COURS MECANIQUE CLASSIQUE

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Extrait

Chapitre 8
Induction électromagnétique
605 8.1 Cadre de l’induction
1. Les équations de Maxwell s’écrivent dans le cadre de l’approximation
des régimes quasi-stationnaires
relations intrinseques relations relaint le champ a ses sources
!¡ !¡ ‰
@B!¡ div(E)˘¡!
rotE˘¡
"0
@t
!¡ !¡ !¡¡¡!
div(B)˘ 0 rotB˘„ j0
2. Les relations de passage sont
!¡ ¡! ?!¡
E ¡E ˘ n2 1 12
"0
!¡ ¡! !¡ !¡B ¡B ˘„ j ^ n2 1 0 s 12
8.2 Cas d’un circuit mobile dans un champ magné-
tique stationnaire (permanent) : Cas de Lorentz
610 8.2.1 Transformation des champs
!¡ !¡
Soit un champ électromagnétique (E,B) dans un référentiel galiléen
0
R. Dans un referentiel galileenR en translation à la vitesse par rapport
34COURS MP-PC 10:22/20 octobre 2010
àR, le champ électromagnetique s’écrit
( !¡ !¡ !¡!¡0E ˘E¯ v ^Be
!¡ !¡
0B ˘B
˜Ce résultat, établi dans un cadre non relativiste, peut conduire à des
incohérences.
8.2.2 Champ électromoteur d’induction
Dans le référentiel mobile, le champ électrique s’écrit
¡¡¡!!¡ !¡0E ˘¡gradV¯Em
!¡ !¡!¡
615 ou E ˘ v ^ B composante du champ électrique à circulation nonm e
conservative, est le champ électromoteur.
8.2.3 F.é.m. d’induction
1. La f.é.m. induite dans le circuitC est la circulation du champ électro-
620 moteur :
I
!¡ !¡
e(t)˘ E .d lm
C
2. La f.é.m. induite sur un segment PQ s’écrit
Z Q
!¡ !¡
e ˘ E .d lPQ m
P
3. La loi d’Ohm généralisée s’écrit
u ¯e ˘R i(t)PQ PQ PQ
8.2.4 Loi de Faraday
!¡
Soit un circuit orienté C mobile dans un champ magnétique B
constant. La f.e.m. induite s’écrit :
d'
e(t)˘¡
dt
ou ˇ
!¡!¡ !¡
'(B)˘ B.dS
tel : [phone] page 35 AMAMI MOHAMEDCOURS MP-PC 10:22/20 octobre 2010
1. Attention aux orientations : l’orientation du circuit est nécessaire
pour définir e(t ) ; elle impose de la surface S pour le
calcul de'.On doit orienter e(t) et i(t) dans le même sens (convention
625 générateur).
2. On retrouve (signe (-) de la loi de Faraday) la loi de modération de
Lenz : l’induction tend, par ses effets, à s’opposer à ses causes (ici, le
mouvement du circuit).
8.2.5 Loi de Lenz
630 1. La f.é.m. induite tend, par ses conséquences, à s’opposer à sa cause.
2. Le signe (-) de la loi de Faraday traduit la loi de Lenz, qui est une loi
de modération.
8.2.6 Force de Laplace
!¡
1. Soit un conducteur parcouru par un courant volumique j placé dans
!¡
un champ magnétique B Un volume d¿ de ce conducteur subit la
force de Laplace
!¡ !¡ !¡
dF ˘ j ^Bd¿L
!¡
2. Dans le cas d’un circuit filiforme, l’élément de longueurd l du circuit
subit la force de Laplace
!¡!¡ !¡
dF ˘id l ^BL
3. Remarque :différences entre force de Lorentz et force de La-
635 place
force de lorentz force de laplace
nature s’applique sur une charge :microsco- s’applique sur un conducteur par-
pique couru par un courant : macrosco-
pique
travail ne travaille pas travaille
principe de l’ac- n’obeit pas à ce principe obeit à ce principe
tion et de la réac-
tion
8.2.7 travail de la force de Laplace
!¡ !¡
–W˘ F .d rL
!¡ !¡ !¡
–W˘I(d l ^B).d r
tel : [phone] page 36 AMAMI MOHAMEDCOURS MP-PC 10:22/20 octobre 2010
Par permutation circulaire on obtient :
!¡ !¡!¡
–W˘I(d r ^d l ).B
!¡ !¡
–W˘IdS .Bc
ˇ
!¡ !¡
W˘I dS .Bc
W˘I'c
ou' est le flux coupé par le circuit lors de son déplacement de l’état initialc
à l’état final.
' ˘' ¡' ˘¢'c f i
!¡
ce dernier résultat on l’obtient en écrivant que le flux du champ B est nul
sur le cylindre engendré par son déplacement.' est le flux sur la surfacec
latérale,' le flux sur la surface de base à droite et' le flux sur laf i
de base à gauche.
' ¯' ¡' ˘ 0c i f
39
' ˘' ¡' ˘¢'c f i
La force de Lorentz (due à ce mouvement d’ensemble) agissant sur
chaque particule q du conducteur s’écrit Fq=+()Ev∧B ,
s
fournissant ainsi une fém
dl 1
eE=+v∧B⋅=dl− vdt∧dl ⋅ B
()()s
∫∫
2d S n dt
circuit circuit
dr 1 2
=− dSn⋅B
∫dt
circuit
2où dSn est la surface orientée élémentaire, décrite lors du
déplacement vdt du circuit. On reconnaît alors l’expression du flux
dr= v dt coupé à travers cette surface élémentaire. On a donc
1 dΦΦd2 ce=− d Φ =− =−c
∫dt dt dtThéorème de Maxwell : Le déplacement d’un circuit électriquecircuit
puisque la variation du flux coupé est égale à celle du flux total à travers le circuit
640 fermé dans un champ magnétique extérieur engendre un travail
(conservation du flux magnétique, cf théorème de Maxwell).des forces magnétiques égal au produit du courant traversant le
Attention au sens de dl : il doit être cohérent avec ddΦΦ= .
ccircuit par le flux coupé par celui-ci lors de son déplacement
Ne pas oublier que ce raisonnement n’est valable que pour un champ
Nous venons de démontrer la loi de Faraday dans le cas d’un circuit rigide, déplacé dans un
magnétique extérieur statique (pas de variation temporelle du champ au
champ électromagnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l’expression du
645 cours du déplacement du circuit).
flux coupé. En fait, la seule chose qui compte, c’est l’existence d’un mouvement d’ensemble
du tout ou d’une partie du circuit (revoir démonstration pour s’en convaincre). Ainsi,
tel : [phone] page 37 AMAMI MOHAMED
l’expression de la fém induite
dΦce=− (expression 3)
dt
reste valable pour un circuit déformé et/ou déplacé dans un champ magnétique statique. Cette
démonstration s’est faite à partir de la force de Lorentz et est donc a priori indépendante du
référentiel choisi.
Première difficulté
Prenons l’expérience de la roue de Barlow. L’appareil consiste en un disque métallique
mobile autour d’un axe fixe, plongeant dans un champ magnétique et touchant par son bord
extérieur une cuve de mercure. Un circuit électrique est ainsi établi entre la cuve et l’axe et on
ferme ce circuit sur un galvanomètre permettant de mesurer tout courant. Lorsqu’on fait
tourner le disque, un courant électrique est bien détecté, en cohérence avec la formule ci-
dessus. Cependant, il n’y a pas de variation du flux total à travers la roue ! Ce résultat
dΦ
expérimental semble donc contradictoire avec e=− !
dt
Comment comprendre cela ? Même si, globalement, il n’y a pas de variation du flux total, il
n’en reste pas moins que les charges du disque conducteur se déplacent dans un champ
magnétique. On pourrait donc faire fi de l’égalité ddΦΦ= et utiliser l’expression 3 etc
calculer ainsi une fém non nulle.
Cependant, la cause physique fondamentale de son existence réside dans l’expression 2. Il
faut donc utiliser les expressions 1 et 3 uniquement comme des moyens parfois habiles de
calculer cette fém.COURS MP-PC 10:22/20 octobre 2010
8.2.8 Energie potentielle
L’énergie magnétique d’un circuit parcouru par un courant
permanent I et placé dans une champ magnétique extérieur est donc :
E ˘¡I'¯ctep
La valeur de la constante, comme pour toute énergie potentielle d’interac-
tion, est souvent choisie arbitrairement nulle à l’infini.
L’expression générale de la force de Laplace agissant sur un circuit par-
couru par un courant permanent, c’est à dire
¡¡¡!!¡
F ˘Igrad'L
1. La force totale (s’exerçant donc sur le centre d’inertie du circuit) a
tendance à pousser le circuit vers les régions où le flux sera maximal.
2. Cette expression est valable uniquement pour des courants perma-
650 nents. Noter qu’elle s’applique néanmoins pour des circuits déformés
et donc pour lesquels il y aura aussi une modification du flux sans
réel déplacement du circuit.
Un circuit tend toujours à se placer dans des conditions d’équi-
libre stable, où le flux du champ est maximum.
655 8.2.9 Remarque sur la convention de signe
La détermination du sens du courant induit se fait de la façon suivante :
1. On se choisit arbitrairement un sens de circulation le long du circuit.
2. Ce sens définit, grâce à la