cours sur les anneaux de polynomes

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Chapitre 3Anneaux de polynˆomes3.1 Crit`eres d’irr´eductibilit´eD´efinition 3.1.1. Soit A un anneau commutatif int`egre. Un polynˆomeP 2A[X] est primitif si et seulement si 1 est PGCD de ses coefficients (lescoefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble).On noteQ(A) le corps des fractions de A. L’anneau A[X] est (isomorphe a)`un sous-anneau deQ(A)[X]Proposition 3.1.2. Soit P 2 A[X] un polynˆ ome non constant (de degr´esup´erieur ou ´egal `a 1).1. Si P est irr´eductible dans A[X], alors il est primitif.2. Si P est primitif et irr´eductible dans Q(A)[X], alors il est irr´eductibledans A[X].R´eduction des coefficientsProposition 3.1.3. SoitI un id´eal dans l’anneau commutatifA, etJ l’id´ealengendr´e par I dans A[X]. La surjection canonique :A!A=I s’´etend enun morphisme d’anneau :Π : A[X] ! A=I[X]X Xk k ;P = a X 7! a Xk kk ket induit un isomorphisme : A[X]=J A=I[X].L’imageΠ(P)estappel´eelar´eductiondeP moduloI.Lecoefficientdominantd’un polynˆome P est le coefficient de plus haut degr´e.20Corollaire 3.1.4. Si I est un id´eal premier de A, alors J = (I) est un id´ealpremier dans A[X].Proposition 3.1.5. Soit P 2 A[X] un polynˆ ome primitif non constant,et I un id´eal premier qui ne contient pas le coefficient dominant de P.Si la r´eduction de P modulo I est irr´eductible dans A=I[X], alors P estirr´eductible dans A[X].3.2 Factorialit´e des anneaux de polynˆomesD´efinition 3.2.1. Soit A un anneau factoriel. On appelle contenu deP 2A[X] un PGCD de ...

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Extrait

Chapitre

Anneaux

3.1

3

de

polynoˆmes

Crit`eresd’irr´eductibilite´

De´finition3.1.1.SoitAnnaeuanumatcumo`entfitipoUne.gremoˆnyl P∈A[X] est primitif si et seulement si 1 est PGCD de ses coefficients (les coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble).

On noteQ(A) le corps des fractions deA. L’anneauA[Xi(tsomosehpr)a`]e un sousanneau deQ(A)[X]

Proposition 3.1.2.SoitP∈A[X]ˆnylopnuocnonemont(dnstar´eedeg supe´rieuroue´gala`1). 1. SiPdalensdu´eibctserritA[X], alors il est primitif. 2. SiPsanedblticude´rritefitimiestprQ(A)[X]ibleductrre´seitsrlia,ol dansA[X].

R´eductiondescoefficients Proposition 3.1.3.SoitIunadlae´dienna’lsnaucommutatifA, etJli’´dael engendr´eparIdansA[X]. La surjection canoniqueπ:A→A/I´’tesnende un morphisme d’anneau :

Π :A[X] X k P=a k X k

→ →

A/I[X] X k , a k X k

et induit un isomorphisme :A[X]/J≈A/I[X].

L’image Π(Peadprs´tlla´peeedeont)ieucPmoduloI. Le coefficient dominant d’unpolynˆomePltceseedtue´rg.fficoentiepldehaus

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Corollaire 3.1.4.SiIidunsteempral´eeeidrA, alorsJ= (I)unidest´eal premier dansA[X]. Proposition 3.1.5.SoitP∈A[X]ˆoynolnpunocnonfitimirpemstant, etIcolecieffientiastpdtnaedtnenimounid´eauqnicenoplerimreP. Silare´ductiondePmoduloIdelbitcusnaer´edstirA/I[X], alorsPest irr´eductibledansA[X].

3.2

Factorialite´desanneaux

depolynˆomes

D´efinition3.2.1.SoitAun anneau factoriel. On appelle contenu de P∈A[X] un PGCD de ses coefficients. Il existe et est unique aux inver siblespre`s. On noterac(P) le contenu dePosicstsauune´osd’seascleneml´´eenu: repre´sentant. Remarque3.2.2.soncontenuestsfeistueelemtnisˆoynesmeritptimiUlopn inversible.

Proposition 3.2.3.Lpeorudntsfficierpsetimi`sfieocadeituxdelypoomnˆ dansunanneaufactorielestunpolynˆomeprimitif. Corollaire 3.2.4.PourPetQdansA[X], avecAfactoriel, on a c(P Q) =c(P)c(Q).

Corollaire 3.2.5.SoitAun anneau factoriel. SiP∈A[X]est divisible dansQ(A)[X]ulnyaproompnˆrieptimifQ∈A[X], alorsPest divisible par QdansA[X]. Proposition 3.2.6.SoitAnaucafuaennT.leirotolynoutpirr´ˆomeitlbdecue deA[X]est premier. The´or`eme3.2.7.a) SiAest un anneau factoriel, alors l’anneauA[X]est factoriel. b)Lespolynˆomesconstantsirr´eductiblesdansA[X]dsebiellesisontductrr´e A. c)Lespolynoˆmesnonconstantsirr´eductiblesdansA[X]pslonyoˆemssontle non constants primitifs deA[X]uqnosirritnaseldstcbie´udQ(A)[X]. Proposition 3.2.8)intensseEid’ere`tirC(.SoientAun anneau factoriel,f un´el´ementirre´ductibledeA, et n X k P=a k X k=0

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unpolynoˆmenonconstantprimitifdansA[X]. 2 Si :f6 |a n ,∀i < n f|a i , etf6 |a 0 , alorsPibleductdansrre´seitA[X]. Exercice3.2.9.Montrer que siAtueslesdiviseursd’unannnaeiutne`rg,e monˆomedeA[Xestdnˆmoesom.nos] 7/10/2010

3.3

Polynˆomesenunevariable:compl´ements

3.3.1Ladivisioneuclidiennee´tendue n m The´ore`me3.3.1.SoientU=a n X+∙ ∙ ∙+a 0 etV=b m X+∙ ∙ ∙+b 0 deux polynoˆmesdansA[X], avecn≥m−1etb m 6= 0. Il existe un unique couple (Q, R)deopedˆnylsemoA[X], tels que :

n−m+1 b U=V Q+R ,et m

(R= 0oudeg(R)<deg(Q) ).

3.3.2Fonctionspolynomialesete´valuation L’e´valuationpermetded´efinirunmorphismed’anneau:

E:A[X]→ A(A, A) P7→[a7→P(a)]

L’image de ce morphisme est le sous anneau des fonctions polynomiales sur A.

Proposition 3.3.2.a) SiAest infini, alorsEest injective. b) SiAunstea`infisprocqdeauet´nleeml´a,slsroyoneEsteidl’al´eneegdn´re q parX−X.

3.3.3D´erivation Caract´eristiqued’unanneau SiAest un anneau commutatif, alors il existe un unique morphisme d’anneau η:Z→A.

D´efinition3.3.3.e´irtsqiaLacartcauneanund’ueAe(ruetare´ne´gelsterntie positifounul)del’ide´alKer(η).

Remarque3.3.4.L’image deη`ehpromoastiseZ/Ker(η). Pour un anneau int`egre,c’estunsousanneauint`egre.Lacaracte´ristiqued’unanneauint`egre estsoitz´ero,soitunnombrepremier.

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Proposition 3.3.5.SoitAresiituqceraca´temocuaennanuedgr`entfititamu p >0, alors l’application F:A→A p a7→a

est un morphisme d’anneau.

D´erivation Lade´rivationestl’application:

D:

A[X] P k P= k a k X

→ →

A[X] P ′k−1 D.P=P= k>0 a k kX

The´ore`me3.3.6.SoitAnauaenntniurge`te,eP∈A[X]. 1.Silacaracte´ristiquedeAest nulle, on a :

DP= 0⇔P∈A .

2.Silacaracte´ristiquedeAest un nombre non nulp(premier), alors :

p DP= 0⇔P∈A[X].

Th´eor`eme3.3.7(Formule de Taylor).SoitAfinitutaer`tgeunancommneau k decaract´eristiquenulle,pourtoutP∈A[X],D .P(0)est divisible park!, et : k X D P(0) k P=X . k! k

3.4

Polynˆomes`anvariables

SoitAun anneau commutatif etX 1 , . . . , X n desermid´etsnin´ee. On note n A[X 1 , . . . , X n mbseenl’amsfdele]dseel´ementillesd’´A´xeepsraniedN, avec unnombrefinidetermesnonnuls,not´eescommecombinaisonslin´eairesdes k 1 k n X 1 . . . X n ,k j ≥ten´leem´esdesl:0A[X 1 , . . . , X n sualofmr:e]sec’´verisont X X k 1 k n k 1 k n X . . . X . X n =a k 1n P=a k 1 ,...,k n 1 . . . X k 1 ,...,k n k

A[X 1 , . . . , X n ]nudisemt´eraesops:tion X X X k 1 k n k 1 k n k 1 k n (a X . . . X) + (b X . . . X) = (a+. . . X . k 1 n k 1 n k b k )X 1n k k k

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