Cours-MA201

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Année 2009-2010. Licence 1ère année Université Paul CézanneAnalyse 1Emmanuel RussContact :[e-mail]==============================================Table des matières1 Limites et continuité 21.1 Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Définition de la limite d’une fonction en un point . . . . . 41.1.3 Propriétés de la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Fonctions continues en un point . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 F continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Lien entre continuité et bijection . . . . . . . . . . . . . . 171.2.5 Fonctions continues sur un segment . . . . . . . . . . . . 181.2.6 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 en 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Limites à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.1 Exemples et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.2 Retour aux liens entre continuité et bijection . . . . . . . 301.5.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.4 F hyperboliques . . . . . . . . . 312 Fonctions dérivables 322.1 ...

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Année 2009-2010. Licence 1ère année Université Paul Cézanne Analyse 1 Emmanuel Russ Contact : [e-mail] ==============================================

Table des matières 1 Limites et continuité2 1.1 Limite d’une fonction en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Exemples 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Définition de la limite d’une fonction en un point 4. . . . . 1.1.3 Propriétés de la limite 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fonctions continues 12. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Fonctions continues en un point. . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Fonctions continues sur un intervalle. . . . . . . . . . . . 14 1.2.3 Théorème des valeurs intermédiaires 15. . . . . . . . . . . . 1.2.4 Lien entre continuité et bijection 17. . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Fonctions continues sur un segment. . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Prolongement par continuité. . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Limites infinies 20. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Limites en±∞ 25. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Limites à gauche et à droite 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Exemples et définitions 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Retour aux liens entre continuité et bijection. . . . . . . 30 1.5.3 Fonctions trigonométriques 31. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Fonctions trigonométriques hyperboliques 31. . . . . . . . . 2 Fonctions dérivables32 2.1 Définitions 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  33 2.3 Fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  35. . . . . . . . 2.4 Dérivées d’ordre supérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Dérivabilité et extrema locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Théorème des accroissements finis 39. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Dérivabilité et monotonie 40. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Dérivée et fonction réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Développements limités43 3.1 Une nouvelle caractérisation de la dérivabilité 43. . . . . . . . . . . 3.2 Formule de Taylor-Young. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .  43 3.3 Développements limités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 Les développements limités des fonctions usuelles 48. . . . . 3.3.3 Développement limité d’une somme 48. . . . . . . . . . . . 3.3.4 Développement limité d’un produit. . . . . . . . . . . . . 48 3.3.5 Développement limité et dérivation. . . . . . . . . . . . . 50 3.3.6 Développement limité d’une fonction composée. . . . . . 51 3.3.7 Quelques applications des développements limités. . . . . 53 4 Suites extraites55 4.1 Définition 55. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Lien avec la convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Application aux fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . 58

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Bibliographie •Un livre en français. F. Liret, D. MartinaisAnalyse1ère année. Cours et exercices avec solu- tions, 2003, Dunod. •Un site web où on peut trouver des exercices corrigés. http://wims.unice.fr

1 Limites et continuité On appellera intervalle ouvert deRtout intervalle de la forme suivante : ]a, b[aveca < b∈R,]− ∞, b[avecb∈R,]a,+∞[aveca∈RouR. 1.1 Limite d’une fonction en un point 1.1.1 Exemples Premier exemple :Soitf:R→Rdéfinie par f(x) =x 3 pour toutx∈R. On af(1) = 1, et on pose la question suivante : si on prendx assez proche de1et différent de1, peut-on rendref(x)aussi proche def(1) = 1 qu’on veut ? Par exemple, on veut trouver lesx∈Ravecx6= 1tels que|f(x)−1|<10 −3 . Cela équivaut à  x 3 −1  <10 −3 , ou encore 1−10 −3 < x 3 <1 + 10 −3 , donc aussi à x∈ i  1−10 −3  31 ,  1 + 10 −3  1 3 h :=I. On a donc trouvé un intervalle ouvertJcontenant1tel que, pour toutx∈J différent de1,|f(x)−1|<10 −3 . Il est clair que, si on remplace10 −3 par n’importe quel nombre strictement positif plus petit que1, on peut raisonner de la même manière. Plus précisément, soitε >0un nombre quelconque strictement plus petit que1. Alors |f(x)−1|< ε⇔1−ε < x 3 <1 +ε⇔x∈ i (1−ε) 31 ,(1 +ε) h :=J, 1 3 et on a donc trouvé un intervalle ouvertJcontenant1tel que, pour toutx∈J différent de1,|f(x)−1|< ε. On traduit cette propriété en disant que limf(x= 1. x→1 ) Dans ce cas, la limite defen1est égale àf(1). Deuxième exemple :Soitf: [0,2]→Rdéfinie par 0si0≤x <1, f(x) =   1six= 1,  2si1< x≤2. On af(1) = 1et on pose la même question que précédemment : si on prendx assez proche de1, peut-on rendref(x)aussi proche def(1) = 1 ?qu’on veut

Si, par exemple, on cherche lesx∈[0,2]tels que|f(x)−1|<10 −3 , on voit que cela n’est possible que six= 1. On ne peut donc pas trouver dans ce cas d’intervalle ouvertJcontenant1tel que, pour toutx∈Jdifférent de1, |f(x)−1|<10 −3 . On n’a donc pas x li → m 1 f(x) = 1. On peut montrer que, plus généralement, il n’existe pas de réelltel que li → m 1 f(x) =l. x Troisième exemple :Soitf: [0,2]→Rdéfinie par 0si0 =    1 0 is is1 x ≤ < = x 1 < x , ≤ 1 2 , . f(x) On af(1) = 1on pose encore la même question que précédemment : si onet prendxassez proche de1, peut-on rendref(x)aussi proche def(1) = 1qu’on veut ? Là encore, si, par exemple, on cherche lesx∈[0,2]tels que|f(x)−1|<10 −3 , on voit que cela n’est possible que six= 1. On ne peut donc pas trouver dans ce cas d’intervalle ouvertJcontenant1tel que, pour toutx∈Jdifférent de1, |f(x)−1|<10 −3 . En d’autres termes, on n’a pas x li → m 1 f(x) = 1. Par contre, siJest un intervalle ouvert contenant1, on a, pour toutx∈Jtel quex6= 1,f(x) = 0, donc |f(x)−0| ≤10 −3 . Plus généralement, siε >0et siJest un intervalle ouvert contenant1, on a, pour toutx∈Javecx6= 1, |f(x)|< ε. On traduit cette propriété en écrivant que l x i → m 1 f(x) = 0. Ici, on notera qu’on n’a pas0 =f(1). Quatrième exemple :Soitf: [0,2]→Rdéfinie parf(x) =x 2 . Icif(0) = 0. Sixest assez proche de0, peut-on rendref(x)aussi proche qu’on veut de f(0) = 0? Siε >0, on aura|f(x)|< εsi, et seulement si,|x | ≤ √ ε. Si J:=  √ −ε, √ ε  ,

alors, pour toutx∈[0,2]∩Jdifférent de0,|f(x)|< ε. On a bien trouvé un intervalle ouvertJcontenant0tel que, pour toutx∈J∩[0,2]différent de0, |f(x)|< ε. On est obligé de préciser ici qu’on prendx∈J∩[0,2], carfn’est pas définie surJtout entier. On écrira x→ l 0 i , m 0 f(x) = 0. x>

Si on récapitule ces exemples, on a observé plusieurs phénomènes : dans le premier cas,fpossède une limite en1, qui est égale àf(1), et on dira quefest continue en1. Dans le deuxième,fpas du tout de limite enne possède 1. Dans le troisième,fpossède une limite en1qui est différente def(1), etfn’est pas continue en1. Dans le dernier,ftend vers0 =f(0)en0, mais n’est définie que pour desx≥0. 1.1.2 Définition de la limite d’une fonction en un point SoitIun intervalle deR,a∈Ietf:I\ {a} →Rune fonction. On notera qu’on supposefdéfinie en tout point deIdifférent dea, mais pas forcément en a. Définition 1.1Soitl∈R. On dit que limf(x) =l x→a si, et seulement si, pour toutε >0, il existe un intervalle ouvertJ⊂Rconte- nantatel que, pour toutx∈I∩Jdifférent dea, |f(x)−l|< ε. Exemple 1.2Soitf:]0,+∞[→Rdonnée parf(x) = x 1 . Alors x li → m 1 f(x) = 1. En effet, soitε >0. Alors 1 x < <1 +ε. |f( )−1|< ε⇔1− x ε Siε <1, cette dernière inéquation équivaut à 1 x∈  1 + ε , 1 1 −ε  :=J. Ainsi, si0< ε <1on a trouvé un intervalle ouvert, Jcontenant1tel que, pour toutx∈Jdifférent de1,|f(x)−1|< ε. Siε≥1, on sait qu’il existe un intervalle ouvertJcontenant1tel que, pour toutx∈Jdifférent de1,|f(x)−1|< 21 . Alors, pourx∈Jdifférent de1, on a aussi|f(x)−1|< ε.

Exemple 1.3On considère la fonctionE:R→Rqui, à toutx∈R, associe sa partie entière. c’est-à-dire le plus grand entierk∈Ztel quek≤x. Alors, il n’existe pas de réell∈Rtel que lim 0 E(x) =l. x→ En effet, supposons qu’un tellexiste. Soitε >0. Il existe donc un intervalle ouvertJcontenant0tel que, pour toutx∈Jdifférent de0,|E(x)−l|< ε. Pour toutx∈J∩]0,1[, on aE(x) = 0, donc|l|< ε. Pour toutx∈J∩]−1,0[, on aE(x) =−1, donc|−1−l|< ε. Comme c’est vrai pour toutε >0, on obtient à la fois quel= 0etl=−1, ce qui est impossible. Remarque 1.4Supposons qu’on trouve unε 0 >0avec la propriété suivante : pour toutε∈]0, ε 0 [, il existe un intervalle ouvertJ⊂Rcontenantatel que, pour toutx∈I∩Jdifférent dea, |f(x)−l|< ε. Alors on a bien limf(x) =l. x→a C’est ce qu’on a vu dans l’exemple1.2. Remarque 1.5Comme on l’a vu dans le troisième exemple dans la section 1.1.1, silim x→a f(x) =l, on n’a pas forcémentl=f(a). Remarque 1.6Il peut arriver quefn’ait pas de limite ena, comme dans l’exemple1.3. Remarque 1.7Attention : la négation de limf(x) =l x→a n’est pas limf(x)6=l. x→a En effet, la fonctionfpeut n’avoir aucune limite ena. La négation s’écrit ainsi : il existeε >0tel que, pour tout intervalle ouvertJcontenanta, il existe x∈I∩Jdifférent deatel que|f(x)−l| ≥ε. 1.1.3 Propriétés de la limite On a d’abord une propriété d’unicité : si la limite defenaexiste, alors elle est unique. Proposition 1.8Soita∈Ietf:I\ {a} →R. S’il existel 1 etl 2 dansRtels que limf(x) =l 1 etlimf(x) =l 2 , x→a x→a alorsl 1 =l 2 .

Preuve :soitε >0. Il existe un intervalle ouvertJ 1 contenantatel que, pour toutx∈I∩J 1 différent dea, |f(x)−l 1 |< 2 . ε De même, il existe un intervalle ouvertJ 2 contenantatel que, pour toutx∈ I∩J 2 différent dea, |f(x)−l 1 | < ε 2 . Soit alorsx∈I∩J 1 ∩J 2 différent dea. On a donc |l 1 −l 2 | ≤ |f(x)−l 1 |+|f(x)−l 2 |< ε. Comme c’est vrai pour toutε >0, on obtient bien quel 1 =l 2 . Une fonction possédant une limite enaest bornée près dea. Plus précisément :

Proposition 1.9On suppose que limf(x) =l∈R. x→a Alors il existe un intervalle ouvertJcontenantaet un réelM >0tels que, pour toutx∈I∩J, avecx6=a, |f(x)| ≤M. En d’autres termes,fest bornée surI∩J\ {a}. Preuve :laissée en exercice. On appliquera la définition de la limite en prenant (par exemple)ε= 1.

Remarque 1.10Attention : le fait quefsoit bornée surI∩J\ {a}n’entraîne pas quefpossède une limite ena. Voir le deuxième exemple de la section1.1.1.

Voici le lien -très important- entre cette notion de limite et la limite des suites :

Théorème 1.11Soita∈I,f:I\ {a} →Retl∈R. Alors limf(x) =l x→a si, et seulement si, pour toute suite(x n ) n≥1 qui converge versaet telle que x n 6=apour toutn≥1, n l → i + m ∞ f(x n ) =l.

Preuve :on suppose d’abord quelim x→a f(x) =let soit(x n ) n≥1 une suite qui converge versaavecx n 6=apour toutn≥1. Soitε >0. Il existe un intervalle ouvertJcontenantatel que|f(x)−l|< εpour toutx∈Jdifférent dea. Il existeN≥1tel que, pour toutn≥N,x n ∈J, et commex n 6=a, pour tout n≥N,|f(x n )−l|< ε. On suppose maintenant qu’on n’a pas limf(x) =l x→a Par la remarque1.7, il existeε >0tel que, pour tout intervalle ouvertJ contenanta, il existex∈I∩Jdifférent deatel que|f(x)−l| ≥ε. Choisissant alorsJ n =  a−, a+ n 1  pour toutn≥1, on obtient que, pour toutn≥1, il 1 n existex n ∈I∩J n avecx n 6=atel que|f(x n )−l| ≥ε. Ainsi, la suite(x n ) n≥1 converge versaet la suite(f(x n )) n≥1 ne converge pas versl. On peut utiliser cette propriété pour montrer qu’une fonction possède, ou ne possède pas, de limite en un point. Reprenons l’exemple1.3. Pour montrer que En’a pas de limite en0, on peut dire que, silétait cette limite, en choisissant x n = 1 n qui tend vers0, on aurait l= limE(x n ) = 0 carE(x n ) = 0pour toutn≥1. En choisissantx n =− n 1 qui tend aussi vers0, on aurait l= limE(x n ) =−1 carE(x n ) =−1pour toutn≥1. C’est impossible. L’observation suivante est très utile : Proposition 1.12Soita∈Ietf:I\ {a} →R. On suppose que limf(x) =l x→a et quel >0. Alors, il existe un intervalle ouvertJcontenantatel quef(x)>0 pour toutx∈I∩Jdifférent dea. Preuve :La définition de la limite, appliquée avecε= l 2 , montre qu’il existe un intervalle ouvertJcontenantatel que, pour toutx∈Jdifférent dea, |f(x)−l|< 2 l , donc, pour un telx, f(x) > l 2 >0. On a aussi les propriétés suivantes à propos des opérations sur les limites :

Théorème 1.13Soienta∈Ietf 1 , f 2 :I\ {a} →R. On suppose que limf 1 (x) =l 1 etlimf 2 (x) =l 2 . x→a x→a Alors : 1.lim x→a (f 1 +f 2 )(x) =l 1 +l 2 , 2.pour tout réelλ, lim (λf 1 )(x) =λl 1 , x→a 3.lim x→a (f 1 f 2 )(x) =l 1 l 2 , 4.sil 2 6= 0, alors il existe un intervalle ouvertJcontenantatel quef 2 (x)6= 0pour toutx∈I∩Jdifférent dea, et on a f 1 x li → m a f 2 (x) = l l 1 2 . Preuve :laissée en exercice. On peut par exemple utiliser le théorème1.11et les propriétés correspondantes sur les suites. Pour le point4., on utilisera aussi la proposition1.12. Ce théorème permet souvent de calculer la limite d’une fonction en un point. Par exemple, prenons f(x) = x 2 x + 3 + 4x 1 −1 pour toutx∈[0,+∞[, et cherchons sifpossède une limite en0. D’après le théorème1.13, limx 2 + 4x−1 =−1etlimx 3 + 1 = 1, x→0x→0 donc −1 lim 0 f(x) = =−1. x→ 1

Remarque 1.14Pour le point4.du théorème1.13, sil 2 = 0, il peut quand même arriver que f f 1 2 soit définie sur(I∩J)\ {a}oùJest un intervalle ouvert contenantapeut pas utiliser alors l’énoncé du, mais on ne 4.pour conclure, et il faut s’y prendre autrement. Par exemple, siI=Retf 1 (x) =f 2 (x) =x, on a limf 1 (x) = 0etlim x→0x→0 f 2 (x) = 0, mais la fonction f f 1 2 vaut toujours1en dehors en0et on a donc lim f 1 ) = 1. x→0 f 2 (x Sif 1 (x) =x 2 etf 2 (x) =x, on a encore lim 0 f 1 (x) = 0etl x i → m 0 f 2 (x) = 0, x→

et lim f x→0 f 2 1 (x) = 0, puisque f f 1 2 (x) =xpour toutx6= 0. Par contre, dans ce cas, f f 2 1 (x) = 1 x pour toutx6= 0et on véifie que la fonction f f 2 1 ne possède aucune limite en0. A propos du produit de fonctions, on a aussi la propriété suivante : Proposition 1.15Soienta∈Ietf 1 , f 2 :I\ {a} →R. On suppose que limf 1 (x) = 0 x→a et qu’il existe un intervalle ouvertJcontenantatel quef 2 soit bornée sur I∩J\ {a}. Alors lim (f 1 f 2 )(x) = 0. x→a Preuve :utiliser des suites. On a aussi une propriété importante des limites vis-à-vis de la composition : Théorème 1.16Soita∈Ietf:I\ {a} →R. On suppose que limf(x) =b. x→a On suppose aussi queJest un intervalle ouvert contenantb, queg:J→R, queg(b) =let que y li → m b g(y) =l. Alors il existe un intervalle ouvertI 0 ⊂Icontenantatel queg◦fsoit définie surI 0 ∩I\ {a}et limg◦f(x) =l. x→a Preuve :d’abord, commeb∈Jet queJest ouvert, il existeε >0tel que ]b−ε, b+ε[⊂J. Il existe un intervalle ouvertI 0 contenantatel que, pour tout x∈I 0 ∩Idifférent dea, |f(x)−b|< ε, donc, pour un telx,f(x)∈J, ce qui fait queg◦fest bien définie enx. Soitε >0. Il existe un intervalle ouvertJ 0 contenantbtel que, pour tout y∈J∩J 0 différent deb, |g(y)−l|< ε. Notonsquecettein´galitérestevraiepoury=bpuisqueg(b) =l. Comme l’intervalleJ∩J 0 est ouvert, il existeη >0tel que]b−η, b+η[⊂J∩J 0 . Il existe un intervalle ouvertKcontenantatel que, pour toutx∈K∩I 0 différent dea,|f(x)−b|< η. Alors, pour toutx∈K∩I 0 différent dea,|g(f(x))−l|< ε.

Pour utililiser efficacement ce théorème, on se servira des limites suivantes :

Proposition 1.171.pour toutα∈Ret touta >0,lim x→a x α =a α , 2.lim x→a sinx= sinapour touta∈R, 3.lim x→a cosx= cosapour touta∈R, 4.lim x→a e x =e a pour touta∈R, 5.lim x→a lnx= lnapour touta >0. 6.lim x→ 0 sinx x = 1. 7.lim x→ 0 ln(1 x +x) = 1. Voici des exemples d’utilisation du théorème1.16et la proposition1.17. Exemple 1.18Soit f(x) = cos  ln(x 2 + 1)  pourx∈R. On peut écriref=f 1 ◦f 2 ◦f 3 où f 1 (x) = cosx, f 2 (x) = lnxetf 3 (x) =x 2 + 1. Par le théorème1.13et la proposition1.17, limf 3 (x x→0 ) = 1, x li → m 1 f 2 (x) = 0etl x i → m 0 f 1 (x) = 1, donc le théorème1.16assure que . l x im 0 f(x) = 1 → Exemple 1.19ces théorèmes pour traiter des cas où leOn peut aussi utiliser point4.du théorème1.13ne s’applique pas. Par exemple, si f(x) = √ x 3x + −3 3−2 pourx∈]1,+∞[et si on cherche à savoir sifpossède une limite en1, on ne peut pas appliquer directement le théorème1.13, car, d’après la proposition1.17 et le théorème1.13, lim √ x+ 3−2 = 0. x→1 Par contre, on peut écrire, pour toutx >1, f(x) =  ( √ ( x 3x + − 3 3 − ( 2 ) √ )( x √ + x2 + ) 3) 3+ 2 + 3( = x−3) x ( − √ x 3= )2 1 +3+ ( √ x+ 3 + 2), donc lim x→1 f(x) = 12. On termine ce paragraphe par le lien entre limites et inégalités : Théorème 1.20Soita∈Ietf 1 , f 2 , f 3 :I→Rdes fonctions telles que, pour toutx∈I\ {a} f 1 (x)≤f 2 (x)≤f 3 (x).