l >0

 

+∞       

forme indéterminée

l  l'  si l’≠0 forme indéterminée

 0

 0

 ∞ si l <0  forme indéterminée

+∞      

     +∞

 

 

 0

 l

∞             

 a.l

a.l

 l

 

+∞        ∞      

 0

0

lim( f+g)

 l + l’

u l’) ou infinies.   lim f lim a.f a∈R –{0}

n ∞, des limites finies ( l

lim  1 f   

o

 l’

Si l≠    l l   0  ,  si 0+ +∞       si 0 ∞ l  Si l≠  l   0,

      +∞

 0

 si  0+  0  +∞  ∞ si 0 ∞  si a>0  0            si a <0 +∞ +∞ si a>0 ∞ a <0 si  0+           +     ∞ ∞0  >   asi     0 +       i a  s  <0

+∞         

 l’

+∞          

lim g

+∞        

•  ! + ,- #!$* ≥,#!$  lim g(x)= +∞- lim f(x)= + ∞  −>+∞−>+∞ •  ! + ,- #!$* ≤,#!$  lim g(x)= −∞- lim f(x)= − ∞  −>+∞−>+∞ •  ! + ,- . #!$  .* ≤,#!$  lim g(x)=0-/ −>+∞ lim f(x)=  −>+∞ On a des énoncés analogues quand x→∞et quand x→x 0 • ()   ( ou des gendarmes) Soient f, g et h trois fonctions définies au voisinage de a, telles que, pour tout x de ce voisinage, g(x) < f(x) <   h(x). Si g et h ont des limites égales à l, quand x tend vers a, f a elle aussi une limite égale à l :     lim g(x)=lim f(x)=lim h(x) "l −> −> −>

: ilm (n)x 1 is    = −>0 x

•     '    ! &∞    lim f(x)= ∞  signifie   arbitrairementque f(x) peut être rendu dès grand en valeur absolue que x est −>∞ suffisamment grand en valeur absolue.        ()      Pour étudier les limites des fonctions autres que les fonctions usuelles, on peut utiliser les théorèmes suivants ( admis) :

: la fonction f =  1  admet pour limite +∞quand x→1 par   (x) x1 supérieures et admet pour valeurs limite ∞quand x→1 par valeurs inférieures.

   ,   On admet les résultats suivants , f et g désignent 2 fonctions admettant en x

0 , ou en +∞o

u e

CN

AMParis 20082009 MVA013

0!

•  lim (+ 1 ) = +∞  x→0 2  1 1 •  lim ( )= + ∞ ;  lim ( )= x→1 + x+ x 1 → −1 − x+1 − 1 1 • lim ( )= −  ∞ ; lim ( )= +   1 +  2x+1 1 −  2x+1 x→x→ 2 2 1

• 
 ' 23  !   ' %               Soit le polynôme p(x) = x  +  4  : 3x3 –2x +1. On l’écrit  x (  4 1 + 3  2 1  )   + 4    x  x 3 x

− ∞  

∞

 

 

 F.Guiiraud

1 0 lim ( 2  () = 3 )  On sait que lim ( )== lim   4 x x 3 x x→ +∞x→ +∞x→ +∞ 4  Donc lim p(x) = lim x = +∞   x→ +∞x→ +∞   : la limite d’un polynôme !   ' terme de sonest égale à la limite de plus haut degré.  

•    !   '
 '

 *    #!$ "  !    ! 5         6    4 ! !        % 1   x 3 +(1 x 2 2 ) x   1  +  x 2 1 2   x On obtient : f(x) = x 3 =   1 1  1 ( + 1 3  xce qui donne comme limite pour f , quand + 3 ) x x   tend vers l’infini, 1.   % la limite d’une fraction rationnelle !   'est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.   •       6     ' 

 cherchons la limite quand x tend vers 1 de la fraction :  + 2 f(x) =  x 3 x2( x3   1) 2  

Si x = 1, le numérateur et le dénominateur sont nuls. On factorise le numérateur :  . x 3  3x +2 = (x1) ( x 2 + x 2)  x 3  3x +2 = ( x – 1) 2  ( 2)  x + x   + 2    2 is   xset  l  ;rf aitcas nocr’é :it(x f= ) ≠1.

 La limite de la fraction f(x), quand x→1, est égale à lim ( 2 x+2 x→1                             cherchons la limite quand x tend vers 2 de la fraction

)

3 = 2

 

CNAMParis 20082009 MVA013 F.Guiiraud

3            f(x) =  (x   + x 2    ) + (   x 8   1)  . Si  x =  2, le numérateur et le dénominateur sont nuls.     2 (x+2)(x 2x +4)   On factorise le numérateur : f(x)  (x +2)(x 1)  =  x 2  tses   1  x i  +2x   4 x    ≠2  = à x 2 −2x+4  La limite de la fraction f(x), quand x→2, est égale lim =  4 x−1 x→ −2  la f tion f( 4  4            cherchons la limite quand x tend vers 2 de rac x) =  x 2   x  2  

Si x = 2 , le numérateur et le dénominateur sont nuls. On factorise le numérateur et le dénominateur : f(x) = (x 2  2 2 )(x 2 +2) 2 2 si x≠ 2 x ou≠ 2 = x +     x 2  La limite de la fraction f (x), quand x→ , est égale à 2 lim (x 2 +2) = 4

C’est la même limite quand x→ 2 .   7,  

x

→2

Si f est une fonction définie sur     I –{ x 0 } et si lim f(x) = a, on dit que g est un prolongement par continuité x−>x 000

de f en x 0 si et seulement si, pour tout x≠ x 0  = g(x) et, f(x) ( .g(x 0 ) = a 4  2: en x = x =  ou , la fonction f : x 2→  x 2  prolongement par continuité g définie  4  admet un x 2 

x 4  4 r g(x) = et g( 2 ) = g( 2 ) = 4. pa x 2  si x  2 ≠ 2  

  0! 1) Déterminer la limite quand x→ x0 et→ ± ∞des fonctions suivantes : 6 x 1     a) f(x) = 3  ;   )bf x( ) = x  1 + 3 4x ;  c) f(x) = 3  ; d) f(x) = 1 – x + x x x x  x  a) ∞ ve   +, rs 0∞ vers 0 +  ,  0    ; b)∞ vers 0 + et   s 0   , ver± ∞  ; c) +∞, +∞; d) ) ∞er v+ ,   0 s∞ vers 0 + ,± . ∞   2) Déterminer la limite quand x→x 0  x et→ ± ∞des fonctions suivantes : a) x 0 (  ,f = 2  = x x( ) 2 x +  4 2)x  2 3 ;  b) x 0 1= ) (x x  + 2   2xf ,1 = )  x  1   ; c 0  ;   + 2 x    3   ) = x+   ,3f x( =    x 2  + 4x +3    d) x 0 =  3 et x 0 = 1 , f(x) =  x2+2x  3    : a) +∞; b) ∞s+r e,v    1 ∞ vers 1  ;  +   c) ∞ ,+3    rsve ∞ vers 3 +  ;  d) ∞vers 1 , +∞ vers 1    ; + +∞   vers 3 , ∞ vers 3 +  .