Cours sur la théorie de galois

Description

Chapitre 8Th´eorie de GaloisNotation : On note (L :K) l’extension K L.8.1 Extensions normalesD´efinition 8.1.1. Une extension f : K ! L est normale si et seulement sitout polynˆome irr´eductible de K[X] qui admet une racine dans L est scind´edans L.Th´eor`eme 8.1.2. Soit f :K !L une extension. Il y a ´equivalence entre :a) l’extension est normale et de degr´e fini;b) L est corps de d´ecomposition d’un polynˆ ome unitaire de K[X].D´efinition 8.1.3. Une clˆoture normale d’une extension de degr´e fini :0f :K !L est une extension g :L!L telle que0a) l’extension gf :K !L est normale, et0b) g :L!L est minimale pour la propri´et´e a).Proposition 8.1.4. Toute extension admet une clˆ oture normale, unique `aisomorphisme pr`es.8.2 Groupe de GaloisD´efinition8.2.1. a)UnautomorphismeducorpsK estunhomomorphismebijectif de K dans lui-mˆeme.b) Un automorphisme d’une extension (L : K) est un automorphisme de Lqui fixe les ´el´ements de K (dont la restriction a` K est l’identit´e).49Proposition 8.2.2. Les automorphismes d’un corps K forment un groupe :Aut(K). Les automorphismes d’un extension (L : K) un groupequ’on appelle groupe de Galois de l’extension : Gal(L;K) ou Gal(L :K).Remarque 8.2.3. Lorsque K est le sous-corps premier de L,Gal(L :K) = Aut(L).Proposition 8.2.4. Soit H un sous-groupe d’un groupe de GaloisHGal(L :K), alors l’ensemble L des ´el´ements fix´es par tous les ´el´ements deH est un sous-corps de L qui contient K : le corps fixe de H.8.3 ...

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Extrait

Chapitre

Th´eorie

8

de

Galois

Notation : On note (L:K) l’extensionK⊂L.

8.1

Extensions normales

De´finition8.1.1.Une extensionf:K→Lest normale si et seulement si toutpolynˆomeirr´eductibledeK[X] qui admet une racine dansLdne´sticse dansL.

Th´eor`eme8.1.2.Soitf:K→Lalivceentrene:xeenuqu´eyaIln.ionste a)l’extensionestnormaleetdedegr´efini; b)Lˆnylopnuatinuemopoomecd´d’ontisisectrospedeiredK[X].

De´finition8.1.3.deongrdexteesienelamnu’drutoroneceˆlnUe´nfi:i ′ f:K→Lest une extensiong:L→Ltelle que ′ a) l’extensiong◦f:K→Lest normale, et ′ b) l’extensiong:L→Lmeaslteminilaprpoure´´tpoirae.)

Proposition 8.1.4.ouTsnetxeettemdanoiuneclˆoturenormaelu,inuq`ea isomorphismepre`s.

8.2

Groupe de Galois

D´efinition8.2.1.a) Un automorphisme du corpsKest un homomorphisme bijectif deKuliˆmmee.adsn b) Un automorphisme d’une extension (L:K) est un automorphisme deL quifixelese´l´ementsdeKaoi`nntla(dorictrestK´eiste).edtnlti’

49

Proposition 8.2.2.Les automorphismes d’un corpsKforment un groupe : Aut(K). Les automorphismes d’un extension(L:K)forment un groupe qu’on appelle groupe de Galois de l’extension :Gal(L, K)ouGal(L:K).

Remarque8.2.3.Lorsque Gal(L:K) = Aut(L).

K

est

le

souscorps

Proposition 8.2.4.SoitHun sousgroupe d’un H Gal(L:K), alors l’ensembleLarfixtssp´ee´´lmenedse Hest un souscorps deLqui contientK: le corps fixe

8.3

Correspondance de Galois

premier

groupe tous les deH.

de

L,

de Galois e´le´mentsde

The´ore`me8.3.1.SoitK→Lsnetdnoigedefie´r,anirsloyailuneex ´equivalenceentre: a)l’extensionestnormaleets´eparable, b)|Gal(L:K)|= [L:K], c)Lruaparlbsenˆomes´ed’unpolyisopnoit´dedmocetcespsorK.

D´efinition8.3.2.Une extensionK→Lest galoisienne si et seulement sielleestdedegre´finietve´rifielesconditionse´quivalentesduth´eor`eme pr´ec´edent.

Th´eor`eme8.3.3(Galois).Soit(L:K)oiednorgednfie´lagiunxteesien sienne, alors : H i) l’ application :H7→L ,orpuseseossugitcejibelertneno´eunitbltaH deGal(L:K), et les corpsEesir:´mreaidetniK⊂E⊂L; la bijection re´ciproque´etantE7→Gal(L:E). H ii) L’extension(L:K)est galoisienne si et seulement siHest un sous groupedistingu´edeGal(L:K). Dans ce cas le groupe de Galois,Gal(E:K) est isomorphe au quotient :Gal(L:K)/H.

Leth´eor`emesuivantestlepointcle´danslapreuveduth´eor`emedeGalois. H The´or`eme8.3.4.SoitHun groupe fini d’automorphisme du corpsLetL H lecorpsfixeassocie´.Alorsl’extension(L:L)est galoisienne, de groupe de GaloisH.

H De´monstration.eme`soP.snoDe´ntmonsrothleor´en= [L:L], ′H H m=|Gal(L:L)|etm=|H|= [L:K]. Notons que :H⊂Gal(L:L), ′ donc :m≤m. L’extension (L:Kdegr´efin´etantde)no,i:a Gal(L:K) = Hom K−alg (L, L)inoan.Oapchauvu´eprreitltnede´ctarojama ′ ′ dunombredemorphismesparledegr´e:m≤n. Donc :m≤m≤n.

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H Supposons quem < n. On fixe une partie libre deLsurLde cardinalm+1 : x 1 , . . . , x m+1 ´mrofeciselrapee.aLamrtσ(x j ),σ∈H, 1≤j≤ma+ 1, m lignes etmdrnoen,r+c1nes:olonolonsescssendtnoepe´nadns.teitQu`ateeor´ on suppose que lesrminielapremi`erseocolnnseofmrnetunepartieli´eem (rangr−s)1na.Oerunatelndioepdndee´vacenaeclesctousientoeffic y j ∈Lnon nuls : r X ∀σ∈H σ(x j )y j = 0. j=1 On peut trouver une telle relation avecy 1 = 1, ce que nous supposons de´sormais. r X ∀τ∈H∀σ∈H τ(σ(x j )y j ) = 0. j=1 En posantτ σ=γ: r X ∀τ∈H∀γ∈H γ(x j )τ(y j ) = 0. j=1 Pour chaqueτon obtient une nouvelle relation. En utilisant que le rang est e´gala`r, et queτ(y 1 ) =y 1 = 1, on obtient pout toutj,τ(y j ) =y j . Chaque H y j edstle´snemetoarleustfiesepx´H:y j ∈L. Reprenons la relation de H de´pendancequiestmaintenanta`coefficientsdansL: r X ∀γ∈H γ(x j )y j = 0. j=1 Avecγann=udIo,taoirele´ependedceenndanselertx j , ce qui donne une ′H contradiction. On conclut :n=m=m, etH= Gal(L:L). Corollaire 8.3.5.nir´efiedegUexnenstendio(L:K)est galoisienne si et Gal(L,K) seulement siK=L. Lapreuvedub)dansleth´eore`medeGaloisutiliseleslemmessuivants: Lemme 8.3.6.Soient(L:K)une extension galoisienne, etEun corps interme´diaireassocie´ausousgroupeH⊂Gal(L:K), alors pour tout −1 σ∈Gal(L:K), on aGal(L:σ(E)) =σHσ(N(H)est le normalisateur deH; le stabilisateur pour l’action de conjugaison sur les sousgroupes., i.e Lemme 8.3.7.Soient(L:K)une extension galoisienne, etEun corps interme´diaireassocie´ausousgroupeH⊂Gal(L:K), alors la restriction d´efinitunmorphismesurjectifN(H)→Gal(E, K)de noyauGal(L:E). √ √ √ 3 Exercice8.3.8.Etudier les extensionsQ⊂Q( 2,3) etQ⊂Q( 2, j) 2π i (j=egaesllennieislouclaC?seorgelrelmierrne.siote´DdoeSptunlaG.e) 3 lescorpsinterm´ediaires.

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9/12/2010

8.4

Exemples

Unexemplee´le´mentaire 4 SoitL⊂Cecorlriusitmnoosop(´dcespedQ) deX−2. C’est une extension galoisienne,commecorpsdede´compositiond’unpolynoˆmes´eparable(en 4 caracte´ristiqueze´rotoutpolynˆomeests´eparable).LesracinesdeX−2 √ √ 4 4 4 sont±2,±i2.emoˆnylopeLX−´2elusr´eductibetantirrQ(justifier), √ √ 4 4 l’extension (Q( 2) :Qtdxeed’tL´.r4gee(noissen)eL:Q´re))2(egedtdes √ 4 2:elleestengendre´epariqui n’est pas dansQ( 2)⊂R. On a donc : [L:Q] = 8. Le groupe de GaloisG= Gal(L:Q) est de cardinal 8. Pour √ √ √ 4 4 4 ρ∈G,ρ(i) =±ietρ( 2)∈ {±2,±i2}. L’application √ √ 4 4 r:G→ {±i} × {±2,±i2} √ 4 ρ7→(ρ(i), ρ( 2)) √ 4 est injective, cariengendrent l’extension. C’est une applicationet 2 entreensemblesfinisdemˆemescardinaux:elleestbijective.Les´el´ements √ √ 4 4 −1−1 τ=r(−i, 2),σ=r(i, i2) engendrent le groupeG, avec les relations :

2 4−1 τ=σ=id,στ=τ σ .

Onreconnaıˆtlegroupedi´edralD 4 5aylI.sdietr´ee)r´arucorpug(simodese e´le´mentsd’ordre2etune´l´ementd’ordre4quiengendrentdessousgroupes cycliques, et il y a deux sousgroupes de cardinal 4 non cycliques. Voir les corps correspondants dans la figure 8.1.

Corps cyclotomiques D´efinition8.4.1.On appelle corps cyclotomique une extension (Q(ζ n ) :Q), o`uζ n est une racine primitivent´e.’unidele`ime

Proposition 8.4.2.L’extension cyclotomique(Q(ζ n ) :Q)est galoisienne, × degroupedeGaloisisomorphea`(Z/nZ).

D´emonstration.Le corps cyclotomiqueQ(ζ n isopmocenoitectles)d´depsor n surQdupolynˆomeX−’cseutenxeetsnoi1:nyloemoˆalngsioineenep.L minimal deζ n moˆnylopeltseeΦqumitoloycec n dont les racines sont les k× , ζ n k∈(Z/nZ) . Notonsτ k ∈Gal(Q(ζ n ) :Q) l’automorphisme correspon k′ × dant`aζ. On a :τ τ= . Les groupes Gal(Q(ζ) :Q) et (Z/nZ) sont n k k τ kk n ′ isomorphes.

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