cours sur les fonctions génératrices des variables aléatoires

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Chapter 9Fonctions g´en´eratrices des variablesal´eatoires `a valeurs dans NSommaire9.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.3 Loi et fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.4 Fonction g´en´eratrice et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.5 Fonction g´en´eratrice et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Objectifs:• Introduire un objet qui caract´erise la loi d’une variable al´eatoire a` valeurs dansN: la fonction g´en´eratrice.Mots-cl´es:• fonction g´en´eratrice, rayon de convergence.Outils:• liens entre la loi et la fonction g´en´eratrice,• calcul de l’esp´erance et de la variance `a partir de la fonction g´en´eratrice.Techniques de d´emonstration: R´esultats sur les s´eries enti`eres.9.1 D´efinitionD´efinition 9.1 Soit X une variable al´eatoire a` valeurs dans N. On d´efinit sa fonction g´en´eratrice g parX+∞Xkg (s) = s P(X =k).Xk=0Remarque: 1. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, g est un polynˆome en s, elle est donc d´efinie sur RXtout entier.2. Si X prend un nombre d´enombrable de valeurs,g est une s´erie enti`ere en s: on doit donc se demander pourXquelles valeurs de s cette s´erie est bien ...

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Chapter 9

Fonctionsg´ene´ratricesdesvariables al´eatoires`avaleursdansN

Sommaire 9.1D´efinition.................................................68 9.2 Calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 9.3Loietfonctiong´ene´ratrice........................................70 9.4Fonctiong´en´eratriceetinde´pendance..................................70 9.5Fonctiong´en´eratriceetmoments....................................70

Objectifs: •reunobjeIntroduiabrivane’uidlolaesire´tcaraciuqtssdanleura`avioere´taellaNanfg´oenct:iloatrin´erec. Motscle´s: •ngioctonatern´´eyar,ecirvnocednoergence.f Outils: •aftlctonngion´´etareecir,ilneestneralolei •noitcnofaledritre.ictrra´eeng´ecterenase´ped’l`apaancevaridelaaclucl Techniquesded´emonstration:e´ssseirsstaelrus.tienre`eR´esult

9.1D´efinition D´efinition9.1SoitXrudsavelnasal´eablere`aatoiiravenuNO.dnne´gare´cirtefin´esaitncfoontig X par +∞ X k g X (s) =sP(X=k). k=0

Remarque:1. SiXne prend qu’un nombre fini de valeurs,g X lonyutpnenseˆomesestdelle,useirdcnonfie´R tout entier. 2. SiXevaleurs,mbrabledrbdee´onneudnnmoprg X es´erieeestunntn`ireees: ondoit donc se demander pour quelles valeurs desrieees´ecett.eaLfieinne´dtsibri´essdeieor´ethrussasere`itneseqe’ulixesietR X tel que

•si|s|< R X , alorsg X (sulembaostn))vnocegretm(emeˆenvcogeer

•si|s|> R X , alorsg X (s) diverge,

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•si|s|=R X , on ne sait pas. Cette grandeurR X eel´peapsterayon de convergencedeg X . Remarquonsici que +∞+∞ X X k g X 1(1) =P(X=k) =P(X=k) = 1, k=0k=0 et doncR X >1. lafonctionge´n´eratriced’unevariableale´atoirea`valeursdansNru[seuaomniss´esdiefinoutturjo−1,1].

3. Parla formule de transfert, on remarque que quandg X (s) est fini, on a X g X (s) =E(s).

9.2 Calculs LoideBernoullideparam`etrep 1 0 g X (s) =ps+ (1−p)s= (1−p) +ps. Le rayon de convergence est +∞.

Loibinomialedeparame`tresn, p n   n   X X n n k n−k kk n−k n g X (s) =p(1−p)s= (ps) (1−p(1) =−p+ps). k k k=0k=0 Le rayon de convergence est +∞.

Loi uniforme sur{0,1, . . . , n} n X n+1 1 11−s k g X (s) =s=. n+ 1n1+ 1−s k=0 Attention, cette formule n’est valable que pours6mais=1,tualnoepnoegrploarrpntcouiinept´e1ra.1n Le rayon de convergence est +∞.

Loig´eom´etriquedeparame`trep +∞+∞ X X k k−1k−1 g X (s) =s p(1−p) =ps((1−p)s). k=1k=1 Onreconnaitlase´riege´om´etriquederaison(1−p)s: elleconverge si et seulement si 1 |(1−p)s|<1⇔ |s|< . 1−p 1 1 Le rayon de convergenc est donc>1 et pour tout|s|< , 1−p1−p ps g X (s) =. 1−(1−p)s

LoidePoissondeparame`treλ +∞+∞ k k X X λ(λs) k g X (s) =sexp(−λexp() =−λ). k!k! k=0k=0 Onreconnaitlas´erieexponentielle,donclerayondeconvergenceest+∞et

g X (s) = exp(−λ+λs) = exp(−λ(1−s)).

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9.3Loietfonctiong´ene´ratrice

The´ore`me9.2SoitXsnadsruelaave`irtoeal´eablunevariaNofaS.cieratren´eong´nctig X mineninfietsebl´etdvari sur]−R X , R X [daltire´v´eee,n´neeaprmeestdon`e +∞ X (n) k−n X−n g(s) =k(k−1). . .(k−n+ 1)P(X=k)s=E(X(X−1). . .(X−n+ 1)s). X k=n En particulier, (n) g(0) X ∀n∈N,P(X=n) =. n! Cecisignifiequelafonctionge´n´eratricecaract´eriselaloi. De´monstration:trdeme`etpersfanruounesond’eent´eri(ete`iree´roelhtesC’ettleoh´me`rdedeire´itav ladeuxie`meformule) ♦En pratique:esnisevccsesues´eiverd´eseldragerno,ecirtarong´en´elafoncticnnoantialolsioiroeteruvPrrou 0: (n) g(0) X ∀n∈N,P(X=n) =. n! 9.4Fonctionge´n´eratriceetind´ependance

Proposition 9.3SoitXetYadsntes`ndaneursavaleriotae´epe´dnisarxveudalesbliaN. Alors

g X+Y (s) =g X (s)g Y (s).

D´emonstration:CommeXetYpe´dnitnos,esntdaen X+YY XY X g X+Y (s) =E(s) =E(s s) =E(s)E(s) =g X (s)g Y (s).  ♣Exercice:SoitXetYectifsdevauxlesariabtoirl´ea´dpesenitnseneaddeislodendsoisPoe`marapepsersertλ >0 etµ >0.De´etmrniree,cnlalacusantncfoontine´gare´cirtal,eediolX+Y. ♣Exercice:SoitX 1 , X 2 , ..., X n e`maerteparllidrnoudeBeleioiiddseavdpeiderinlolae´D.mretX 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n .

9.5Fonctiong´ene´ratriceetmoments

Proposition 9.4SoitXvenulaue`evasnsradbleaariatoirl´eaNde rayon de convergenceR X >1. AlorsXadmet des moments de tout ordre et +∞ X (n) k−n ∀n≥0, g(1) =k(k−1). . .(k−n+ 1)P(X=k)1 =E(X(X−1). . .(X−n+ 1)). X k=n En particulier, 0 00 g(1) =E(X)etg(1) =E(X(X−1)). X X De´monstration:unst’eCeev´ledae´irofmrludetiondelaeapplicane.emi` Remarque:tiafano,nEaudnroqtlusftatpesulunr´R X = 1:Xseistnemeluesetsileabgr´enttiG X rtes´edbaviel 1.Onn’utiliserapascere´sultatcetteann´ee.

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