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6Geometrie projective et algebriqueChristophe Ritzenthaler1 Geometrie projective1.1 Espace projectifSoit k un corps et n > 0 un entier. On dit que deux n + 1-uplets d’elements de k0 0 0 0(x ;x ;:::x ) et (x ;x ;:::;x ) sont equivalent si il existe 2 k tel que x = x pour0 1 n i0 1 n i0 0 0tout 0in. On note (x ;x ;:::x ) (x ;x ;:::x ).0 1 n 0 1 nn n+1De nition 1.1. L’espace projectif de dimension n sur k note P est l’ensemble (k nf0g)=. Ses elements sont les classes d’equivalence de n + 1-uplets, notes (x :x ::: :x ).0 1 nn nL’espace projectif P contient de maniere naturel un espace a ne A de m^eme dimen-nsion : a (x : ::: : x ) avec x = 0 on associe le point (x =x ;x =x ;:::;x =x )2 A .0 n n 0 n 1 n n 1 nn nInversement, au point (x ;:::;x )2A on associe le point (x :x :::: :x : 1)2P .0 n 1 0 1 n 1Ainsi, les points de l’espace projectif tel que x = 0 s’apparentent aux ‘points a l’in ni’.n1.2 GeometrieDe nition 1.2. Soit f2 k[x ;:::;x ] un polyn^ ome homogene non nul. On appelle hyper-0 nnsurface projectiveC d’equation f = 0 l’ensemble des points (X : x : :::X )2 P tel que0 1 nf(X ;X ;:::;X ) = 0.0 1 nnL’hypersurface a ne associee est l’ensemble des points ( x ;:::;x )2k tel quef(x ;x ;:::;x ; 1) =0 n 1 0 1 n 10.Si n = 2,C est appelee courbe projective.Inversement etant donneC, on poseI(C) l’ideal des polyn^ omes homogenes qui s’annulentsurC. La donnee du polyn^ omef ou de l’hypersurfaceC est presque equivalente. ...

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6
Geometrie projective et algebrique
Christophe Ritzenthaler
1 Geometrie projective
1.1 Espace projectif
Soit k un corps et n > 0 un entier. On dit que deux n + 1-uplets d’elements de k
0 0 0 0(x ;x ;:::x ) et (x ;x ;:::;x ) sont equivalent si il existe 2 k tel que x = x pour0 1 n i0 1 n i
0 0 0tout 0in. On note (x ;x ;:::x ) (x ;x ;:::x ).0 1 n 0 1 n
n n+1De nition 1.1. L’espace projectif de dimension n sur k note P est l’ensemble (k n
f0g)=. Ses elements sont les classes d’equivalence de n + 1-uplets, notes (x :x ::: :x ).0 1 n
n nL’espace projectif P contient de maniere naturel un espace a ne A de m^eme dimen-
nsion : a (x : ::: : x ) avec x = 0 on associe le point (x =x ;x =x ;:::;x =x )2 A .0 n n 0 n 1 n n 1 n
n nInversement, au point (x ;:::;x )2A on associe le point (x :x :::: :x : 1)2P .0 n 1 0 1 n 1
Ainsi, les points de l’espace projectif tel que x = 0 s’apparentent aux ‘points a l’in ni’.n
1.2 Geometrie
De nition 1.2. Soit f2 k[x ;:::;x ] un polyn^ ome homogene non nul. On appelle hyper-0 n
nsurface projectiveC d’equation f = 0 l’ensemble des points (X : x : :::X )2 P tel que0 1 n
f(X ;X ;:::;X ) = 0.0 1 n
nL’hypersurface a ne associee est l’ensemble des points ( x ;:::;x )2k tel quef(x ;x ;:::;x ; 1) =0 n 1 0 1 n 1
0.
Si n = 2,C est appelee courbe projective.
Inversement etant donneC, on poseI(C) l’ideal des polyn^ omes homogenes qui s’annulent
surC. La donnee du polyn^ omef ou de l’hypersurfaceC est presque equivalente. C’est un cas
particulier du theoreme du Nullstellenstaz.
Theoreme 1.1 ([Per95, p.36]). Soit k algebriquement clos et f2k[x ;:::;x ] un polyn^ ome0 nQ eihomogene non nul tel que f = f avec f irreductible. SoitC l’hypersurface associee. Onii
a Y
I(C) = ( f ):i
2Exemple 1. Si on considere dans le plan projectif, les deux courbes x = 0 et x = 0. Leur
ensemble de points est dans les deux cas la droite des ordonnees. Mais bien sur,^ partant de la
droite des ordonnees, on lui associera naturellement l’equationx = 0 dont l’ideal (x) contient
2x .
On peut generaliser la notion d’hypersurface de plusieurs manieres. Nous nous restreignons
a la plus simple.
1De nition 1.3. Une variete algebrique a ne (resp. projective) est l’ensemble des zeros d’un
systeme d’equations polynomiales (resp. homogenes).
Une variete est dite irreductible sur k si elle ne peut ^etre la reunion (non triviale) de plu-
sieurs varietes algebriques. Si elle est irreductible sur k, on dit qu’elle est geometriquement
irreductible.
nSoit une hypersurface a ne irreductible CA surk algebriquement clos. AlorsI(C) est
un ideal premier. L’anneau k[x ;:::;x ]=I(C) est integre, on peut donc prendre son corps0 n 1
des fonctions, qu’on note k(C).
De nition 1.4. La dimension deC est le degre de transcendance de k(C) sur k.
Remarque 1. Il est facile de voir que la dimension deC est n 1.
On peut generaliser la de nition a une variete algebrique quelconque.
Dans le cas des courbes, il existe un dictionnaire entre les proprietes du corps de fonctions
et de la courbe.
La notion de singularite est intuitive mais il est di cile d’en donner une de nition simple.
On se contentra donc du critere suivant.
nProposition 1.1 (critere Jacobien). SoitC une variete algebrique a ne de A donnee par
un systeme d’equations F = F = ::: = F = 0. Soit x un point d’une des composantes1 2 r
geometriquement irreductibleH deC. On suppose que la dimension deH est egale a d. La
varieteC est non-singuliere en x si et seulement si rg(J(x)) =n d ou
0 1@F @F1 r:::@x @x1 n
B . . C.. . .J(x) = :@ A.. .
@F @Fr r:::@x @x1 n
Pour une variete projective, on se ramenera a une variete a ne selon les di erentes cartes
nqui recouvrent P , par exemple les ouverts a nes fx = 1g pour i = 0;:::;n. Dans le casi
des hypersurfaces, on peut aussi raisonner plus simplement (voir TD).
1.3 Theoreme de Bezout geometrique
La theorie du resultant permet de montrer le resultat suivant.
0Proposition 1.2 (Bezout faible). Soient deux courbes planes C;C d’equation respective
f = 0 et g = 0 de degre respectif m et n. Alors soit
{ les polyn^ omes f et g ont un facteur commun.
0{ #(C\C )nm.
On suppose maintenant k algebriquement clos (par exemple k =C).
0Theoreme 1.2 ([Per95]). Soient deux courbes planes projectivesC;C d’equation respective
f = 0 et g = 0 de degre respectif m et n. Alors soit
0{ les polyn^ omes f et g ont un facteur commun et le cardinal deC\C est in ni.
0{ Les polyn^ omes f et g sont premiers entre eux et le cardinal deC\C est egal a mn
(compte avec multiplicite).
Corollaire 1.1. Sous les m^eme hypotheses, deux courbes planes projectives ont toujours au
moins un point d’intersection.
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Remarque 2. On se convaincra facilement que les deux hypotheses (projectif etk algebriquement
2clos) sont necessaires pour avoir le resultat (considerer par exemple xy = z et x = 0 dans
2 2 2le premier cas et x +y =z et x = 2 dans le second).
Remarque 3. La notion de multiplicite est delicate. On peut la de nir par les resultants : si
X :f = 0 et Y :g = 0 sont deux courbes planes a nes et P = (0; 0)2X\Y alors la multi-
plicite d’intersection en P est egale au minimum des valuations du resultant de f et g (pour
tout choix de coordonnees a nes laissant xe P ). Ce minimum est atteint generiquement.
De maniere plus formelle, la multiplicite d’intersection en P est egale a la longueur duO -P
moduleO =(f;g) ouO designe le localise par rapport a l’ideal maximal de nissant P deP P
l’anneau k[x;y]=(f) (voir [Har77]).
Si X est une droite (disons X :x = 0) et P = (0; 0) alors la multiplicite d’intersection de X
et Y en P est egal a la valuation du polyn^ ome g(0;y).
En pratique le calcul des points d’intersection se fait gr^ ace a un resultant : on raisonne
tout d’abord sur les points a nes puis on traite la question des points eventuels a l’in ni (en
posant z = 0).
Exemple 2. SoitC : f = 0 une courbe projective plane de degre 4. On suppose queC est
non-singuliere (i.e. (df=dx ;df=dx ;df=dx ) = (0; 0; 0) en tout point p2C). Si L est une0 1 2
droite, elle peut couperC en des points avec les multiplicites suivantes :
1. (1; 1; 1; 1) : c’est le cas generique.
2. (2; 1; 1) : c’est le cas ou L est tangente au premier point.
3. (3; 1) : dans ce cas, le premier point est un point d’in exion. Rappelons que ceux-ci sont
2donnes par l’intersection deC avec la courbe det((d f=dx dx ) ) = 0. Ils sonti j i;j=0:::2
donc (generiquement) en nombre ni, precisement 4 6 = 24 comptes avec multiplicite.
4. (2; 2) : ces droites sont appelees bitangentes.
5. (4) : ces points sont appeles point d’hyperin exion. Une quartique generale n’en possede
pas.
Pour calculer l’equation des bitangentes, on remplace y par x + et z par 1 dans f puis
on exprime le fait que la droite y =x + est bitangente par le fait que le polyn^ ome en la
variable x est un carre parfait : si g est un polyn^ ome de degre 4 quelconque, on a
4 3 2 2 2 2 2g(x) =ax +bx +cx +dx +e =a(x +b=(2a)x + (4ac b )=(8a )) +x +:
Ceci donne deux conditions, une sur le terme en x et l’autre sur le terme constant. Par le
calcul d’un resultant on elimine par exemple entre ces deux equations pour obtenir une
condition sur . Cette equation (de degre 28 generiquement) donne les valeurs de puis on
remonte aux valeurs de . Dans certains cas, il faudra ajouter le cas des droites a l’in ni ou
‘verticales’.
1.4 Theoreme de Chevalley
Soit k =F un corps ni de caracteristique p.q
Theoreme 1.3 ([Ser70, p.13]). Soient f 2k[x ;:::;x ] des polyn^ omes a n variables telsi 0 n 1P
nque deg(f )<n. Soit V l’ensemble de leurs zeros communs dans k . On ai
#V 0 (mod p):
2Corollaire 1.2. Toute conique projective (polyn^ ome homogene de degre 2 dans P ) admet
un point rationnel sur k.
Ceci permet de montrer que toutes les coniques sur un corps ni sont isomorphes (sur k)
1aP et donc entre elles. En particulier, elles admettent toutes q + 1 points rationnels.
3References
[AF] J.M. Arnaudies, H. Fraysse : cours de mathematiques-1 Algebre, Dunod Universite.
[Gou99] X. Gourdon, mathematiques pour M’, algebre, ellipses, Paris 1999.
[Goz] I. Gozard, Theorie de Galois.
[Har77] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts 52, Springer-Verlag, 1977.
[MS] M. Mignotte, D. Stefanescu, Polynomials, an algorithmic approach, Springer.
[Per95] D. Perrin, Geometrie algebrique, une introduction, CNRS edition 1995.
[Ser70] J.-P. Serre, cours d’arithmetique, Presse universitaire de France, 1970.
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