Cours - Espaces vectoriels de dimension finie
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Cours - Espaces vectoriels de dimension finie

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6c Christophe Bertault - MPSIEspaces vectoriels de dimension finieDans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est uncorps quelconque — sauf les deux derniers exemples du chapitre — mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.La notion de dimension appartient aujourd’hui au vocabulaire de tout un chacun. Il est entendu qu’une droite ou une mêmecourbe est de dimension 1; qu’un plan ou même une surface est de dimension 2; et que nous vivons dans un espace à troisdimensions. Il n’est cependant pas forcément aisé de donner un sens rigoureux à ces idées courantes. C’est précisément ce qu’onsouhaite faire ici : proposer une définition axiomatique de la dimension et en faire la théorie.Définition (Espace vectoriel de dimension finie) Soit E unK-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie siE possède une famille génératrice (finie). Explication Pourquoi préciser « finie » dans cette définition? Une famille génératrice pourrait-elle donc être infinie?Il est vrai que les familles de vecteurs du programme de MPSI sont toutes finies, mais vous étudierez aussi des familles infiniesen deuxième année. En prévision, retenez d’ores et déjà qu’un espace vectoriel de dimension finie, comme son nom le suggère, sevoit imposer une certaine condition de finitude.n ∗Exemple Les espaces vectoriels K (n∈N ) etK [X] (n∈N) sont de dimension finie. On en connaît en effet des famillesngénératrices, puisqu’on en ...

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c Christophe Bertault - MPSI
Espaces vectoriels de dimension finie
Dans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. Tous les résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais siK est un
corps quelconque — sauf les deux derniers exemples du chapitre — mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.
La notion de dimension appartient aujourd’hui au vocabulaire de tout un chacun. Il est entendu qu’une droite ou une même
courbe est de dimension 1; qu’un plan ou même une surface est de dimension 2; et que nous vivons dans un espace à trois
dimensions. Il n’est cependant pas forcément aisé de donner un sens rigoureux à ces idées courantes. C’est précisément ce qu’on
souhaite faire ici : proposer une définition axiomatique de la dimension et en faire la théorie.
Définition (Espace vectoriel de dimension finie) Soit E unK-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finie si
E possède une famille génératrice (finie).
Explication Pourquoi préciser « finie » dans cette définition? Une famille génératrice pourrait-elle donc être infinie?
Il est vrai que les familles de vecteurs du programme de MPSI sont toutes finies, mais vous étudierez aussi des familles infinies
en deuxième année. En prévision, retenez d’ores et déjà qu’un espace vectoriel de dimension finie, comme son nom le suggère, se
voit imposer une certaine condition de finitude.
n ∗Exemple Les espaces vectoriels K (n∈N ) etK [X] (n∈N) sont de dimension finie. On en connaît en effet des famillesn
génératrices, puisqu’on en connaît même des bases : leurs bases canoniques.
Notons tout de suite que tout-espace vectoriel n’est pas de dimension finie, comme l’indique l’exemple suivant :
Exemple K[X] n’est pas de dimension finie.
En effet Soit (P ,P ,...,P ) une famille de polynômes deK[X]. Notons d le maximum des ∂˚P , k décrivant1 2 n k
d+1J1,nK — avec la convention que d = 0 si P = P = ... = P = 0. Alors X n’est pas combinaison linéaire1 2 n
deP ,P ,...,P , donc comme voulu (P ,P ,...,P ) n’est pas génératrice deK[X]. Bref : aucune famille finie de1 2 n 1 2 n
vecteurs deK[X] n’engendreK[X], doncK[X] n’est pas de dimension finie.
1 Problèmes d’existence : bases et dimension
1.1 Existence de bases

Théorème (Théorème de la base incomplète) SoitE = 0 unK-espace vectoriel de dimension finie engendré par uneE
certaine famille (x ,x ,...,x ). Soit en outre (y ,y ,...,y ) une famille libre deE.1 2 n 1 2 p
On peut compléter (y ,y ,...,y ) en une base de E en lui ajoutant certains vecteurs de la famille (x ,x ,...,x ).1 2 p 1 2 n
En pratique La preuve est donnée ci-dessous sous la forme d’un algorithme dit de la base incomplète qu’il convient
à tout prix de maîtriser car on s’en sert très souvent.
Démonstration
• L’algorithme de la base incomplète consiste à compléter peu à peu la famille (y ,y ,...,y ) à l’aide de1 2 p
certains x bien choisis (k∈ J1,nK) de manière à ce que le résultat soit finalement une base deE.k
1) La variable B que l’algorithme consiste à construire est initialisée à la valeur (y ,y ,...,y ) —1 2 p
famille libre.
2) L’algorithme se poursuit par une boucle. Pour k décrivant l’ensemble des entiers de 1 à n :
si la familleB augmentée du vecteurx est libre,k
i.e. si x n’est pas combinaison linéaire des éléments deB,k
alors on remplace la variableB par la familleB augmentée du vecteurx .k
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Il n’est pas nécessaire de le préciser dans l’algorithme, mais si B augmentée de x est liée, on laisse lak
variableB tranquille et on reboucle directement. Remarquez bien que cet algorithme fait grossir B peu
à peu : on ajoute certains vecteurs mais on n’en enlève jamais.
• Par construction, la famille B obtenue finalement est une famille libre : en effet, à chaque étape de l’algo-
rithme, on a pris grand soin de préserver la liberté de la famille initiale (y ,y ,...,y ).1 2 p
• Il nous reste à montrer queB engendreE. Or la famille (x ,x ,...,x ) engendreE. Dès lors, pour montrer1 2 n
que B engendre E, il nous suffit de montrer que tous les x (k ∈ J1,nK) sont combinaisons linéaires desk
éléments deB.
Soit donck∈ J1,nK. Si toutd’abordx apparaît explicitementdansB,alors évidemmentx est combinaisonk k
linéaire des éléments deB, égal à lui-même.
Supposons au contraire quex n’est pas un vecteur deB. Ceci signifie que, dans l’algorithme précédent,xk k
n’a pas été ajouté à la familleB en cours de construction, et donc, par définition de cet algorithme, quexk
est combinaison linéaire de certains vecteurs deB. C’est justement ce que nous voulions.

Exemple On poseF =Vect (1,−5,7),(2,6,8),(3,1,15),(1,11,1) . Alors la famille (1,−5,7),(2,6,8) est une base deF.
En effet Utilisons ici « bêtement » l’algorithme de la base incomplète.
• La famille (1,−5,7) est libre car le vecteur (1,−5,7) est non nul.
• Qu’en est-il de la famille (1,−5,7),(2,6,8) ?
Soient λ,μ∈R. On suppose queλ(1,−5,7)+μ(2,6,8) = (0,0,0). Alors λ+2μ = 0 et−5λ+6μ = 0, donc
6μ = 5λ =−3λ. Ainsiλ = 0, puisμ = 0. La famille est libre.
• Qu’en est-il de la famille (1,−5,7),(2,6,8),(3,1,15) ?
Elle est liée car, par exemple : (3,1,15) = (1,−5,7)+(2,6,8).
• Qu’en est-il de la famille (1,−5,7),(2,6,8),(1,11,1) ?
Elle est liée car, par exemple : (1,11,1) = (2,6,8)−(1,−5,7).
• Finalement, comme annoncé, (1,−5,7),(2,6,8) est une base deF. Une remarque pour conclure : si nous
avions permuté les quatre vecteurs qui définissent F au départ, nous aurions trouvé une autre base de F ;
mais peu importe, l’essentiel c’est d’en avoir une.
Corollaire (Existence de bases)
Soit E = 0 unK-espace vectoriel de dimension finie. Alors E possède une base (finie).E
Explication Ce résultat montre que la définition « posséder une famille génératrice » des espaces vectoriels de
dimension finie est équivalente à la définition « posséder une base » — sauf dans le cas où l’espace vectoriel est réduit au seul
vecteur nul.

$$$ Attention ! SiE = 0 , alors E n’a pas de base, car E n’admet même aucune famille libre.E

Démonstration PuisqueE = 0 , nous pouvons nous donner un vecteury = 0 deE. Alors (y) est libre (carE E
y = 0 ). Or E est de dimension finie, donc possède une famille génératrice (x ,x ,...,x ). Grâce au théorèmeE 1 2 n
de la base incomplète, on peut compléter la famille (y) en une base au moyen de certains vecteurs de la famille
(x ,x ,...,x ). Cela montre bien l’existence d’une base deE. 1 2 n
Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du théorème de le base incomplète.

Corollaire (Théorème de la base incomplète (bis)) Soit E = 0 unK-espace vectoriel de dimension finie.E
(i) De toute famille génératrice deE on peut extraire une base de E.
(ii) Toute famille libre deE peut être complétée en une base de E.
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1.2 Existence de la dimension
Théorème (Nombre d’éléments d’une famille libre/génératrice) Dans unK-espace vectoriel de dimension finie, une
famille libre a toujours moins d’éléments qu’une famille génératrice.

Démonstration Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie. Si E = 0 , alors il n’existe aucuneE
famille libre de vecteurs de E : il n’y a donc rien à démontrer dans ce cas. Supposons au contraire E = 0 etE
donnons-nous (x ,x ,...,x ) une famille génératrice de E et (y ,y ,...,y ) une famille libre de E. Nous devons1 2 n 1 2 p
montrer quep6n. Raisonnons par l’absurde en supposant p>n+1.
• Première étape : Puisque (x ,x ,...,x ) engendre E, y est combinaison linéaire de x ,x ,...,x :1 2 n 1 1 2 n
nX
(1) (1)y = λ x . Les coefficients λ , k∈ J1,nK, peuvent-ils être tous nuls? Non, car sinon y serait nul et1 1kk k
k=1
cela contredirait la liberté de la famille (y ,y ,...,y ). Quitte à modifier l’ordre des vecteursx ,x ,...,x ,1 2 p 1 2 n" #
nX1(1) (1)
nouspouvonssupposerparexemplequeλ = 0,desorteque: x = y − λ x . Finalement:1 1 k1 k(1)
λ1 k=2
Vect(y ,x ,...,x ) =Vect(x ,x ,...,x ) (opérations sur les Vect)1 2 n 1 2 n
=E, la famille (x ,x ,...,x ) étant génératrice de E.1 2 n
Nous venons de montrer que (y ,x ,...,x ) engendre E.1 2 n
• Deuxième étape : Puisque (y ,x ,...,x ) engendre E d’après la première étape, y est combinaison1 2 n 2
nX
(2) (2) (2)
linéaire dey ,x ,...,x : y =λ y + λ x . Les coefficients λ , k∈ J2,nK, peuvent-ils être tous1 2 n 2 1 k1 k k
k=2
(2)nuls? Non, car sinon on auraity =λ y et cela contredirait la liberté de la famille (y ,y ,...,y ). Quitte2 1 1 2 p1
(2)
à modifier l’ordre des vecteurs x ,x ,...,x , nous pouvons supposer par exemple que λ = 0, de sorte2 3 n 2" #
nX1 (2) (2)
que : x = y −λ y − λ x . Finalement :2 2 1 k1 k(2)
λ2 k=3
Vect(y ,y ,x ,...,x ) =Vect(y ,x ,x ,...,x ) (opérations sur les Vect)1 2 3 n 1 2 3 n
=E, la famille (y ,x ,...,x ) étant génératrice deE.1 2 n
Nous venons de montrer que (y ,y ,x ,...,x ) engendreE.1 2 3 n
• Troisième étape : Puisque (y ,y ,x ,...,x ) engendreE d’après la deuxième étape, y est combinaison1 2 3 n 3
nX
(3) (3) (3) (3)
linéaire dey ,y ,x ,...,x : y =λ y +λ y + λ x . Les coefficients λ , k∈ J3,nK, peuvent-1 2 3 n 3 1 2 k1 2 k k
k=3
(3) (3)ils être tous nuls? Non, car sinon on aurait y =λ y +λ y et cela contredirait la liberté de la famille3 1 21 1
(y ,y ,...,y ). Quitte à modifier l’ordre des vecteursx ,x ,...,x , nous pouvons supposer par exemple que1 2 p 3 4 n" #
nX1(3) (3) (3) (3)λ = 0, de sorte que : x = y −λ y −λ y − λ x . Finalement :3 3 1 2 k3 1 2 k(3)λ
3 k=4
Vect(y ,y ,y ,x ,...,x ) =Vect(y ,y ,x ,x ,...,x ) (opérations sur les Vect)1 2 3 4 n 1 2 3 4 n
=E, la famille (y ,y ,x ,...,x ) étant génératrice deE.1 2 3 n
Nous venons de montrer que (y ,y ,y ,x ,...,x ) engendre E.1 2 3 4 n
• Etapes suivantes : On poursuit sur cette lancée jusqu’à obtenir le résultat suivant : (y ,y ,...,y )1 2 n
engendre E.
Or par hypothèsep>n+1. Ainsiy est bien défini et se trouve être combinaison linéaire dey ,y ,...,y . Celan+1 1 2 n
contredit la liberté de la famille (y ,y ,...,y ) et achève donc de prouver le théorème.1 2 p
Pourquoi n’avons-nous pas rédigé ce raisonnement sous la forme d’une récurrence? Une telle récurrence aurait été
assez facile à écrire si nous n’étions pas obligés à chaque étape dechanger l’ordre de certains desx (k∈ J1,nK).k
Mais justement nous avons dû le faire. La présentation adoptée ci-dessus conserve une certaine clarté, quoi que
vous puissiez en penser. Nous aurions pu rédiger une vraie « belle » récurrence, mais c’eût été peu lisible.
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Définition (Existence de la dimension) Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie. • SiE = 0 , toutes les bases deE ont le même nombre d’éléments. Cet entier unique est appelé la dimension de E etE
notée dimE. • SiE = 0 , on décrète par convention que dimE = 0.E
Dans le cas où dimE = 1, on dit queE est une droite (vectorielle); dans le cas où dimE = 2, queE est un plan (vectoriel).

′ ′ ′Démonstration SupposonsE = 0 . Soient (e ,e ,...,e ) et (e ,e ,...,e ) deux bases deE. Nous devonsE 1 2 m 1 2 n
′ ′ ′montrerl’égalitém =n. Or (e ,e ,...,e ) estlibre et (e ,e ,...,e ) engendreE, doncm6n d’après le théorème1 2 m 1 2 n
précédent. Symétriquement, nous avonsn6m, et doncm =n comme voulu.
Exemple
n n• Pourtoutn∈N,dimK =ncarlabasecanoniquedeK ,àsavoirlafamille (1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1) ,
est une famille de n vecteurs.
2 n• Pour toutn∈N, dimK [X] =n+1 car la base canonique deK [X], à savoir la famille (1,X,X ,...,X ), est une famillen n
den+1 vecteurs — et non pas n, erreur classique que vous me ferez le plaisir d’éviter!
Corollaire Dans un K-espace vectoriel de dimension finie E, toute famille libre possède au plus dimE éléments et toute
famille génératrice en possède au moins dimE.
Démonstration SoientE unK-espacevectoriel dedimensionfinienetdebaseB.SoientenoutreL unefamille
libre de E et G une famille génératrice de E. Comme L est libre et B génératrice à n éléments, un précédent
théorème affirme queL a au plus n éléments. De même, commeB est libre à n éléments etG génératrice, alors
G a au moins n éléments.

Corollaire (Caractérisation des bases) Soient E = 0 un K-espace vectoriel de dimension finie n et (x ,x ,...,x )E 1 2 n
une famille de vecteurs deE. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) (x ,x ,...,x ) est une base deE.1 2 n
(ii) (x ,x ,...,x ) est génératrice deE.1 2 n
(iii) (x ,x ,...,x ) est libre.1 2 n
$$$ Attention ! Ce théorème ne dit pas que « base = famille génératrice = famille libre » en dimension finie! Il affirme
seulement que cette identité est vraie lorsque les familles considérées sont composées d’exactement dimE vecteurs.
En pratique Quand on connaît dimE, pas la peine de montrer la liberté et le caractère générateur d’une famille
pour montrer qu’elle est une base de E : l’un des deux suffit. Ca nous fait deux fois moins de travail!
Démonstration L’assertion (i) implique trivialement les assertions (ii) et(iii).
(ii) =⇒ (i) Si (x ,x ,...,x ) engendre E, on peut en extraire une base de E d’après le théorème de la base1 2 n
incomplète. Or toutes les bases de E ont exactement n éléments, donc en fait (x ,x ,...,x ) est déjà une1 2 n
base de E.
(iii) =⇒ (i) Si (x ,x ,...,x ) est libre, on peut la compléter en une base deE d’après le théorème de la base1 2 n
incomplète. Or toutes les bases de E ont exactement n éléments, donc en fait (x ,x ,...,x ) est déjà une1 2 n
base de E.

3Exemple La famille (0,1,2),(1,2,0),(2,0,1) est une base deR .
3En effet Comme R est de dimension 3, et comme la famille considérée est constituée de trois éléments,
3nous saurons que cette famille est une base deR quand nous aurons montré qu’elle est libre. Soient λ,μ,ν∈R.
On suppose que λ(0,1,2) + μ(1,2,0) +ν(2,0,1) = (0,0,0), i.e. que λ = −2μ, μ = −2ν et ν = −2λ. Alors
λ =−2μ = 4ν =−8λ, et doncλ = 0, puisμ =ν = 0 également. C’est terminé.
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Théorème (Isomorphisme et dimension) Soit E unK-espace vectoriel de dimension n.
n(i) Alors E etK sont isomorphes. 
nK −→ E
nXPrécisément,sin = 0etsi (e1,e2,...,en)estunebasedeE,l’application estunisomorphisme.(λ ) → λ e k 16k6n k k
k=1
(ii) UnK-espace vectoriel est isomorphe à E si et seulement s’il est de dimension finie n.
Explication Résultat théorique fondamental : deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et
seulement s’ils ont la même dimension. Cela veut dire qu’on peut classer les espaces vectoriels de dimension finie à isomorphisme
près en fonction de leur seule dimension : la dimension contient toute l’information structurelle nécessaire.
Démonstration L’assertion (i) est connue — définition des bases. Quid de l’assertion (ii)? SoitF unK-espace
vectoriel. Pour n = 0, i.e. E = 0 , il est clair que F est isomorphe à E si et seulement F est lui-même deE
dimension 0. Supposonsn = 0.
n• Si F est de dimension finie n, E et F sont isomorphes àK d’après (i), donc isomorphes entre eux.
• Réciproquement, supposons E et F isomorphes. Nous pouvons alors nous donner un isomorphisme f de
E sur F et une base (e ,e ,...,e ) de E. Nous savons alors, f étant un isomorphisme de E sur F, que1 2 n
f(e ),f(e ),...,f(e ) est une base deF. Cela montre bien queF est lui aussi de dimension finie n. 1 2 n
Théorème (Dimension d’un espace vectoriel produit) SoientE etF deuxK-espaces vectoriels de dimension finie. Alors
E×F est de dimension finie et : dim(E×F) = dimE +dimF.
Démonstration F −→ E×F• Si dimE = 0, i.e. E = 0 , E×F et F sont isomorphes via l’isomorphisme , doncE
f → (0 ,f)E
dim(E×F) = dimF = dimE +dimF. — Même chose si F est de dimension 0.
• Aprésent,supposantE etF dedimensions nonnulles,fixons(e ,e ,...,e )unebasedeE et (f ,f ,...,f )1 2 m 1 2 n
une base deF. Nous savons qu’alors (e ,0 ),(e ,0 ),...,(e ,0 ),(0 ,f ),(0 ,f ),...,(0 ,f ) est une1 F 2 F m F E 1 E 2 E n
base de E×F. Du coup E×F est de dimension finie et dim(E×F) =m+n = dimE +dimF.
Théorème (Dimension d’un espace vectoriel d’applications linéaires) Soient E et F deux K-espaces vectoriels de
dimension finie. AlorsL(E,F) est de dimension finie et : dimL(E,F) = dimE×dimF.

Démonstration Posons n = dimE. Si n = 0, i.e. E = 0 , la seule application linéaire de E dans F estE
l’applicationnullequienvoie0 sur0 ,doncL(E,F) = 0 etdimL(E,F) = 0 = dimE×dimF.SupposonsE F L(E,F) nL(E,F) −→ F n = 0etfixonsunebase (e ,e ,...,e )deE.Noussavonsqu’alors l’application1 2 n f → f(e )k
16k6n
nest un isomorphisme. Or F est de dimension finie donc F aussi — théorème précédent — et donc L(E,F)
négalement. Enfin : dimL(E,F) = dimF = dim F×F×...×F =n×dimF = dimE×dimF.
2 Sous-espaces vectoriels et dimension finie
2.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel
Théorème (Dimensiond’un sous-espace vectoriel) SoientE unK-espace vectoriel dedimensionfinieetF unsous-espace
vectoriel deE.
(i) Alors F est de dimension finie et : dimF 6 dimE.
(ii) En cas d’égalité des dimensions dimF = dimE, on a l’égalité des ensembles F =E.
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Démonstration
(i) SiF = 0 , nous n’avons rien à démontrer. Supposons doncF = 0 .E E
NotonsL l’ensemble des nombres d’éléments des familles libres de F. AlorsL est non vide car F = 0 .E
Mais par ailleurs toute famille libre de F est une famille libre de E, donc est constituée d’au plus dimE
éléments — ainsiL est majorée par dimE. FinalementL est une partie nonvide majorée deN, donc possède
unplusgrandélémentn6 dimE.Ilexistedoncunefamillelibre(x ,x ,...,x )deF ànéléments.Montrons1 2 n
que(x ,x ,...,x )estunebasedeF.CelamontreraqueF estdedimensionfinieetquedimF =n6 dimE.1 2 n
Ce qui est sûr en tout cas, c’est que (x ,x ,...,x ) est libre par définition.1 2 n
Montrons que (x ,x ,...,x ) engendreF. Soit x∈F. Alors (x ,x ,...,x ,x) est liée par maximalité de n1 2 n 1 2 n
dansL. Cela implique aussitôt que x est combinaison linéaire de x ,x ,...,x , car on sait qu’en ajoutant1 2 n
à une famille libre un vecteur non combinaison linéaire des vecteurs de cette famille, on conserve la liberté.
Cela prouve comme voulu que (x ,x ,...,x ) engendreF.1 2 n
(ii) On suppose à présent que dimF = dimE =n. Bien sûr, pour n = 0, E =F = 0 . Pour n = 0, fixonsE
(e ,e ,...,e ) une base de F. Alors (e ,e ,...,e ) est une famille libre de E à n = dimE éléments, donc1 2 n 1 2 n
est une base de E en vertu d’un précédent résultat. En particulier : E =Vect(e ,e ,...,e ) =F. 1 2 n
2.2 Existence de supplémentaires
Théorème (Existencedesupplémentaires) SoientE unK-espace vectorieldedimensionfinieetF unsous-espacevectoriel
deE. Alors F possède un supplémentaire dans E.
$$$ Attention ! Il est interdit de parler « du » supplémentaire d’un sous-espace vectoriel en général, faute d’unicité :
on parle toujours d’un supplémentaire. Nous le savions déjà, mais la preuve suivante le confirme.
Démonstration En tant que sous-espace vectoriel deE qui est de dimension finie,F est lui aussi de dimension
finie. Si F = 0 , alors E est un supplémentaire de F dans E. Supposons désormais F = 0 . Alors FE E
possède une base (e ,e ,...,e ). Cette famille (e ,e ,...,e ) étant libre dansE, on peut la compléter en une base1 2 p 1 2 p
(e ,e ,...,e ) deE grâce au théorème de la base incomplète.1 2 n
Posons alors G =Vect(e ,e ,...,e ) et montrons queF et G sont supplémentaires dans E.p+1 p+2 n
• Montrons que E = F +G. Soit x ∈ E de coordonnées (x ,x ,...,x ) dans (e ,e ,...,e ). Introduisons1 2 n 1 2 n
p nX X
l’élément f = x e ∈F et g = x e ∈G. Alors tant mieux : x =f +g.k k k k
k=1 k=p+1 • Montrons que F ∩G = 0 . Soit x∈ F ∩G de coordonnées (x ,x ,...,x ) dans la base (e ,e ,...,e )E 1 2 p 1 2 p
de F et de coordonnées (x ,x ,...,x ) dans la base (e ,e ,...,e ) de G. On a alors l’égalitép+1 p+2 n p+1 p+2 n
p nX X
x e − x e = x−x = 0 . La liberté de la famille (e ,e ,...,e ) implique aussitôt la nullité dek k k k E 1 2 n
k=1 k=p+1
x ,x ,...,x , et doncx = 0 comme voulu. 1 2 n E
n o
3Exemple On pose F = (x,y,z)∈R / x = 2y et z = 0 .
3Alors Vect (1,0,0),(0,0,1) est un supplémentaire deF dansR .
En effet Comme la preuve du théorème précédent l’indique, c’est grâce au théorème — et donc à l’algorithme
— de la base incomplète qu’on construit des supplémentaires en dimension finie.
• Pour commencer, nous avons besoin d’une base de F. La famille (2,1,0) est clairement génératrice de F
et bien sûr elle est libre : c’est donc une base deF.
3• Nous disposons par ailleurs d’une base deR , par exemple sa base canonique (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) , qui
3va nous servir à compléter la base (2,1,0) deF en une base deR .
1) La famille (2,1,0),(1,0,0) est-elle libre? Oui.
2) Et la famille (2,1,0),(1,0,0),(0,1,0) ? Elle est liée car : (2,1,0) = 2(1,0,0)+(0,1,0).
3) Qu’en est-il enfin de la famille (2,1,0),(1,0,0),(0,0,1) ? Elle est libre.
3Finalement, posons G = Vect (1,0,0),(0,0,1) . Alors G est un supplémentaire de F dans R d’après la
preuve du théorème précédent.
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n o
3Exemple On poseF = P ∈R [X]/ P(X +1) =P(1−X) . Alors Vect(X,X ) est un supplémentaire deF dansR [X].3 3
En effet
3 2• Commençons par trouver une base deF. Pour tout P =aX +bX +cX +d∈R [X] :3
3 2 3 2
P ∈F ⇐⇒ a(X +1) +b(X +1) +c(X +1)+d =a(1−X) +b(1−X) +c(1−X)+d
a = −a
3a+b = 3a+b après identification des coefficients⇐⇒
3a+2b+c = −3a−2b−c
a+b+c+d = a+b+c+d ⇐⇒ a = 0 et 2b+c = 0.
2Ce calcul montre que (1,X −2X) engendreF. Cette famille étant libre, c’est une base deF.
2 3• Nousdisposonsparailleursd’unebasedeR [X]enlapersonne,parexemple,delabasecanonique(1,X,X ,X ).3
2Servons-nous-en pour compléter la base (1,X −2X) deF en une base deR [X].3
21) Bien sûr, la famille (1,X −2X,1) est liée.
22) Par contre la famille (1,X −2X,X) est libre — degrés échelonnés.
2 23) Quant à la famille (1,X −2X,X,X ), elle est clairement liée.
2 34) Enfin la famille (1,X −2X,X,X ) est libre — degrés échelonnés.
3Finalement, posons G =Vect(X,X ). Alors G est un supplémentaire de F dansR [X].3
2.3 Dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels
Théorème (Dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels) Soient E unK-espace vectoriel pas nécessairement
de dimension finie et F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E.
(i) Alors F +G est de dimension finie et : dim(F +G) = dimF +dimG−dim(F∩G) (formule de Grassmann).
(ii) En particulier, si F et G sont en somme directe : dim(F +G) = dimF +dimG.

Démonstration Si dimF = 0, F +G =G et F∩G = 0 donc le résultat souhaité est vrai — de même siE
dimG = 0. Supposons désormais F et G de dimension non nulle.
(ii) Commençons par supposer F et G en somme directe et donnons-nous (f ,f ,...,f ) une base de F et1 2 m
(g ,g ,...,g )unebasedeG.Noussavonsqu’alors (f ,f ,...,f ,g ,g ,...,g )estunebasedeF⊕G—car1 2 n 1 2 m 1 2 n
lasomme est directe.EnparticulierF+G estdedimension finieet: dim(F+G) =m+n = dimF+dimG.
(i) CommeF est de dimension finie,F∩G l’est aussi et nous pouvons donc nous donner un supplémentaireH
deF∩G dansF — en particulierH est de dimension finie. D’après (i) : dimF = dimH+dim(F∩G) ♠.
Montrons à présent queH est aussi un supplémentaire deG dansF +G.
1) Montrons queH∩G = 0 . C’est facile : H∩G = (H∩F)∩G =H∩(F∩G) = 0 , carE E
H est un supplémentaire deF∩G dansF.
2) Montrons que H +G = F +G, i.e. en fait que F +G⊆ H +G. Soit x∈ F +G donné sous la
′forme x = f +g avec f ∈ F et g ∈ G. Comme F = H + (F ∩G), f = h +g pour certains h∈ H et
′ ′ ′g ∈F∩G. Alors x =f +g = (h+g )+g =h+(g +g ), ce qui montre comme voulu quex∈H +G.
Finalementl’assertion(i)montrequeF+Gestdedimensionfinieetque: dim(F+G) = dimH+dimG ♣.
On conclut en éliminant dimH dans les égalités♠ et♣.
Corollaire (Caractérisation de la supplémentarité) Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et F et G deux
sous-espaces vectoriels deE. On s’intéresse aux trois assertions suivantes :
(i) dimF +dimG = dimE. (ii) F∩G = 0 . (iii) F +G =E.E
Alors F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si deux seulement des trois assertions (i), (ii) et (iii) sont vraies.
En particulier, si F et G sont supplémentaires dans E, les trois assertions (i), (ii) et (iii) sont vraies.
Démonstration Notons⋆ la formule de Grassmann : dim(F +G) = dimF +dimG−dim(F∩G).
(i) et (ii) =⇒ (iii) D’après⋆ : dim(F +G) = dimE. Or F +G⊆E, donc forcément F +G =E.
(ii) et (iii) =⇒ (i) On obtient (i) tout de suite grâce à⋆.
(iii) et (i) =⇒ (ii) D’après⋆ : dim(F∩G) = 0, donc forcément F∩G = 0 . E
7c Christophe Bertault - MPSI
En pratique Le théorème précédent simplifie de beaucoup la preuve que deux sous-espaces vectoriels donnés
sont supplémentaires dans un certain espace vectoriel ambiant. En effet, bien souvent, les dimensions des espaces vectoriels sont
connues, et donc on n’a plus qu’à démontrer que «F∩G = 0 » — généralement facile — ou que «F +G =E ». Très utile!E
n o
3Exemple On pose F = (x,y,z)∈R / x+ 2y + 3z = 0 et G = Vect (0,1,0) . Alors F et G sont deux sous-espaces
3vectoriels supplémentaires dansR .
3En effet Nous admettrons queF etG sont des sous-espaces vectoriels deR . Il nous suffit donc de montrer quen o
3F∩G = (0,0,0) et que dimF +dimG = dimR = 3.n o
• On montre aisément queF∩G = (0,0,0) .
• Montrons que dimF + dimG = 3. Déjà il est clair que dimG = 1. Il ne nous reste donc qu’à montrer quen o
dimF = 2. Or F = (−2y−3z,y,z) =Vect (−2,1,0),(−3,0,1) . La famille (−2,1,0),(−3,0,1)
y,z∈R
étant libre — cela se voit sur les deuxième et troisième coordonnées — on en déduit qu’elle est une base de
F, et a fortiori queF est de dimension 2.
3 Rang
Nousintroduisonsci-aprèsdeuxnotions:lanotionde rang d’une famille de vecteurs etcelle de rang d’une application linéaire.
Dans les deux cas, le rang est un entier naturel. Les résultats de ce chapitre relatifs à cette notion resteront assez théoriques,
quoiqu’utiles. Nous attendrons le prochain chapitre pour donner une méthode de calcul rapide et simple du rang.
3.1 Rang d’une famille de vecteurs
Définition (Rang d’une famille de vecteurs) Soient E un K-espace vectoriel pas nécessairement de dimension fi-
nie et (x ,x ,...,x ) une famille de vecteurs de E. Alors Vect(x ,x ,...,x ) est de dimension finie. La dimension de1 2 n 1 2 n
Vect(x ,x ,...,x ) est appelée le rang de (x ,x ,...,x ) et notée rg(x ,x ,...,x ).1 2 n 1 2 n 1 2 n
Par ailleurs : rg(x ,x ,...,x )6n, avec égalité si et seulement si (x ,x ,...,x ) est libre.1 2 n 1 2 n
Démonstration La famille (x ,x ,...,x ) engendre Vect(x ,x ,...,x ), donc Vect(x ,x ,...,x ) est de1 2 n 1 2 n 1 2 n
dimension finie et rg(x ,x ,...,x ) est bien défini. Or la dimension est toujours inférieure au nombre d’éléments1 2 n
d’une famille génératrice, donc : rg(x ,x ,...,x ) = dimVect(x ,x ,...,x )6 n. Enfin cette inégalité est1 2 n 1 2 n
une égalité si et seulement si la famille (x ,x ,...,x ) est libre — car dans un espace vectoriel de dimension n,1 2 n
une famille de n vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice.

2 3Exemple rg(1,X,X ,X ) = 4, rg(X,2X,3X) = 1, rg (1,1,0),(0,0,1) = 2 et rg (1,1,0),(0,0,1),(1,1,1) = 2.
3.2 Rang d’une application linéaire
Définition (Rang d’une application linéaire) Soient E et F deuxK-espaces vectoriels pas nécessairement de dimension
finie et f une application linéaire de E dans F. On appelle rang de f, noté rg(f), la dimension de Im f si celle-ci est finie.
Explication
• Avec les notations de la définition, montrons que le rang def est bien (dé)fini lorsque E ou F est de dimension finie.
1) Supposons F de dimension finie. Alors comme Im f est un sous-espace vectoriel de F, nécessairement
Im f est de dimension finie et : rg(f) = dimIm f6 dimF.
2) SupposonsE dedimensionfinien.Sin = 0,f estl’application nulledoncImf = 0 etrg(g) = 0.SiauF
contrairen> 1etsi(e ,e ,...,e )estunebasedeE,noussavonsqueImf =Vect f(e ),f(e ),...,f(e ) ,1 2 n 1 2 n
donc Im f est de dimension finie et : rg(f) = dimIm f6 dimE.
8c Christophe Bertault - MPSI
• Les notions de rang d’une famille de vecteurs et de rang d’une application linéaire ne sont pas sans rapport l’une avec
l’autre, car du cas 2) ci-dessus il découle que :
rg(f) = dimIm f = dimVect f(e ),f(e ),...,f(e ) = rg f(e ),f(e ),...,f(e ) .1 2 n 1 2 n
Lemme Soient E et F deux K-espaces vectoriels pas nécessairement de dimension finie et f une application linéaire de EdansF. Si Ker f possède un supplémentaire I dans E, alors f est un isomorphisme deI sur Im f.