Cours sur la fonction carrée

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• Publié par: Ormya
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Extrait

7
Chapitre 13
Fonction carrée - Fonction inverse
I La fonction carrée
Exercice : Livre : Activité 1 page 121
Introduction et premières propriétés.
Définition
2La fonction carrée est la fonction f définie surR par f(x) = x . On a donc : f :R−→R
2x→ f(x) = x
Propriété Parité de la fonction carrée
Nous savons que :
◮ En langage usuel : Tout réel et son opposé ont le même carré.
2 2
◮ En langage Mathématique : Pour tout réel x, on a (−x) = x ou f(−x) = f(x).
On dit que f est une fonction paire surR.
Remarque : D’autres fonctions sont paires, la fonction carrée sera la fonction de référence pour
cette propriété.
On étudie ensuite les variations de la fonction : lecture graphique sur calculatrice et conjecture du tableau
de variations.
Propriété Variations de la fonction carrée
On a le tableau de variations suivant :
La fonction carrée est :
x −∞ 0 +∞
strictement décroissante sur ]−∞ ; 0]
et
fstrictement croissante sur [0 ; +∞[.
0
+Démonstration: On fait l’étude surR = [0 ; +∞[.
+ 2 2Pour tous réels a, b deR avec a < b, f(a)−f(b) = a −b = (a−b)(a +b).
Comme on a a< b, on en déduit (a−b) < 0.
Comme 06a < b, on en déduit (a+b) > 0.
Puis, par la règle des signes : f(a)−f(b) < 0 ⇐⇒ f(a)< f(b).
+On a donc obtenu surR ,
les antécédents a, b sont rangés dans la même ordre que leurs images f(a), f(b).
+La fonction carrée est donc strictement croissante surR .
−Puis par parité, la fonction carrée est strictement décroissante surR .
42b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
II. LA FONCTION INVERSE 43
Vocabulaire
La représentation graphique de la fonction carrée est notéeP. Il s’agit d’une parabole.
Tabuler la fonction carrée au pas de 0,5 pour obtenir un tableau de valeurs et représenter cette courbe sur
[−3 ; 3]. Sur le graphique, faire apparaître la propriété de parité, l’axe de symétrie, le nom de cette courbe.
y
8
P parabole de référence
2d’équation y =x
6
4
f(−x) = f(x)
2
−x x−3 −2 −1 1 2 3O
(Oy) est axe de symétrie deP
Exercices : Livre : 3, 4 page 138
Équations par lectures graphiques.
Exercices : Livre : 5, 8 page 138
Équations par le calcul.
Exercices : Livre : 9, 10 page 138
Comparaisons.
Exercice : Livre : 11 page 139
Inéquations.
II La fonction inverse
Exercice : Livre : Activité 3 page 122
Introduction.7
44 CHAPITRE 13. FONCTION CARRÉE - FONCTION INVERSE
Définition
1
La fonction inverse est la fonction f définie surR par f(x) = . On a donc : f :R−→R
x 1
x→ f(x) =
x
Propriété Ensemble de définition
Le calcul de l’image f(x) n’est possible que si le réel x est non nul.
Le réel 0 est donc une valeur interdite pour cette fonction.
∗L’ensemble de définition est doncD =R =R−{0} = ]−∞ ; 0[∪ ]0 ; +∞[.f
Propriété Parité de la fonction inverse
Nous savons que :
◮ En langage usuel : Tout réel non nul et son opposé ont des inverses opposés.
1 1
◮ En langage Mathématique : Pour tout réel x, on a =− ou f(−x) =−f(x)
−x x
∗On dit que f est une fonction impaire surR .
Remarque : D’autres fonctions sont impaires, la fonction inverse sera la fonction de référence pour
cette propriété.
On étudie ensuite les variations de la fonction : lecture graphique sur calculatrice et conjecture du tableau
de variations (apparition de la double barre pour 0)
Propriété Variations de la fonction inverse
On a donc le tableau de variations suivant :
La fonction inverse est :
x −∞ 0 +∞
strictement décroissante sur ]−∞ ; 0[
et f
strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.
∗Démonstration: On fait l’étude surR = ]0 ; +∞[.+
1 1 b−a
∗Pour tous réels a, b deR avec a < b, f(a)−f(b) = − = .+ a b ab
Comme on a a< b, on en déduit (b−a) > 0.
Comme 0< a <b, on en déduit ab > 0.
Puis, par la règle des signes : f(a)−f(b) > 0 ⇐⇒ f(a)> f(b).
∗On a donc obtenu surR ,+
les antécédents a, b sont rangés dans l’ordre contraire de leurs images f(a), f(b).
∗La fonction inverse est donc strictement décroissante surR .+
∗Puis par imparité, la fonction inverse est strictement décroissante surR .
−
Vocabulaire
La représentation graphique de la fonction inverse est notéeH . Il s’agit d’une hyperbole.
Tabuler à la calculatrice et représenter cette courbe sur [−5 ; 5].
Sur le graphique, faire apparaître la propriété d’imparité, le centre de symétrie, le nom de cette courbe.b
b
b
b
b
b
b
b
b
II. LA FONCTION INVERSE 45
5
4
3
2 H Hyperbole de référence
1
1 d’équation y =
x
f(x)
−x
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5xO
f(−x) =−f(x)
−1
−2
−3
−4
−5
L’origine est centre de symétrie deH
Exercices : Livre : 50, 51 page 142
Valeurs interdites.
Exercices : Livre : 32, 33, 34 page 140
Ordre.
Exercice : Livre : 31 page 140
Équations.
Exercice : Livre : 34 page 140
Inéquations.