Cours-FI-VIII

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• Publié par: Shaej
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Extrait

4.5. ANALYSE MATHEMATIQUE 155
1. Montrer que Pn i npni=1pW =p;n
np(1 p)
2. Lorsque ! 0, veri er les equivalences suivantes p pT T0 2 ?np ’ p ( + + = ) et np ’ p + =
2 2
et pp p T
0 0 ? ?np (1 p )’ np (1 p )’ p
(2 )
et en n
21 K
k ’ p log + T +p0
s 22 0
En deduire les estimations
0 2np k 1 0p p’ T + + log (s =K)0
0 0 2np (1 p ) T ? 2np k 1 0p p’ T + log (s =K)0
? ? 2np (1 p ) T
3. En utilisant le fait que ! !
k np n 1 k np0 0p pF (k ) = P W ’ Fn;p 0 p;n
np(1 p) np(1 p)
montrer que l’on a 1 2pV ( ) ’ s F T + =2 + log (s =K)0 0 0
T 1 T 2pe K F T =2 + log (s =K)0
T
4.5 Analyse mathematique
4.5.1 Actualisation
On considere un marche nancier de ni, sur un espace probabilise et ltr e ( ; (F ) ;P),k 0kn
par l’evolution d’un couple d’actifs
1 1 1S = S (1 + U )k k 1 k
2 2 2S = S (1 + U )k k 1 k
Le premier titre a un r^ole bien particulier. Il represente un placement sans risque, avec un
rendement previsible; c’est a dire que
1S1 k81 k n (1 + U ) = 2Fk 1k 1Sk 1 156 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
On conviendra que l’on a
1 1S = 1 ; et (1 + U (!)) > 10 k
pour chaque alea !2 , et pour tout 1 k n.
Le rendement de l’actif risque n’est pas previsible, sinon adapte a la ltration d’information
2S2 k81 k n (1 + U ) = 2Fkk 2Sk 1
On conviendra que la valeur initiale de cet actif est connues
1 1S = s > 0 ; et (1 + U (!)) > 000 k
pour chaque alea !2 , et pour tout 1 k n.
Le coe cien t d’actualisation des actifs est donnee par le processus aleatoire
kY1 1 1 1 = (2 [0; 1]) ou E (U ) = S = (1 + U )k k k l1E (U )k
l=1
Les prix re-actualise sont alors de nis par
1 21 2 280 k n S = S = 1 et S = S Sk kk k k k k
4.5.2 Gestion de portefeuilles
Le portefeuille d’un investisseur est de ni par la donnee d’un processus aleatoire previsible
1 281 k n = ( ; )2Fk k 1k k
1 2 1 2A chaque instant 1 k n, le couple ( ; ) represente la gestion du couple d’actifs (S ; S ).k k k k
Ainsi,
1 1 2 2 1 2V ( ) = S + S = + s0 01 0 0 0 1 0
iemerepresente le cout^ d’acquisition du portefeuille. La valeur de ce dernier, a la k periode est
donnee par
1 1 2 2V ( ) = S + Sk k k k k
1 1 2 2= S + S (Auto nancemen t)k+1 k k+1 k
La condition d’auto nancemen t entra^ ne que
V ( ) = V ( ) V ( )k+1 k+1 k
1 1 1 2 2 2= [S S ] + [S S ]k+1 k+1 k k+1 k+1 k
1 1 2 2= S + Sk+1 k+1 k+1 k+1
1De plus, cette condition entra^ ne que les parts d’actifs non risques sont determineesk+1
par la formule
11 2 2 = V ( ) Skk+1 k+1 k1Sk
22= V ( ) Sk k+1 k4.5. ANALYSE MATHEMATIQUE 157
iemeou V ( ) = V ( ) represente la valeur reactualisee du portefeuille V ( ) a la k periode.k k k k
En n, toujours d’apres la condition d’auto nancemen t, l’evolution de la valeur du
portefeuille reactualise ne depend que de l’evolution du titre risque. Plus precisement, on a
V ( ) = V ( ) V ( )k+1 k+1 k+1 k k
1 2 1 21 2 1 2= [ S + S ] [ S + S ]k+1 k+1 k+1 k+1 k+1 k k+1 k
1 21 2= S + Sk+1 k+1 k+1 k+1
22= Sk+1 k+1
4.5.3 Arbitrage et viabilite des marches
De nition 4.5.1 Une strategie d’arbitrage est une gestion de portefeuille (auto nanc ee)
( ) telle quek 1kn
V ( ) = 0 ; V ( ) 0 ; et P(V ( ) > 0) > 0 (4.5)0 n n
On dit qu’un marche est viable, s’il n’existe aucune strategie d’arbitrage.
On notera que la condition P(V ( ) > 0) > 0 implique qu’il existe au moins un alea !2
n
pour lequel V ( )( !) > 0 (sinon on aurait fV ( ) > 0)g = ; et P(V ( ) > 0) = P(;) = 0).n n n
Inversement, l’existence d’un tel alea ! (avec P(!) > 0) entra^ ne que P(V ( ) > 0) > 0. Cetten
de nition d’arbitrage est bien donc equivalente a celle introduite dans la section 4.1.2.
L’arbitrage permet donc, sans aucun investissement initial (V ( ) = 0), de ne jamais perdre0
de l’argent a l’echeance (V ( ) 0), tout en ayant une possibilite de realiser un gain (P(V ( ) >n n
0) > 0). Ces possibilites d’arbitrage, et ces evenements inattendus (! t.q. V ( )( !) > 0), telsn
les delits d’inities, sont en principe interdits, et contr^ oles par les autorites de regulation, telle
la Cours des comptes. La morale moderne semble ainsi reposer sur le principe qu’il est interdit
de s’enrichir sans prendre de risques...
On veri e sans trop de peine que ces de nitions de l’arbitrage peut ^etre reformulee
de fa con equivalente en rempla cant (V ( )) par les valeurs du portefeuille reactualisek 0kn
(V ( ))k 0kn
(4:5)() V ( ) = 0 ; V ( ) 0 ; et P(V ( ) > 0) > 00 n n
Proposition 4.5.1 Les trois conditions suivantes sont equivalentes
1. 91 k n 9 2 F tels quek 1
2 2
S 0 et P( S > 0) > 0k k
2. Il existe une strategie d’arbitrage ( ) telle quek 1kn
80 k n V ( ) 0k
3. Il existe une strategie d’arbitrage ( ) .k 1kn 158 CHAPITRE 4. MATHEMATIQUES FINANCIERES
Preuve:
2(1)) (2) : On pose simplement = 1 (l), ou le couple (k; ) est tel quekl
2 2
S 0 et P( S > 0) > 0k k
Dans ce cas, on a
lX 2 2280 l n V = 0 + S = 1 S 0l lkm m k
m=1
et a l’echeance
2 2
V = S ) P(V > 0) = P( S > 0) > 0n nk k
Il reste cependant a veri er que la strategie que nous venons de de nir
281 l n = 1k=ll
1est bien auto nanc ee. Pour cela on rappelle que les parts de titres non risques sontl
necessairement donnees par la formule
11 2 2 = V ( ) Sl 1l l l 11Sl 1
2 2 22= V ( ) S = 1 S 1 Sl 1 k=ll l 1 (l 1)k k l 1
Par construction, nous avons donc 8> 0 si l < k<
21 = S si l = kl k 1> 2:
S si l > kk
Il est donc clair que
2 21 1 18l62fk; k + 1g = 0 ; = S et = Sl k k 1 k+1 k
2D’autre part, par de nition de = 1 (l), nous avons aussikl
2 1 18l62fk; k + 1g = 0 ; = et = l k k+1
On en conclut que
21 281 l n + S = 0k k l 1
Il en decoule que
1 1 2 2 1 1 2 2 S + S = S + Sl l 1 l l 1 l 1 l 1 l 1 l 1
Ceci acheve la preuve de la condition d’auto nancemen t.
(2)) (3) : trivial.
(3)) (1) : Soit ( ) une strategie d’arbitrage. On introduit les fonctionsk 1kn
a(k) = P(V ( ) 0) et b(k) = P(V ( ) > 0)( a(k))k k