cours-L2-A&T

Andrei Teleman

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Analyse et TopologieCours L2 MIAndrei TelemanCMI, Universit´e de Provence,39 Rue Fr´ed´eric Joliot-Curie, 13453 Marseille, Cedex 1322 mai 2011n´1 El´ements de topologie dans RProgramme : ouverts, ferm´es, normes ´equivalentes. Compacts, notion deconnexit´e. Un ouvert connexe est connexe par arcs. Normes matricielles.1.1 R´ecapitulatif sur les espaces vectorielsNous rappelons le th´eor`eme fondamental suivant concernant la dimensiondes espaces vectorielsTh´eor`eme 1.1.1 Soit K un corps commutatif et V un K-espace vectoriel.Alors1. V poss`edeunebase,i.e.unsyst`eme(v ) quiestunsyst`emedeg´en´erateuri i2Iet lin´eairement ind´ependant.2. Deux bases(v ) , (w ) ont le mˆeme cardinal, i.e. il existe une bijectioni i2I j i2j'I!J.Si V poss`ede une base finie a` n ´el´ements, alors le nombre d’´el´ements n ned´epend pas de la base choisie et s’appelle la dimension de V. Tout K-espacenvectoriel de dimension n est isomorphe `a K .Remarquons que l’espace vectoriel K[X] des polynomes `a coe!cients dansK est un espace vectoriel de dimension infinie : en e↵et le syst`eme d´enombrable2 k kinfini (1,X,X ,...,X ,...) = (X ) est une base de K[X].k2NDanscecoursnousallonsconsid´ererquelquesespacesvectorielsdedimensioninfinie remarquables :– L’espace F(M,K) des fonctions d´efinies sur M a` valeurs dans K est unespace de dimension m si l’ensemble M a m ´el´ements, et de dimensioninfinie si M est infini.1– SiK =R ouC, le sous-espace B(M,K)⇢ F(M,K) des fonctions born´eesM ...

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Analyse et Topologie Cours L2 MI Andrei Teleman CMI,Universite´deProvence, 39RueFr´ed´ericJoliot-Curie,13453Marseille,Cedex13 22 mai 2011

´ 1Ele´mentsdetopologiedansR n Programme:ouverts,ferm´es,normes´equivalentes.Compacts,notionde connexite´.Unouvertconnexeestconnexepararcs.Normesmatricielles. 1.1Re´capitulatifsurlesespacesvectoriels Nous rappelons le th´ ` e fondamental suivant concernant la dimension eorem des espaces vectoriels Th´eoreme1.1.1SoitKun corps commutatif etVunK-espace vectoriel. ` Alors 1.Vde`esspomest`enuys.i.esa,enube(v i ) i2I nsqyusiestuedegt`emretae´´nuer etlin´eairementinde´pendant. 2. Deux bases(v i ) i2I ,(w j ) i2j l,nae.i.exilteisbenucejinoitotnelˆmmeceraid I! ' J. SiVnubee`edopssanie`asefinbmonelsrola,stnetseneml´´ed’rel´em´enne de´pendpasdelabasechoisieets’appelleladimensiondeV. ToutK-espace vectoriel de dimensionntsehpromosie`aK n . Remarquons que l’espace vectorielK[Xsemooca`e]spdeynol!cients dans Kest un espace vectoriel de dimension infinie : en e↵no´eedemt`ysestlelbebmar infini (1, X, X 2 , . . . , X k , . . .) = (X k ) k2N est une base deK[X]. Danscecoursnousallonsconsid´ererquelquesespacesvectorielsdedimension infinie remarquables : – L’espaceF(M, Kefininsd´ctiosfoned)rseusMsanrudsavela`Kest un espace de dimensionmsi l’ensembleMamnoe´´lmeents,etdedimensi infinie siMest infini.

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– SiK=RouC, le sous-espaceB(M, K)⇢F(M, Kofcnd)sesbortionsn´ee M!Kest encore de dimension infinie siMest infini. – L’espaceC k (I,R),k2N[{1}des fonctions de classeC k efid´esnirusnu intervalleI⇢Rest unR-espace vectoriel de dimension infinie (sauf bien sur siIesneelbmtiud’la`eoid´eurtves{a}ni)t.eparunpoform´ Remarquerque,d’apr`eslethe´or`emedesbornes,onaC 0 ([a, b],R)⇢B([a, b],R). 1.2Espacesme´triques,espacesnorm´es,sous-ensembles ouverts,ferm´es D´efinition1.2.1ec´mteiruqeetsnuUnespaaiepre(X, d),uo`Xest un en- semble etd:X⇥X![0,1[est une application satisfaisant aux axiomes : 1.d(x, y) = 0,x=y, 2. Pour tousx,y2Xon ad(x, y) =d(y, x))eir.ys(te´m 3. Pour tousx,y,z2Xon ad(x, z)d(x, y) +d(y, z)galiin´e(l’-ugnairte´t laire). Une telle applicationds’peapeflltcnodnoiatsioecnum´etriquesurX. Deux metriquesd,d 0 surXons´eesittdnelaviuqeli’ssetedeuxiststanxconetsc,c 0 >0 ´ telles qued 0 cd 0 etdc 0 d. De´finition1.2.2Si(X, d)utenpscaseueetem´etriqr2[0,1[:tinfie´dno 1. la boule ouverte de centrexet rayonr:B(x, r) :={y2X|d(x, y)< r}, 2.labouleferme´edecentrexet rayonr:B f (x, r) :={y2X|d(x, y)r}, 3.lasph`eredecentrexet rayonr:S(x, r) :={y2X|d(x, y) =r}. Exercice 1.2.11. Montrer queB(x,0) =;etB f (x,0) =S(x,0) ={x}. 2. Soity2B(x, r). Posons⇢:=r*d(x, y). Remarquer que⇢>0 et montrer queB(y,⇢)⇢B(x, r). 3. SoitXun ensemble. Montrer que l’applicationd:X⇥X!Rd´efiarniep d(x, y) := ⇢ 0 1is is x x 6= = y y estunem´etriquesurXlesboulesouverte,selbsuoelfsre´mtesee.ce´Derir lessphe`resparrapport`acetteme´trique. 4. Soitd,d 0 triqxm´edeuelavsetn´seuiuqersuX. Montrer que toute boule ouverteparrapport`adiufinin)enofi(inoemer´esu’n´iecritcombodeesul ouvertesparrapporta`d 0 teent.quemipror´ec Danscecoursnousallonsconside´rerdesespacesme´triquesprovenantd’es- pacesvectorielsnorme´s: De´finition1.2.3SoitVucomeeloe.Unplexvecepscale´rotirneuusemroner Vest une applicationN:V![0,1[satisfaisant aux axiomes :

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1.n(v) = 0,v= 0, 2. Pour tousv2Vet2R(respectivement2C) on aN(v) =||N(x), 3. Pour tousv,w2Von aN(v+w)N(v) +N(w). Un espace norme est ´ un paire(V, N)`uo,Vstuneceveesparleirotcocuolee´etxelempNune norme surV. Deux normesN,N 0 surVestantsontditeqe´saviutnel’sseexilteisuxdenscoc, c 0 >0telles queNcN 0 etN 0 cN. Exemple :paesL’lee´rleirotcevecn-dimensionnelR n est muni de trois normes importantes (les normes standard)N 2 ,N 1 ,N 1 rpaesinfie´d v n n N 2 (x 1 , . . . , x n ) := t u i= X 1 x i 2 , N 1 (x 1 , . . . , x n ) := i= X 1 |x i |, N 1 (x 1 , . . . , x n ) := max{|x i | |1in}. Les trois normes standard surR n se´tilage´niuxtaonsfaist N 1 N 1  p nN 2 nN 1 , doncellessonte´quivalentes(voirlaplancheTD1).Onvamontrerque,sur unespacevectorielre´eloucomplexede dimension finietoutes les normes sont e´quivalentes.Cecin’estpasvraipourlesespacesvectorielsdedimensioninfinie. C’est important de noter qu’une normeNsurVemuntr´eueiqde´nfitid N surVl(e´maqirtsaeu´`iormealanNfiein)´dpera soc ee d N (v, w) :=N(w*v). Montrer qued N uneibtsefieinretvsno´divquenalrmno´ees.euqxueD´menirte ´evidemmentdesm´etriquese´quivalentes.Lesmetriques(e´quivalentes!)associ´ees aux trois normes standard surR n tnosse´d´ngieespard 2 ,d 1 ,d 1 mae´rtqieu.L d 2 ’spaeidilcuerusennamelllpeueiqtr´eR n  ?. Pourquoi De´finition1.2.4Soit(X, d)teirec´mseapnunsemus-eUnsoque.elbO⇢Xest ditouvert(parrapporta`lame´triqued)is’luxconditunedesdelavietnesnoiuqe´s suivantes est satisfaite : 1. Pour toutx2Oil exister >0tel queB(x, r)⇢O. 2.Onereunion(finieoiufinin)eedobluseveouesrt.rce´’suemmocti ´ SiA⇢Xest un sous-ensemble, un pointa2Aest diturieert´inntoipde As’il exister >0 tel queB(a, r)⇢Aurieesdintsert´sedeniopsne’lbm ˚ e.L Arieurdelei’tne´’spaepllAetestd´epa´egnsirAemmediveuojuottnrsa´On. ˚ A⇢A. Donc Remarque 1.2.5Un sous-ensembleO⇢Xest ouvert si et seulement si on a ˚ O=O.

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De´finition1.2.6SoitY⇢X. Un pointx2Xreentes`itdpatiotnda´hYsi pour toutr >0l’intersectionY\B(x, r)est non-vide. L’ensemble des points ¯ adh´erents`aYsdeceenre´hda’lelleppa’Yd´rasesteesign´eeparY. Un sous- ¯ ensembleY⇢Xest dit dense (dansX) siY=Xet est dit nulle part dense si ¯ Yne contient aucune boule ouverteB(x, r)avecr >0. Donc Intuitivement, un pointxtna`dhtare´eesYsi dansYil existe des points ¯ arbitrairement proches dex. Remarquer qu’on a toujours l’inclusionY⇢Y. D´efinition1.2.7Une suite(x n ) n2N dans un espace metrique(X, d)est dite ´ convergente s’il existel2Xedelimitte)aasuialrpaytne´´t:peoirppa(lale´le´ Pour tout">0il existen " 2Ntel que pour toutnn " on ad(x n , l)<"(soit x n 2B(l,")). Rappelons qu’une suite de la forme (x n k ) k2N u`o(n 0 < n 1 < n 2 < . . .est une suite strictement croissante de nombres naturels) s’appelle suite extraite, ou sous-suite de (x n ) n2N . Toute suite extraite d’une suite convergente de limite l2Xtseteenrgveonicssauemitimeleedˆml(donc ”sele´heetirsuitous-unes proprie´t´esdeconvergencedelasuiteme`re”). Pourquoi ? D´efinition1.2.8neU’druelavnere´hdalasucedeite(x n ) n2N est un pointx2 Xqui est la limite d’une sous-suite extraite de(x n ). Remarque 1.2.9Un pointx2Xesnptuntoiadd’re´hecnealedtiuse(x n ) n2N si et seulement si pour toutr >0la bouleB(x, r)cutneitnotinfinienterm´edees de la suite, donc l’ensemble{n2N|x n 2B(x, r)}est infini. Exercice 1.2.2tiusaledecnere´hiefin´eedexplomeceullseosQeursd’adntlesval parz n =i n + n1 1 + ? Proposition 1.2.10Soientab2Ret soit(u n ) n2N uenustireel´eteleell queau n bpour toutn2N(donc(u n ) n obnriuetP.soe´)eunesestson U n :={u k |kn},M n := supU n etm n := infU n . 1. La suite(M n ) n2N unesuiteestrtnapeurimereei´e´enfetnanrobrcedssioa et(m n ) n2N oisstecresuistuneartpenrmeurie´pusee´nrobetnab. 2. Posons lim supu n := inf{M n |n2N},lim infu n := sup{m n |n2N}. n!1 n!1 Lesnombresr´eelslim sup n!1 u n ,lim inf n!1 u n ontdesvaleursd’ahde´ercnes deu n , etlim sup n!1 u n ,lim inf n!1 u n 2[a, b]. 3.Toutevaleurd’adh´erencevde la suite(u n ) n2N itasiafsligaest´uxta´ein lim inf n!1 u n vlim sup n!1 u n . 4.Lesconditionssuivantessonte´quivalentes: (a)(u n ) n2N est convergente,

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