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Mod´elisation stochastique en SciencesFondamentalesPierre BERNARD, Universit´e Blaise-Pascal, Clermont-FerrandTable des mati`eres1 Introduction 3D´eterminisme et hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Les math´ematiques du hasard : apparition et d´eveloppement . . . . . . . . . 5Le coeur du calcul des probabilit´es : les th´eor`emes limites. . . . . . . . . . . 7Le mouvement brownien : de Louis Bachelier a` Albert Einstein . . . . . . . . 8Information, statistiques et probabilit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Le mouvement brownien 112.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1 Robert Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Le mouvement brownien comme limite de marches au hasard . . . . . . 142.3 Propri´et´es ´el´ementaires du mouvement brownien r´eel . . . . . . . . . . . 162.4 Le mouvement brownien d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . 223 Dynamique 233.1 Processus d’´evolution d´eterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1 Espace des phases `a plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . 253.2 Flots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Champ de vecteurs vitesses de phase . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Action d’un flot sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Langue Français

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Mod´elisation stochastique en Sciences
Fondamentales
Pierre BERNARD, Universit´e Blaise-Pascal, Clermont-FerrandTable des mati`eres
1 Introduction 3
D´eterminisme et hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Les math´ematiques du hasard : apparition et d´eveloppement . . . . . . . . . 5
Le coeur du calcul des probabilit´es : les th´eor`emes limites. . . . . . . . . . . 7
Le mouvement brownien : de Louis Bachelier a` Albert Einstein . . . . . . . . 8
Information, statistiques et probabilit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Le mouvement brownien 11
2.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Robert Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Le mouvement brownien comme limite de marches au hasard . . . . . . 14
2.3 Propri´et´es ´el´ementaires du mouvement brownien r´eel . . . . . . . . . . . 16
2.4 Le mouvement brownien d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Dynamique 23
3.1 Processus d’´evolution d´eterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Espace des phases `a plusieurs dimensions . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Flots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Champ de vecteurs vitesses de phase . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Action d’un flot sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Semi-groupes d’op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Semi-groupes fortement continus d’op´erateurs . . . . . . . . . . . 28
3.4.2roupes de contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.3 Le th´eor`eme de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.4 Noyau d’un g´en´erateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.5 Le cas des espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.6 Semi-groupes de Feller-Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Processus de Markov et transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.2 Propri´et´e de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Un exemple : le processus de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5.3 Processus de Markov et semi-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Martingale associ´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36`TABLE DES MATIERES 2
4 Equations diff´erentielles stochastiques 38
4.1 L’int´egrale stochastique par rapport au mouvement brownien . . . . . . 38
2Espace L (0,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38F
2 M (0,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38F
4.1.1 L’int´egrale stochastique fonction de sa borne sup´erieure . . . . . 39
4.1.2 Le cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Processus a` valeurs matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.3 Formule de Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.4 Propri´et´es de l’int´egrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Equations diff´erentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Repr´esentation sur l’espace des trajectoires. Solutions fortes. . . . . . . 40
4.3.1 Solutions fortes et faibles d’une EDS . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Propri´et´e de Markov forte d’un processus de Feller-Dynkin a` trajectoires
continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Le g´en´erateur infinit´esimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5.1 L’´equation de Kolmogorov r´etrograde . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5.2 L’´on de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5.3 Probabilit´es invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Repr´esentationprobabilistedesolutionsd’´equationsauxd´eriv´eespar-
tielles. Formule de Feynman-Kac 45Chapitre 1
Introduction
Septansplustˆot,uncasdifficiledem´eningites’´etaitd´eclar´eparhasarda`l’hˆopital
delavilleou` habitaitTeresa,etlechefdeserviceou` travaillaitThomasavait´et´eappel´e
d’urgence en consultation. mais, par hasard, le chef de service avait une sciatique, il
ne pouvait pas bouger, et il avait Thomas a` sa place dans cet hˆopital de province. Il y
avait cinq hˆotels dans la ville, mais Thomas ´etait descendu par hasard dans celui ou`
travaillait Tereza. Par hasard, il avait un moment `a perdre avant le d´epart du train
et il ´etait all´e s’asseoir dans la brasserie. Tereza ´etait de service par hasard et servait
par hasard la table de Thomas. Il avait donc fallu une s´erie de six hasards pour
pousser Thomas jusqu’`a Tereza, comme si, laiss´e a` lui-mˆeme, rien ne l’y euˆt conduit.
M.KUNDERA, L’insoutenable l´eg´eret´e de l’ˆetre, Gallimard, 1984.
Il faut donc bien que le hasard soit autre chose que le nom que nous donnons a`
notre ignorance...
H.POINCARE, Calcul des Probabilit´es, Gauthier-Villars, 1912, P.3.
Hasard et al´ea Le mot hasard vient de l’arabe : az-zahr, et le mot al´ea est latin, les
deux racines signifiant : d´es).
Hasard et Destin Ce qui est fortuit, le hasard est oppos´e au destin (du latin
fatum, qui signifie ce qui est ´ecrit.
DIDEROT, Jacques le Fataliste : Le grand rouleau ou` tout est ´ecrit
Le destin tragique d’Oedipe (SOPHOCLE) : le hasard n’a aucune place dans une
m´ecanique ou` le destin est implacable.
Le Hasard, source du libre arbitre. Car si tout est d´ej`a d´etermin´e, ou` est la place
pour le libre arbitre?
Dans la mythologie grecque, les dieux eux-mˆemes sont soumis au destin. Dans les
religions monod´eistes, le Dieu unique domine le destin.
D´eterminisme et hasard
Le d´eterminisme selon Pierre Simon de LAPLACE (1814) :
Une intelligence qui, pour un instant donn´e, connaˆıtrait toutes les forces dont la na-
ture est anim´ee, et la situation respective des ˆetres qui la composent, si d’ailleurs elle
´etait assez vaste pour soumettre ces donn´ees `a l’analyse, embrasserait dans une mˆeme
formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus l´eger des
atomes : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le pass´e serait pr´esent `aCHAPITRE 1. INTRODUCTION 4
ses yeux. L’esprit humain offre, dans la perfection qu’il a su donner a` l’astronomie, une
faible esquisse de cette intelligence.
L’´etudeduprobl`emedestroiscorps,etlad´ecouverteparH.POINCAREduph´enom`ene
de grande sensibilit´e aux conditions initiales, vont mettre a` mal cette conception.
Le hasard est souvent associ´e `a l’impr´edictibilit´e (caract`ere de ce que l’on ne peut
pas pr´edire).
Les sources de l’impr´edictibilit´e : la complexit´e, notre propre ignorance.
La caract´eristique des ph´enom`enes que nous appelons fortuits, ou dus au hasard,
c’estded´ependredecausestropcomplexespourquenouspuissionslesconnaˆıtretoutes
et les ´etudier.
E.BOREL, Le hasard, F´elix Alcan, 1938.
Une source de hasard est la forte d´ependance des conditions initiales (chaos, effet
papillon).
Rejoint le chaos pimitif de PLATON.
Henri POINCARE (Science et M´ethode, 1908) :
Une cause tr`es petite, qui nous ´echappe, d´etermine un effet consid´erable, que nous ne
pouvons pas ne pas voir, et nous disons alors que cet effet est duˆ au hasard. Si nous
connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l’univers `a l’instant
initial, nous pourrions pr´edire exactement la situation de ce mˆeme univers a` un instant
ult´erieur. Mais, lors mˆeme que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous,
nous ne pourrions connaˆıtre la situation qu’approximativement. Si cela nous permet
de pr´evoir la situation ult´erieure avec la mˆeme approximation, c’est tout ce qu’il nous
faut, nous disons que le ph´enom`ene a ´et´e pr´evu, qu’il est r´egi par des lois; mais il
n’en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites diff´erences dans les conditions
initiales en engendrent de tr`es grandes dans les ph´enom`enes finaux; une petite erreur
sur les premi`eres produirait une erreur ´enorme sur les derniers. La pr´ediction devient
impossible et nous avons le ph´enom`ene fortuit.
Au-del`a de la complexit´e et de l’ignorance, qui sont des ph´enom`enes relatifs et qui
´evoluent dans le temps, il y a le hasard essentiel, (les hasards essentiels?) moteur
fondamental des ph´enom`enes naturels : ´evolution des syst`emes vivants (g´en´etique),
physique quantique.
Les progr`es de la g´enomique montrent la place centrale du hasard dans l’apparition de
la vie dans l’Univers et son ´

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