Cours Intégration et Probabilités Élémentaires

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PrésentationCe polycopié résulte de l’assemblage séparé de deux chapitres annexes du coursd’Intégration et Probabilités Élémentaires (IPE Math306) 2005–2006. Il regroupe ceequ’un étudiant de 3 année devrait connaître sur l’intégrale de Riemann pour suivreun cours de probabilités qui contourne la construction de l’intégrale de Lebesgue. Audelà de ce lectorat naturel, ce document peut aussi servir de mise au point pour desétudiants préparant le CAPES, ou ayant entrepris l’étude de la théorie de la mesure etde l’intégrale au sens de Lebesgue.L’intégraledeRiemannestdéfinieiciàpartirdessommesdeDarboux.Onneprétendpas donner une présentation complète de l’intégrale de Riemann. En particulier on nedit rien sur les sommes de Riemann ni sur les techniques de calcul d’intégrales parprimitivation. Un troisième chapitre sur l’intégrale multiple reste à écrire.Villeneuve d’Ascq, octobre 2005Charles Suquet12 Ch. Suquet, Intégrale de Riemann 2005–06Chapitre 1Intégrale de Riemann sur [a,b]1.1 ConstructionSoit [a,b] un intervalle fermé borné deR. On appelle subdivision de [a,b] toute suitefiniedutype ={x =a

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Présentation
Ce polycopié résulte de l’assemblage séparé de deux chapitres annexes du cours d’Intégration et Probabilités Élémentaires(IPE Math306) 2005–2006. Il regroupe ce qu’un étudiant de 3eannée devrait connaître sur l’intégrale de Riemann pour suivre un cours de probabilités qui contourne la construction de l’intégrale de Lebesgue. Au delà de ce lectorat naturel, ce document peut aussi servir de mise au point pour des étudiants préparant le CAPES, ou ayant entrepris l’étude de la théorie de la mesure et de l’intégrale au sens de Lebesgue. L’intégrale de Riemann est définie ici à partir des sommes de Darboux. On ne prétend pas donner une présentation complète de l’intégrale de Riemann. En particulier on ne dit rien sur les sommes de Riemann ni sur les techniques de calcul d’intégrales par primitivation. Un troisième chapitre sur l’intégrale multiple reste à écrire.
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Villeneuve d’Ascq, octobre 2005 CharlesSuquet
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Ch.uSuqte,IntégraleediReamnn025006
Chapitre 1
Intégrale de Riemann sur[a, b]
1.1 Construction Soit[a, b]un intervallefermé bornédeR. On appelle subdivision de[a, b]toute suite finie du typeΔ ={x0=a < x1<∙ ∙ ∙< xn=b}. Pour une fonctionbornéef: [a, b]R, (−∞< a < b <+), on définit ses sommes de Darboux inférieureSΔ(f)et supérieure SΔ(f)par n n SΔ(f) := =X(xkxk1) supf. kX=1(xkxk1)[xkin1f,xk]f, SΔ(f) :k=1 [xk1,xk] Pour une illustration, voir les figures1.1et1.2.
y
a
xkxk+1
Fig.1.1 –SΔ(f)
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b x
Chapitre 1. Intégrale de Riemann sur[a, b]
y
a xkxk+1
b x
Fig.1.2 –SΔ(f) On dit que la subdivisionΔ0est un raffinement deΔsi l’ensemble des valeurs de la suite finieΔest inclus dans celui des valeurs de la suiteΔ0, ce que nous noterons avec un léger abusΔΔ0. Il est facile de vérifier que ΔΔ0SΔ(f)SΔ0(f)etSΔ(f)SΔ0(f). Les figures1.3et1.4illustrent l’effet de l’adjonction à la subdivisionΔdes figures1.1 et1.2de deux nouveaux points. Les intégrales de RiemanninférieureI(f)etsupérieureI(f)sont définies par I(f) := supSΔ(f), I(f) := infS , Δ Δ Δ(f) le supremum et l’infimum étant pris sur toutes les subdivisionsΔde[a, b].
PourΔ1etΔ2subdivisions de[a, b]on a clairement SΔ1(f)SΔ1Δ2(f)SΔ1Δ2(f)SΔ2(f), d’oùSΔ1(f)SΔ2(f). En prenant successivement le sup sur tous lesΔ1, puis l’inf sur tous lesΔ2, on en déduit I(f)I(f), inégalité vérifiée par toute fonction bornéef: [a, b]R. Définition 1.1.On dit quefbornée[a, b]RestRiemann intégrablesi avec les notations ci-dessus,I(f) =I(f). Dans ce cas on définit son intégrale au sens de Riemann notéeRbaf(x) dxpar Zbaf(x) dx:=I(f) =I(f).
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Ch.Suquet,Intégrale de Riemann 2005–06
y
y
a
xkxk+1
Fig.1.3 – SiΔΔ0,SΔ(f)SΔ0(f)
a
xkxk+1
Fig.1.4 – SiΔΔ0,SΔ(f)SΔ0(f)
Ch.Suquet,Intégrale de Riemann 2005–06
1.1. Construction
b x
b x
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Chapitre 1. Intégrale de Riemann sur[a, b] Il est commode de donner aussi une définition deRbaf(x) dxlorsqueb < a. Cette définition peut se justifier en reprenant toute l’étude précédente avec des subdivisions Δde[b, a]par des suites finies décroissantes1a=x0> x1>∙ ∙ ∙> xn1> xn=b. En conservant les mêmes définitions deSΔ(f)etSΔ(f), le seul changement par rapport aux subdivisions croissantes de[b, a]est que les(xkxk1)sont négatifs ce qui implique une inversion des inégalités entreSΔ(f)etSΔ(f), on a maintenantSΔ(f)SΔ(f). Associons à chaque subdivision décroissanteΔde[b, a], la subdivisionretournéeΔ0= {x00, x01, . . . , x0n}définie parx00=xn,x01=xn1, . . . , x0n=x0. AlorsΔ0est une subdivision croissante de[b, a]etSΔ0(f) =SΔ(f),SΔ0(f) =SΔ(f). On en déduit immédiatement que
I(f, a, b) := suΔpSΔ(f) =iΔn0fSΔ0(f) =:I(f, b, a),(1.1) I(f, a, b) := inΔfSΔ(f) =sΔu0pSΔ0(f) =:I(f, b, a),(1.2) les infima et suprema indexés parΔs’entendant pour toute subdivision décroissante de aàbet ceux indexés parΔ0pour toute subdivision croissante de[b, a]. On définit alors l’intégrabilité defdeaàbpar la conditionI(f, a, b) =I(f, a, b), dont on voit par (1.1) et (1.2) qu’elle équivaut àI(f, b, a) =I(f, b, a), c’est-à-dire à l’intégrabilité de fsur[b, a]. En définissant enfinRbaf(x) dxcomme la valeur commune deI(f, a, b)et I(f, a, b), on obtientRabf(x) dxRabf(x) dx, cette dernière intégrale relevant de la =définition1.1. Tout ceci légitime la définition formelle suivante. Définition 1.2.Si−∞< b < a <+, on dit quefest Riemann intégrable deaàb si elle est Riemann intégrable sur[b, a]et on pose dans ce cas : Zbaf(x) dx:=Za f(x) dx.(1.3) b Remarque 1.3 (variable d’intégration).Dans l’écritureRbaf(x) dx, la « variable d’intégration »xest « muette », on peut la remplacer par n’importe quelle autre lettre (sauficia,bouf). Cette variable joue le même rôle que l’indiceide sommation dans Pni=1uiqui est lui aussi muet. Remarque 1.4 (intégrale de Riemann et aire).Soitfune fonction positive et Riemann intégrable sur[a, b]. On interprète classiquementRbaf(x) dxcommel’aire de l’hypographedefentreaetb,i.e.de la région du plan délimitée par l’axe des abscisses, les droites verticales d’équationx=aoux=bet le graphe2def, la courbe d’équation y=f(x),x[a, b]. Voici une justification informelle de cette affirmation, dont on pourra se contenter en première lecture. Reprenons la fonctionfdes figures1.1et1.2. L’hypographeHdefest représenté figure1.5. On peut se convaincre « visuellement », 1Rappelons que pour tous réelsaetb,[a, b]est défini comme l’ensemble desxréels tels queaxb. Ainsi pourb < a,[a, b]est l’ensemble vide. C’est pour cela que l’on subdivise ici[b, a]et non[a, b]. De même on parlera d’intégrale defdeaàbmais pas d’intégrale defsur[a, b]quandb < a. 2hypographe », littéralement ce qui est sous le graphe.D’où le nom «
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Ch.Suquet,Intégrale de Riemann 2005–06
y
0a
Fig.1.5 – HypographeHdefentreaetb
1.1. Construction
b x
cf. figure1.1toute somme de Darboux inférieure l’aire des rectangles coloriés, que pour égale àSΔ(f)est inférieure à l’aire de l’hypographe def. De même cf. figure1.2, pour toute somme de Darboux supérieure, l’aire des rectangles coloriés égale àSΔ(f)est supérieure à l’aire de l’hypographe. L’aire deHest donc un majorant de touteSΔet un minorant de touteSΔ. D’où I(f) = supSΔ(f)aire(H)inΔfSΔ(f) =I(f). Δ Par Riemman intégrabilité def,I(f) =I(f) =Rbaf(x) dx, d’oùaire(H) =Rabf(x) dx. Pour les lecteurs exigeants que la remarque1.4laisserait insatisfaits, nous proposons et démontrons ci-dessous un énoncé plus précis. Pour cela, il convient d’abord de s’inter-roger sur la définition mathématique de l’aire deH. Dans le cadre de ce cours, nous avons admis l’existence de la mesure de Lebesgueλ2surR2, définie comme l’unique mesureµ sur la tribu borélienne deR2vérifiantµ(]x1, x2]×]y1, y2]) = (x2x1)(y2y1)pour tout pavé semi-ouvert]x1, x2]×]y1, y2]deR2, voir l’exempleA.12p.61. C’est cette mesure de Lebesgue qui donne un sens mathématique précis à la notion d’aire. On se propose donc de montrer queλ2(H) =Rbaf(x) dx. Pour que cela ait un sens, encore faut-il que Hsoit un borélien deR2. Une condition suffisante pour queHsoit un borélien deR2est que la fonctionfsoit borélienne, c’est-à-dire mesurable (voir def.A.7 59) pour les tribus boréliennes de[a, b]et deR. La preuve de cette affirmation sort du programme de ce cours3. Signalons simplement que tous les exemples de fonctions Riemman intégrables donnés dans la suite de ce document — fonctions monotones, continues, réglées — sont boréliennes. Les seules propriétés deλ2utilisées dans ce qui suit sont la croissance et l’additivité finie — propriétés vérifiées par toute mesure, voir p.57— et le fait que les 3Voir le cours d’IFP 2003-2004 chapitre 5.
Ch.Suquet,Intégrale de Riemann 2005–06
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Chapitre 1. Intégrale de Riemann sur[a, b]
frontières des pavés sont deλ2-mesure nulle4, voir la propositionA.13v). Proposition 1.5.Soitf: [a, b]Rune fonction positive et Riemann intégrable sur [a, b]. On suppose de plus que son hypographe entreaetb H:={(x, y)R2;axbet0yf(x)}(1.4) est un borélien deR2. Alors (H) =Zb(x) dx,(1 λ2f.5) a autrement dit l’intégrale defentreaetbest l’aire de l’hypographe defentreaetb. Preuve.SoitΔ ={x0=a < x1<∙ ∙ ∙< xn=b}une subdivision quelconque de[a, b]. Notons pourk= 1, . . . , n, mk:=[xkin1f,xk]f, Mk:= supf. [xk1,xk] Définissons les « rectangles »RΔ,kpar RΔ,1:= [a, x1]×[0, m1], RΔ,k:=]xk1, xk]×[0, mk]pourk= 2, . . . , n, et notonsRΔ,kles rectangles obtenus en remplaçantmkparMk,k= 1, . . . , n. Posons enfin RΔ:=nkRΔ,k, RΔ:=nRΔ,k. =1k=1 Commençons par justifier la double inclusion Δ, RΔHRΔ.(1.6) Soit(x0, y0)un élément quelconque de laréunionRΔ. Il appartient donc à unRΔ,k0d’où xk01x0xk0et0y0mk0f(x0)carmk0est l’infimum defsur[xk01, xk0]. Le couple(x0, y0)vérifie ainsi les inégalitésaxk01xxk0bet0y0f(x), donc appartient àH. Ceci justifie la première inclusion dans (1.6). Soit maintenant(x00, y00)un élément quelconque deH, donc vérifiantax00bet0y00f(x00). La subdivision Δinduit la partition de[a, b]en les intervallesJ1:= [a, x1],Jk:=]xk1, xk],k= 2, . . . , n. Il existe donc un unique indicek00entre1etntel queJk00contiennex00. On a alors 0y00f(x00)Mk00carMk00est le supremum defsur[xk001, xk00]. Ainsi(x00, y00) appartient àRΔ,k00, donc aussi àRΔce qui justifie la deuxième inclusion dans (, 1.6). CommeRΔ,HetRΔsont des boréliens deR2, on deduit de (1.6) par croissance de λ2que Δ, λ2(RΔ)λ2(H)λ2(RΔ).(1.7) 4En réalité on a seulement besoin de savoir que siJest un segment vertical{a[y1, y2],λ2(J) = 0et de même pour un segment horizontal. Ceci se démontre facilement en exercice en utilisant la croissance deλ !. Faites le
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Ch.Suquet,Intégrale de Riemann 2005–06
1.2. Riemann intégrabilité
Calculons maintenantλ2(RΔ). LesRΔ,kétant deux à deux disjoints, on a par additivité finie deλ2: n λ2(RΔ) =Xλ2(RΔ,k).(1.8) k=1 Par la propositionA.13v) ou par la note4p.8, on a pour toutk= 1, . . . , n,λ2(RΔ,k) = (xkxk1)mk, d’où en reportant dans (1.8),λ2(RΔ) =SΔ(f). De même il est clair que λ2(RΔ) =SΔ(f). On déduit alors de (1.7) que Δ, SΔ(f)λ2(H)λ2(RΔ).(1.9) La première inégalité dans (1.9) nous dit que le réelλ2(H)qui ne dépend pas deΔmajore toutes les sommes de Darboux inférieuresSΔ(f). Il majore donc aussi leur supremum I(f). Par la deuxième inégalité,λ2(H)minore toutes lesSΔ(f), donc minore aussi leur infimumI(f). Nous obtenons ainsi l’encadrement I(f)λ2(H)I(f). Commefest Riemann intégrable,I(f) =I(f), doncλ2(H) =I(f) =I(f) = Rbaf(x) dx. Remarque 1.6.La mesureλ2étant invariante par la symétrie(x, y)7→(x,y)cf. prop.A.13on obtient immédiatement une version de la propositionii), 1.5pour une fonctiongnégative sur[a, b]en remplaçantHpar H0:={(x, y)R2;axbetg(x)y0}. En effet en posantf=g, il vient b λ2(H0) =λ2(H) =Zbaf(x) dx=Za |g(x)|dx. 1.2 Riemann intégrabilité Dans cette section nous examinons la Riemann intégrabilité de certaines familles de fonctions. Les deux plus importantes en pratique sont celle des fonctions monotones et celle des fonctions continues. On généralise la Riemann intégrabilité des fonctions continues au cas des fonctions bornées continues sur[a, b]sauf en un nombre fini de points, comme celle de la figure1.1Enfin nous établissons que toute limite uniforme. sur[a, b]d’une suite de fonctions Riemann intégrables sur[a, b]est encore Riemann intégrable. Ceci nous donne notamment la Riemann intégrabilité de toutes les fonction réglées,i.e.limites uniformes de fonctions en escalier. Les fonctions en escaliers sont les plus simples de toutes les fonctions Riemann intégrables et c’est par elles que nous commençons cette étude. Définition 1.7 (fonction en escalier).Une applicationf: [a, b]Rest appelée fonction en escaliersur[a, b], s’il existe une subdivisionΔ0={t0=a < t1<∙ ∙ ∙< tj= b}telle quefsoit constante sur chaque intervalleouvert]ti1, ti[,i= 1, . . . , j.
Ch.Suquet,Intégrale de Riemann 2005–06
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Chapitre 1. Intégrale de Riemann sur[a, b]
Il est clair queΔ0n’est pas unique, en particulier pour tout raffinementΔ00deΔ0, fconstante sur chacun des intervalles ouverts ayant pour extrêmités deux pointsest consécutifs deΔ00. Il y a donc une infinité de subdivisionsΔtelles quefen escalier soit constante sur chacun des intervalles ouverts deΔ(i.e.les intervalles ayant pour extrêmités deux points consécutifs deΔ). Nous appeleronssubdivisionassociée àfen escalier, toute subdivisionΔtelle quefsoit constante sur chacun des intervalles ouverts deΔ. La moins fine des subdivisions associées àfen escalier est constituée des points aetbet des points de discontinuité defdans]a, b[. Proposition 1.8 (intégrabilité d’une fonction en escalier).Soitfune fonction en escalier sur[a, b]etΔ0={t0=a < t1<∙ ∙ ∙< tj=b}une subdivision associée àf, la valeur constante defsur]ti1, ti[étant notéeci. Alorsfest Riemann intégrable sur [a, b]et on a b j Zf(x) dx=X(titi1)ci.(1.11) ai=1 Remarquons que commeRabf(x) dxne dépend, lorsqu’elle existe, que def, (1.11) implique que siΔ1={s0=a < s1<∙ ∙ ∙< sl=b}est une autre subdivision associée à fet en notantdkla valeur constante defsur]sk1, sk[,k= 1, . . . , l, on a j l X(titi1)ci=X(sksk1)dk. i=1k=1 Preuve.D’abord,fest bornée puisquef([a, b]) ={c1, . . . , cj} ∪ {f(t0), . . . , f(tj)}qui est fini (de cardinalau plus2j+ 1) donc borné dansR. Pour chaqueδvérifiant 0< δ <121miij(titi1),(1.12) n notonsΔδla subdivision construite en adjoignant àΔ0les pointst0+δ, t1δ, t1+δ, t2δ, t2+δ, . . . , tj1+δ, tjδ. Notons en outre m:= i[naf,b]f(x), M:= supf(x), xx[a,b] m0i:=|tiinxf|≤δf(x) = min(ci, ci+1, f(ti)), Mi0:= supf(x) = max(ci, ci+1, f(ti)), |tix|≤δ avec l’adaptation évidente pouri=j. On a bien sûrMi0Metm0impour touti. Avec ces notations on a j j1 SΔδ(f) =X(titi12δ)ci+δM00+δMj0+ 2δXMi 0 i=1i=1 j X(titi1)ci+ 2(Mm).(1.13) i=1
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1.2. Riemann intégrabilité
De même avec lesm0ià la place deMi0on obtient j SΔδ(f)X(titi1)ci2(Mm).(1.14) i=1 Soitε >0quelconque, en choisissantδ=δ(ε)vérifiant à la fois (1.12) et2(Mm)< ε, on dispose ainsi par (1.13) et (1.14) d’une subdivisionΔδ(ε)telle que j j X(titi1)ciε < SΔδ(ε)SΔδ(ε)<X(titi1)ci+ε. i=1i=1 On en déduit pour toutε >0l’encadrement : j j X(titi1)ciε < I(f)I(f)<X(titi1)ci+ε, i=1i=1 puis en faisant tendreεvers0que j I(f) =I(f) =X(titi1)ci, i=1 ce qui établit l’intégrabilité defet (1.11). Proposition 1.9 (intégrabilité d’une fonction monotone).Sif: [a, b]Rest monotone sur[a, b], elle est Riemann intégrable sur[a, b]. Preuve.Supposons pour fixer les idées quefest décroissante, l’adaptation de ce qui suit au casfcroissante étant immédiate. Alorsfest bornée puisque pour toutx[a, b], f(b)f(x)f(a). PourΔ ={x0=a < x1<∙ ∙ ∙< xn=b}subdivision quelconque de[a, b], notonsmketMkles bornes inférieure et supérieure defsur[xk1, xk]et remarquons que par décroissance def,mk=f(xk)etMk=f(xk1). On a alors n 0SΔ(f)SΔ(f) =X(xkxk1)(Mkmk) k=1 n =X(xkxk1)f(xk1)f(xk)k=1 n maxk1)Xf(xk1)f(xk)1kn(xkxk=1 =1mkaxn(xkxk1)f(a)f(b). Soitε >0quelconque. En choisissant une subdivisionΔde pas au plusε,i.e.telle que max1kn(xkxk1)ε, on a 0SΔ(f)SΔ(f)εf(a)f(b). On en déduit queI(f)I(f)εf(a)f(b), puis commeεest quelconque que I(f)I(f) = 0. La fonctionfest donc Riemann intégrable.
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