Cours Pourcentages

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Cours et exercices de mathématiques M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr POURCENTAGES 1) Pourcentages et proportions Définition Un pourcentage est un RAPPORT DE PROPORTIONNALITE ramené à 100 On peut l'écrire sous la forme d'une fraction décimale dont le dénominateur est 100. Exemple : Si, dans une classe de 25 élèves, 40 % sont des garçons, combien représentent-ils ? On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant : Pourcentages 100 % 40 % élèves 25 ? 40et effectuer le calcul ? = 25 × = 10. Il y a donc 10 garçons dans la classe 100L'utilisation d'un tableau de proportionnalité (et des fameux produits en croix) est une méthode qui permet à coup sûr de résoudre les problèmes posés. Cette remarque nous permet d'énoncer les deux règles suivantes : pRègle 1: Pour prendre les p % d'une quantité a, on effectue le calcul a × 100L'ordre dans lequel on effectue les deux opérations est indifférent. Néanmoins, il est peut être plus facile d'effectuer d'abord la multiplication, puis ensuite la division par 100 (Cette opération s'effectue par "décalage" de la virgule !) 2) Déterminer un pourcentage Nous allons nous poser le problème inverse du précédent. Exemple : Si, dans une classe de 25 élèves, 10 élèves sont des garçons, quel pourcentage représentent-ils ? On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant : Pourcentages 100 % ? élèves 25 10 10On calcule : ? = ×100 = 40. Les garçons représentent donc 40 % des élèves de la classe 25 ...

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M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.free.fr POURCENTAGES 1) Pourcentages et proportions Définition Un pourcentage est unRAPPORT DE PROPORTIONNALITEramené à 100 On peut l'écrire sous la forme d'une fraction décimale dont le dénominateur est 100. Exemple : Si, dans une classe de 25 élèves, 40 % sont des garçons, combien représentent-ils ? On peut dresser letableau de proportionnalitésuivant : Pourcentages 100% 40% élèves 25? 40 et effectuer le calcul ? = 25× = 10.Il y a donc 10 garçons dans la classe 100 L'utilisation d'un tableau de proportionnalité (et des fameux produits en croix) est une méthode qui permet à coup sûr de résoudre les problèmes posés. Cette remarque nous permet d'énoncer les deux règles suivantes :

Règle 1:Pour prendre lesp% d'une quantitéa, on effectue le calcul a× 100 L'ordre dans lequel on effectue les deux opérations est indifférent. Néanmoins, il est peut être plus facile d'effectuer d'abord la multiplication, puis ensuite la division par 100 (Cette opération s'effectue par "décalage" de la virgule !) 2) Déterminer un pourcentage Nous allons nous poser le problème inverse du précédent. Exemple : Si, dans une classe de 25 élèves, 10 élèves sont des garçons, quel pourcentage représentent-ils ? On peut dresser letableau de proportionnalitésuivant : Pourcentages 100% ? élèves 2510 10 On calcule : ? = ×100 = 40.Les garçons représentent donc 40 % des élèves de la classe 25 a Règle 2:Pour trouver le pourcentage queareprésente par rapport àb, on effectue le calcul ×100 b On rencontre très souvent les pourcentages lorsqu'il s'agit d'augmentation ou de diminution 3) Pourcentages d’évolution Un exemple : Le prix d'un article était de 6,50 €. Son prix augmente de 5%. Combien coûte-t’il à présent ? 5 On a vu que les 5% de 6,50 € représentent 6, 5× =0, 325 € 100 5  5  L'objet coûte donc maintenant : 6,5 + 6, 5× =6, 5×1+ =6, 5×1, 05 = 6,825 €   100  100  Une remarque : On aurait pu de la même manière calculer le prix de l'article, après unebaissede 5 %. 5  5  On aurait obtenu : 6,5- 6, 5× =6, 5×1− =6, 5×0, 95 = 6,175 €   100  100  De manière générale : Règles :Soitaune quantité  p  Alors la quantitéaaugmentée dep% vaut b=a× 1+   100   p  La quantitéadiminuée dep% vaut b=a× 1−   100 

Les nombres 1+ et 1− sont appelés les coefficients multiplicateurs associés à la baisse et à la hausse dep% 100 100

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M. CUAZ,Cours et exercices de mathématiqueshttp://mathscyr.free.fr Les augmentations ou diminution dep% peuvent se répéter ou s'enchaîner. On parle alors de : 4) Itération de pourcentages Exemple introductif : Une somme d'argent de 500 € est placée sur un compte rémunéré à 4% l'an. Au bout de la première année, la somme d'argent, augmentée de ses intérêts devient égale à : 500×1, 04=520 € MAISlors de la deuxième année, les 4 % ne sont plus calculés sur les 500 € du début, mais sur les 520 €,(On parle alors d'intérêts composés)de sorte qu'à la fin de la deuxième année, le capital obtenu s'élève à : 2 520×1, 04=500×1, 04×1, 04=500× ( 1, 04 ) =562,432 € = 562,43 € à 0,1 € près On peut ainsi énoncer les règles suivantes : Règles : Une quantitéAaugmentéenfois successivement d'un même pourcentagetdevient égale à n  t   t   t   t   t  A× 1+ × 1+ × 1+ .......× 1=+ A× 1+   100   100   100   100   100    n fois Une quantitéAdiminuéenfois successivement d'un même pourcentagetdevient égale à n  t   t   t   t   t  A× 1× − 1− × 1×− .....  1=− A× 1−   100   100   100   100   100    n fois Si le pourcentage d'augmentation reste le même, l'augmentation, elle, n'est pas constante, car ce pourcentage, calculé sur des valeurs de plus en plus grandes, représente une quantité de plus en plus grande. 5) Quelques pièges sur les pourcentages 5-1) En règle générale, les pourcentages ne s’ajoutent pas et ne se retranchent pas. Exemple : Un objet coûte 100 €. Son prix augmente de 10 %, puis le nouveau prix est diminué de 10% Quel est son nouveau prix ? Une erreur serait de croire que 100 € + 10 % - 10 % = 100 € ! En effet, on a 100 € + 10 % = 110 €, et la diminution suivante, de 10 %, sera appliquée aux 110 €, soit 110 € – 10 % = 110-11 = 99 €. Exception : Seuls les pourcentages pourtant sur le même ensemble sont susceptibles de s’ajouter : Exemple : Dans une classe de 30 élèves, 15 élèves sont bruns, et 3 sont roux. Quel est le pourcentage d’élèves qui ne sont pas blonds ? 15×100 Les élèves bruns représentent =50 % de la classe 30 3×100 Les élèves bruns représentent =10 % de la classe 30 Les pourcentages ayant été calculés à partir du même ensemble de définition (la classe), on peut affirmer que 50 % + 10 % = 60 % des élèves ne sont pas blonds. 5-2)naugmentations dep% ne sont pas équivalentes à une augmentation denp% C'est l'erreur la plus fréquemment commise Reprenant l'exemple de la somme d'argent placée à la banque, 2 augmentations successives de 4%n'ont pas été égalesà une augmentation de 8 %. 2 Pour connaître leur effet sur une somme, il convient de calculer : ( 1, 04 ) =1, 0816 Ceci nous permet d'affirmer que 2 augmentations successives de 4% sont équivalentes à une augmentation de 8,16 %.

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