cours equation d'une droite

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• Publié par: Dafeg
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• Langue: Français

Extrait

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Chapitre 8
Équation d’une droite
Dans toute la suite, on se place dans un repère (OIJ) du plan.
Exercice : Livre : Activité 3 page 92
Découvrir la notion d’équation.
Une équation pour une droite est une condition numérique sur les coordonnées d’un point pour qu’il
appartienne à cette droite. Elle se présentera comme une relation d’égalité utilisant x et y coordonnées
des points dans le repère.
Exemples : y = 2x−1, x−0,1 = 0 ...
Seules certaines relations sont des équations de droites, on propose dans la suite de découvrir lesquelles.
I Les parallèles aux axes du repère
Propriété
Valeur de la constante c
Toute parallèle à l’axe des abscisses (Ox) est l’en- 2
semble despointsduplanayantlamêmeordonnée.
1
Ce qui se traduit par une équation de droite de la
1 2 3 4O (Ox)forme y =c.
Démonstration:
Prenons deux points A et B sur cette droite Δ, montrons alors qu’ils ont même ordonnée.
′ ′Pour cela, on considère leur points associés A etB sur (Ox)
ΔA B ayant même abscisse. Comme la droite Δ = (AB) est paral-c
′ ′ ′ ′lèle à (Ox) etAB =AB , on a queABBA est un parallélo-
gramme.
Ses diagonales se coupent donc en leur milieu :Ç å
x +x y +0A B A′Le milieu de [AB ] est de coordonnées ; .
2 2Ç å
x +x y +0A B B′ ′ ′O A B Le milieu de [AB] est de coordonnées ; .(Ox)
2 2
On obtient donc y =y , que l’on notera c.A B
26b
II. LES NON PARALLÈLES AUX AXES OU OBLIQUES 27
Réciproquement, tout autre point M qui a la même ordonnée c est forcément un point de la
droite Δ
′En effet, soitM(x ;c) un tel point etM (x ,0) son point associé sur l’axe (Ox). On vérifie alors que lesM M
′ ′ ′ ′segments [AM ] et [AM] ont le même milieu! Le quadrilatère AMM A est donc un parallélogramme et
de là, la droite (AM) est parallèle à l’axe des abscisses. On peut alors en déduire que les droites (AM) et
Δ sont confondues puis que M est un point de Δ.
(Oy)Propriété
2
Toute parallèle à l’axe des ordonnées (Oy) est l’en-
1semble des points du plan ayant la même abscisse.
c
−2 −1 1 2OCe qui se traduit par une équation de la forme x =c.
Démonstration:
On procède de la même façon...
II Les non parallèles aux axes ou obliques
Propriété
Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées (Oy) est dite oblique et possède une équation de
la forme y =mx+p.
◮ m est le coefficient directeur de la droite,
◮ p est l’ordonnée à l’origine.
Dans ce cas la droite est la courbe de la fonction affine f qui à x associe f(x) =mx+p.
La droite est alors une droite affine.
Démonstration:
Soit (D) une droite oblique, on choisit deux points distincts A(x ;y ) et B(x ;y ).A A B B
Soit M(x;y) un point de (D). Une équation de (D) est une condition sur les coordonnées de M pour
traduire l’appartenance à (D).
On a trois cas possibles pour M,
◮ M appartient à la demi-droite issue de A ne contenant pas B1
◮ M appartient à le segment [AB]2
◮ M appartient à la demi-droite issue de B ne contenant pas A.3
Dans les trois cas, avec une parallèle à (Ox) passant parA, et en projetant parallèlement à (Oy) sur cette
droite, on obtient une configuration de Thalès avec les points AMN et ABC. N projeté de M et C celui
de B.
On fait un schéma dans un repère orthogonal, mais cela reste vrai dans tout autre repère puisqu’on utilise
que du parallélisme aux axes et pas leur perpendicularité.b
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6
28 CHAPITRE 8. ÉQUATION D’UNE DROITE
De là, dans tous les cas on peut appliquer le théo-
M rème de Thalès et on a :3
B
AM AN MN
M = = ,2
AB AC BCN1 A x−x y−yA A
qui donne = .
x −x y −yB A B AN2 C N3
Les produits en croix donnent alors une relationO
y −yB AM1 de la forme y =mx+p, avec m = .
x −xB A
Remarque
◮ m = 0 donne le cas parallèle à (Oy).
◮ La droite (AB) est oblique si, et seulement si, x =x .A B
◮ Une équation réduite est unique : deux droites ayant la même équation réduite sont confondues.
Propriété Formule du calcul de m
y −yB A
Pour une droite oblique (AB), on a m = .
x −xB A
On retrouve la caractérisation des fonctions affines :
m est le coefficient de proportionnalité entre les accroissements des images et des antécédents
Propriété Interprétation graphique de m et p
• La droite coupe l’axe des ordonnées à l’ordonnée à l’origine p.
• En prenant deux points A et B tels que x −x = 1,B A
on a la possibilité de visualiser graphiquement le coefficient m,
puisque dans ce cas : m =y −y .B A
m positif : la droite est dirigée vers le haut m négatif : la droite est dirigée vers le bas
B
+1m pA
mA+1
B
p
Exercices : Livre : 33, 34 page 113
Obtenir l’équation.
Exercice : Livre : 72 page 118
Lire graphiquement.
Exercice : Livre : 44 page 114
Résoudre un système, vérifier graphiquement.II. LES NON PARALLÈLES AUX AXES OU OBLIQUES 29
Exercice : Livre : 68 page 117
interpolation linéaire.
Exercice : Livre : 77 page 119
Montrer avec une équation.