Cours - Polynomes

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• Publié par: Sojiz
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Extrait

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c Christophe Bertault - MPSI
Polynômes
Dans tout ce chapitre,K est l’un des corpsR ouC. La plupart des résultats présentés dans ce chapitre demeurent vrais dans
un cadre plus général, mais nous ne nous en préoccuperons pas ici.
1 AnneauK[X] des polynômes à une indéterminée
à coefficients dansK
Au lycée, les expressions « polynôme » et « fonction polynomiale » sont parfaitement synonymes : dans les deux cas on parle
n n−1des fonctions de la forme x→ a x +a x +...+a x+a , où n∈N et où a ,a ,...,a ∈C, définies surC tout entier.n n−1 1 0 0 1 n
3 2Si l’on note P le polynôme X +4X +X, vous ne serez pas surpris qu’on vous parle de la fonction P(sin) : elle sera pour
3 2vous la fonctionx→ sin +4sin x+sinx. On la noteP(sin) mais comprenez bien que ce n’est qu’une notation carP est définie
surC et la fonction sin n’est pas un nombre.
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Dans quelques mois, nous introduirons des tableaux de nombres appelés matrices, comme par exemple M = , que
2 1
3 2nous saurons additionner, multiplier, etc. L’objet M +4M +M aura donc un sens pour nous : le sens d’une nouvelle matrice
construite à partir de M. Nous la noterons P(M), notation qui ne signifie bien sûr pas queM est un nombre!
D’une façon générale, dès qu’on a quelque part en mathématiques des notions telles que l’addition et la multiplication, on
est capable de concevoir des polynômes pour les objets correspondants. Cela indique que ce qui compte dans un polynôme, ce
sont seulement ses coefficients — et leurs positions. Vous ne serez donc pas déroutés par la définition suivante :
Définition (PolynômeàuneindéterminéeàcoefficientsdansK) Onappelle polynôme à une indéterminée à coefficients
dansK toute suite presque nulle d’éléments deK, i.e. toute suite (a ) d’éléments deK dont tous les éléments sont nuls àk k∈N
partir d’un certain rang. Pour toutk∈N, le coefficient a est appelé le coefficient de degré k du polynôme.k
L’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dansK est notéK[X], si on choisit de noter X l’indéterminée.
Conformément à cette définition, un polynôme est une suite de la forme (a ,a ,...,a ,0,0,0,...) à coefficients dansK.0 1 n
n n−1Nous allons bientôt pouvoir noter a X +a X +...+a X +a une telle suite et je vous conseille d’avoir d’ores et déjàn n−1 1 0
cette notation en tête si vous voulez bien comprendre les prochaines définitions.
Quoi qu’on en pense, la définition précédente a l’intérêt majeur de rendre trivial le résultat suivant, si l’on n’oublie pas ce
que c’est qu’une suite. Je vous rappelle qu’en Terminale vous avez admis ce théorème dans le cas des fonctions polynomiales.
Théorème (Identification des coefficients) Deux polynômes deK[X] sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont
égaux. Bref, les polynômes (a ) et (b ) sont égaux si et seulement si a =b pour tout k∈N.k k∈N k k∈N k k
Définition (Polynôme constant, polynôme nul) On appelle polynôme constant (deK[X]) tout polynôme deK[X] de la
forme (λ,0,0,...), où λ∈K; un tel polynôme est noté tout simplement λ.
Avec cette notation, le polynôme 0 est appelé le polynôme nul (deK[X]).
nX
kSi P = a X est un polynôme au sens intuitif du terme, le degré de P est égal à n si on a a = 0. Ce rappel justifie lank
k=0
définition suivante.
Définition (Degré d’un polynôme, coefficient dominant, polynôme unitaire) Soit P = (a ) ∈K[X] non nul. Lek k∈N
plus grand indice k pour lequel a = 0 est appelé le degré de P et noté ∂˚P. Le coefficient de degré ∂˚P de P est appelé sonk
coefficient dominant; s’il est égal à 1, on dit queP est unitaire.
Par convention, le polynôme nul est de degré−∞ : ∂˚0 =−∞.
Enfin, pour tout n∈N, on noteK [X] l’ensemble des polynômes deK[X] de degré inférieur ou égal à n.n
$$$ Attention ! K [X] n’est pas du tout l’ensemble des polynômes deK[X] de degré égal àn. Remarque à retenir enn
prévision de nos prochains chapitres d’algèbre linéaire.
1c Christophe Bertault - MPSI
Pour nous rapprocher véritablement de l’intuition que nous avons de la notion de polynôme, il nous faut définir une addition
n nX X
k k
et une multiplication sur l’ensembleK[X] fraîchement défini. Si P = a X et Q = b X sont des polynômes au sensk k
k=0 k=0
intuitif du terme — comme les coefficients deP et Q sont nuls à partir d’un certain rangn, on peut prendre le mêmen pourP
et Q — voici le genre de calculs qu’on a bien envie de faire :
n n nX X X
k k kP +Q = a X + b X = (a +b )Xk k k k
k=0 k=0 k=0 !
n n 2n 2n kX X X X X X X
i j i+j k ket PQ = a X × b X = a b X = a b X = ab X .i j i j i j l k−l
i=0 j=0 06i,j6n k=006i,j6n k=0 l=0
i+j=k
On a ici regroupé les termes en fonction de leur degré. La définition suivante doit maintenant vous paraître naturelle.
Définition (AnneauK[X]) Ondéfiniticideuxlois +et×decomposition internessurK[X]. SoientP,Q∈K[X],P = (a )k k∈N
et Q = (b ) .k k∈N • On appelle somme de P et Q le polynôme a +b , notéP +Q;k k
k∈N !
kX
• On appelle produit de P et Q le polynôme a b , noté P×Q ou PQ.i k−i
i=0 k∈N
En particulier, pour tout λ∈K, λP est le polynôme (λa ) .k k∈N
Alors K[X],+,× est un anneau commutatif. L’élément neutre pour + est le polynôme nul 0; l’élément neutre pour × est le
polynôme constant 1.
$$$ Attention ! Pour le moment, nous n’avons pas de fractions rationnelles à notre disposition. Les écritures de la
2X +1
forme sont donc bannies jusqu’à nouvel ordre. Nous les retrouverons en fin d’année.
X +2
Démonstration
• Vérifions tout d’abord que la somme et le produit de deux polynômes sont bien des polynômes — pour
garantir qu’on a bien des lois de composition internes. Soient donc P = (a ) et Q = (b ) deuxk k∈N k k∈N
polynômes. NotonsN un rang à partir duquela =b = 0.k k
1) Comme a +b = 0 à partir du rang N, P +Q est bien une suite presque nulle d’éléments deK,k k
i.e. un polynôme.
2) Ensuite, soit k> 2N. Pour tout i∈ J0,kK, l’un des entiers i et (k−i) est supérieur ou égal à N
— en effet, si i < N, alors k−i> k−N > 2N −N = N. En particulier, pour ces i∈ J0,kK, a = 0 oui
kX
b = 0, donca b = 0. Par conséquent a b = 0. Finalement, les coefficients dePQ sont nuls auk−i i k−i i k−i
i=0
moins à partir du rang 2N ; cela montre bien quePQ est un polynôme.
• SoientP = (a ) un polynôme etλ∈K. Aquoile polynômeλP ressemble-t-il?Notons (b ) la suite dek k∈N k k∈N
sescoefficients.Pourtoutk∈N,pardéfinitionduproduitλ×P,b =λa +0.a +0.a +...+0.a =λa .k k k−1 k−2 0 k
• L’associativité et la commutativité de + sont évidentes. En outre le polynôme nul est élément neutre pour
+ et l’inverse pour + d’un polynôme P = (a ) est le polynôme−P = (−a ) .k k∈N k k∈N
Conclusion : K[X],+ est un groupe commutatif.
• Montrons la commutativité de ×. Soient P = (a ) ,Q = (b ) ∈K[X]. Alors pour tout k ∈N :k k∈N k k∈N
k kX X
a b = b a après le changement d’indicei+j =k. Ceci montre quePQ et QP ont les mêmesi k−i j k−j
i=0 j=0
coefficients, donc sont égaux.
• Montrons l’associativité de ×. Soient P = (a ) ,Q = (b ) ,R = (c ) ∈K[X]. Pour tout k ∈N, lek k∈N k k∈N k k∈N
coefficient de degré k de (PQ)R est : ! ! !
k i k k k k−jX X X X X X X
l=i−j
a b c = a b c = a b c = a bc .j i−j j i−j j i−j jk−i k−i k−i l (k−j)−l
i=0 j=0 06j6i6k j=0 i=j j=0 l=0
Le terme obtenu se trouve être égal au coefficient de degré k de P(QR). Par conséquent (PQ)R et P(QR)
ont les mêmes coefficients, donc sont égaux.
• Puisque 1×P =P pour toutP ∈K[X], le polynôme constant 1 est élément neutre pour×.
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• Montronspourfinirque×estdistributivesur+.SoientdoncP = (a ) ,Q = (b ) ,R = (c ) ∈K[X].k k∈N k k∈N k k∈N
Pour tout k∈N, le coefficient de degré k deP(Q+R) est :
k k kX X X
a (b +c ) = a b + a c .i k−i k−i i k−i i k−i
i=0 i=0 i=0
Le terme obtenu se trouve être égal au coefficient de degré k de (PQ)+(PR). Par conséquentP(Q+R) et
(PQ)+(PR) ont les mêmes coefficients et sont donc égaux.
Et voilà, le temps de la notation polynomiale des polynômes est enfin venu. Désormais, grâce au théorème suivant, les
polynômes seront notés comme des polynômes au sens intuitif du terme. Je ne vous conseille certainement pas d’oublier la
construction que nous venons d’effectuer, mais en tout cas il est vrai que nous ne verrons plus jamais les polynômes apparaître
sous forme de suites dans ce cours.
Théorème (Notation polynomiale) DansK[X], notons X le polynôme (0,1,0,0,...).
k ème• Pour tout k∈N, X est le polynôme (0,..