COURS SUR LE CALCUL VECTORIEL Bac Pro

Lopez

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GGGGGGGGGGGGGGGGJGGJGGGGJhttp://maths-sciences.fr Bac Pro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique GG GG uv+ uv− u u v v 3) Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal GGGRéaliser un calcul ; les coordonnées de AB sont (x ; y) d'où AB = xi + y j ou GGGAB=−x x i+ y−y j ()()BA BA 4) Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormal Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteur u = AB dans l'une des expressions littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteur u : u²=+xyx²=(−x)²+(y−y)² BA BA II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan Le produit scalaire des vecteurs u et v du plan est le nombre réel noté uv⋅ . 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs Il faut utiliser l'une des expressions suivantes. - Expression du produit scalaire en fonction des ...

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http://maths-sciences.fr BacPro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur G -sa direction:la direction du vecteur u est la droite (AB). G -son sens:le sens du vecteur u est de A vers B. GG -sa norme: la norme du vecteur u notée :uest la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction géométrique G GG G G G u+vu−v u u G G v v 3) Déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal JJJGJJJG G G Réaliser un calcul ; les coordonnées deABsont(x;y)d'oùAB=xi+y jou JJJG G G AB= ( x B −x A ) i+ ( y B −y A ) j 4) Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormal G JJJG Remplacer les valeurs des coordonnées du vecteur u  =Bl'une des expressions dans G littérales ci-dessous, puis calculer la norme du vecteur u : G u=²+ y ²=( x − x )²+( y − y )² B AB A II) Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan G GG G Le produit scalaire des vecteursuetvdu plan est le nombre réel notéu ⋅ v. 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs Il faut utiliser l'une des expressions suivantes. -Expression du produit scalaire en fonction des normes desvecteurs : G GG G G 2 G 2 G 2 1  Pour deux vecteursuetv , le produit scalaireu⋅vest le nombre: u+v−u−v  2  Cours sur le calcul vectoriel1/4

http://maths-sciences.frPro indus Bac - Expression analytique du produit scalaire : G G Pour deux vecteurs u et v , de coordonnées (x;y) et (x’;y’) dansun repère orthonormal, le G G produit scalaire u⋅v est le nombre : ×x'+y×y' - Expression géométrique du produit scalaire : G G G G G Pour deux vecteurs u et v , formant un angleu;v, le produit scalaire u⋅v est le nombre : ) G GG u×v×cos u;v ) G GG G Notation: u⋅v se lit « vecteur u scalaire vecteur v ». G G G Remarques :  -si u⋅v >0 alors l'angleu;vest aigu ( ) G G G  -si u⋅v <0 alors l'angleu;vest obtu ( ) G GG G 2 2 Le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme : u⋅u=u=u . 2) Propriétés du produit scalaire GJG Pour tous vecteurs u , v et w et pour tout nombre α réel : GGGGGJGGGGJG α u⋅v= α u⋅v ;u v+w=u⋅v+u⋅w ( ) ( ) G G 3) Montrer que deux vecteursuetvnon nuls sont orthogonaux G GG G Si le produit scalaire u⋅v =0 alors les vecteurs u et v sont orthogonaux. ( u⊥v ). III) Application du produit scalaire Certaines questions de problèmes se résolvent àpartir du calcul du produit scalaire de deuxvecteurs du plan. G G 1) Calculer la mesurede l'angle u;v ( ) G G Pour deux vecteurs non nuls u (x, y)et v (x’,y’) : G G - Calculer le produit scalaireu⋅v=xx'+yy' - Calculer le cosinus de l'angle θ en utilisant la relation suivante G G u⋅v xx ' +yy '  cos θ = G G = u ×v ² +y ² ⋅x ' ² +y ' ² -Calculer la mesure de l'angleen utilisant les touches INV et COS

Cours sur le calcul vectoriel2/4

http://maths-sciences.frPro indus Bac 2) Déterminer une équation d'un cercle de centreAet de rayonRdonné JJJJJG 2 -Déterminer l'ensemble des points M ( x , y ) tel que: M=R² . Si A a pour coordonnées ( a , b ),alors AM a pour coordonnées (x – a, y – - b ), d'où une équation 2 2 2 du cercle : ( −a ) + ( y−b ) =R 3) Déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à une droite (AB) au pointA JJJG JJJJG - Déterminer l'ensemble des points M ( x , y )tels que :AB⋅AM=0. Exemple : On considère les points A (2 ; -6) et B (0 ; 2). On cherche à déterminer une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à la droite ( AB ) au point A . Pour cela, on détermine l'ensemble des points M ( x , y ) tels que: JJJG JJJJG JJJG JJJJG AB⋅AM= 0 avec B (-2 ; 8) et M ( x – 2 ; y + 6), d'où : - 2( x –2) + 8( y + 6) = 0 c'est-à-dire : - x + 4 y + 26 = 0. IV) Vecteurs dans l’espace (dimension 3) L’utilisation des vecteurs dans l'espace faciliteles travaux sur certaines grandeurs. 1) Coordonnées d'un point dans l'espace Dans l'espace (dimension 3), les coordonnées du point A sont ( x A , y A , z A ) dans le repère G GG orthonormal O , i , j , k , d'où : ( ) JJGGGG OA=x i+y j+z k A AA 2) Coordonnées d'un vecteur JJJG Soient les points A ( x A , y A , z A ) et B ( x B , y B , z B ) , les coordonnées du vecteurBsont : ( −x,y−y,z−z ) B AB AB A 3) Coordonnées de la somme de deux vecteurs ou du produit d'un vecteur par un nombre réel Somme de deux vecteurs G GG G Soient les vecteurs u ( x ; y ; z ) et v ( x ’; y ’; z ’). Les coordonnées du vecteur u + v sont : ( x+ x ’; y + y ’; z + z ’). Cours sur le calcul vectoriel3/4

http://maths-sciences.frPro indus Bac Multiplication d'un vecteur par un réel G G Soient le vecteuru( x ; y ; z ) et le nombre réel α . Les coordonnées du vecteur α usont : ( x ; α y ; z ) 4) Norme d'un vecteur dans l'espace G Soit un vecteur u coordonnées ( de X , Y , Z ) dans le plan muni du repère orthonormal G GG G G G O , i , j , k , la norme du vecteur u (notée u ) est :u = ² +Y ² +Z ² ( ) V) Produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace G GG G Le produit scalaire des vecteurs u et v de l'espace est le nombre noté u⋅v . 1) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace Utiliser l'une des deux expressions suivantes. Expression géométrique du produit scalaire G G G G G Pour deux vecteurs u et v formant un angle u , v , le produit scalaire u⋅v est le nombre : ( ) G GG u ×v× cos u; v ( ) Expression analytique du produit scalaire G G Pour deux vecteurs u et v , de coordonnées ( x ; y ; z) et ( x ’; y ’; z ’) dans un repère othonormal, G G G le produit scalaire u⋅v est le nombre: u⋅v=xx ' +yy ' +zz ' Remarque:si l'un au moins des vecteurs est le vecteur nul, alors le produit scalaire est nul. G G 2) Montrer que deux vecteurs u et v , non nuls, sont orthogonaux G G - Calculer le produit scalaire u⋅v . G GG GG G - Si le produit scalaire u⋅v est nul, alors les vecteurs u et v sont orthogonaux. ( u⊥v ). G G 3) Calculer la mesure θ de l'angle u , v ( ) G G Pour deux vecteurs non nuls u et v de coordonnées ( x ; y ; z) et ( x ’; y ’; z ’) G G - Calculer le produit scalaire u⋅v=xx ' +yy ' +zz ' G G u v - Utiliser la relation suivante :cos θ = G G u ×v - Déterminer la valeur de l'angleen utilisant la calculatrice.

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