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cours sur les fonctions génératrices des variables aléatoires

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Chapter 9Fonctions g´en´eratrices des variablesal´eatoires `a valeurs dans NSommaire9.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.3 Loi et fonction g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.4 Fonction g´en´eratrice et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709.5 Fonction g´en´eratrice et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Objectifs:• Introduire un objet qui caract´erise la loi d’une variable al´eatoire a` valeurs dansN: la fonction g´en´eratrice.Mots-cl´es:• fonction g´en´eratrice, rayon de convergence.Outils:• liens entre la loi et la fonction g´en´eratrice,• calcul de l’esp´erance et de la variance `a partir de la fonction g´en´eratrice.Techniques de d´emonstration: R´esultats sur les s´eries enti`eres.9.1 D´efinitionD´efinition 9.1 Soit X une variable al´eatoire a` valeurs dans N. On d´efinit sa fonction g´en´eratrice g parX+∞Xkg (s) = s P(X =k).Xk=0Remarque: 1. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, g est un polynˆome en s, elle est donc d´efinie sur RXtout entier.2. Si X prend un nombre d´enombrable de valeurs,g est une s´erie enti`ere en s: on doit donc se demander pourXquelles valeurs de s cette s´erie est bien ...
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Chapter 9
Fonctionsg´ene´ratricesdesvariables al´eatoires`avaleursdansN
Sommaire 9.1D´enition.................................................68 9.2 Calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 9.3Loietfonctiong´ene´ratrice........................................70 9.4Fonctiong´en´eratriceetinde´pendance..................................70 9.5Fonctiong´en´eratriceetmoments....................................70
Objectifs: reunobjeIntroduiabrivaneuidlolaesire´tcaraciuqtssdanleura`avioere´taellaNanfg´oenct:iloatrin´erec. Motscle´s: ngioctonatern´´eyar,ecirvnocednoergence.f Outils: aftlctonngion´´etareecir,ilneestneralolei noitcnofaledritre.ictrra´eeng´ecterenase´pedl`apaancevaridelaaclucl Techniquesded´emonstration:e´ssseirsstaelrus.tienre`eR´esult
9.1D´enition D´enition9.1SoitXrudsavelnasal´eablere`aatoiiravenuNO.dnne´gare´cirten´esaitncfoontigXpar +X k gX(s) =sP(X=k). k=0
Remarque:1. SiXne prend qu’un nombre fini de valeurs,gXlonyutpnenseˆomesestdelle,useirdcnone´R tout entier. 2. SiXevaleurs,mbrabledrbdee´onneudnnmoprgXes´erieeestunntn`ireees: ondoit donc se demander pour quelles valeurs desrieees´ecett.eaLeinne´dtsibri´essdeieor´ethrussasere`itneseqeulixesietRXtel que
si|s|< RX, alorsgX(sulembaostn))vnocegretm(emeˆenvcogeer
si|s|> RX, alorsgX(s) diverge,
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si|s|=RX, on ne sait pas. Cette grandeurRXeel´peapsterayon de convergencedegX. Remarquonsici que ++X X k gX1(1) =P(X=k) =P(X=k) = 1, k=0k=0 et doncRX>1. lafonctionge´n´eratricedunevariableale´atoirea`valeursdansNru[seuaomniss´esdienoutturjo1,1].
3. Parla formule de transfert, on remarque que quandgX(s) est fini, on a X gX(s) =E(s).
9.2 Calculs LoideBernoullideparam`etrep 1 0 gX(s) =ps+ (1p)s= (1p) +ps. Le rayon de convergence est +.
Loibinomialedeparame`tresn, p n n  X X n n k nk kk nk n gX(s) =p(1p)s= (ps) (1p(1) =p+ps). k k k=0k=0 Le rayon de convergence est +.
Loi uniforme sur{0,1, . . . , n} n X n+1 1 11s k gX(s) =s=. n+ 1n1+ 1s k=0 Attention, cette formule n’est valable que pours6mais=1,tualnoepnoegrploarrpntcouiinept´e1ra.1n Le rayon de convergence est +.
Loig´eom´etriquedeparame`trep ++X X k k1k1 gX(s) =s p(1p) =ps((1p)s). k=1k=1 Onreconnaitlase´riege´om´etriquederaison(1p)s: elleconverge si et seulement si 1 |(1p)s|<1⇔ |s|< . 1p 1 1 Le rayon de convergenc est donc>1 et pour tout|s|< , 1p1p ps gX(s) =. 1(1p)s
LoidePoissondeparame`treλ ++k k X X λ(λs) k gX(s) =sexp(λexp() =λ). k!k! k=0k=0 Onreconnaitlas´erieexponentielle,donclerayondeconvergenceest+et
gX(s) = exp(λ+λs) = exp(λ(1s)).
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9.3Loietfonctiong´ene´ratrice
The´ore`me9.2SoitXsnadsruelaave`irtoeal´eablunevariaNofaS.cieratren´eong´nctigXmineninetsebl´etdvari sur]RX, RX[daltire´v´eee,n´neeaprmeestdon`e +X (n) kn Xn g(s) =k(k1). . .(kn+ 1)P(X=k)s=E(X(X1). . .(Xn+ 1)s). X k=n En particulier, (n) g(0) X nN,P(X=n) =. n! Cecisigniequelafonctionge´n´eratricecaract´eriselaloi. De´monstration:trdeme`etpersfanruounesondeent´eri(ete`iree´roelhtesCettleoh´me`rdedeire´itav ladeuxie`meformule)En pratique:esnisevccsesues´eiverd´eseldragerno,ecirtarong´en´elafoncticnnoantialolsioiroeteruvPrrou 0: (n) g(0) X nN,P(X=n) =. n! 9.4Fonctionge´n´eratriceetind´ependance
Proposition 9.3SoitXetYadsntes`ndaneursavaleriotae´epe´dnisarxveudalesbliaN. Alors
gX+Y(s) =gX(s)gY(s).
D´emonstration:CommeXetYpe´dnitnos,esntdaen X+YY XY X gX+Y(s) =E(s) =E(s s) =E(s)E(s) =gX(s)gY(s). Exercice:SoitXetYectifsdevauxlesariabtoirl´ea´dpesenitnseneaddeislodendsoisPoe`marapepsersertλ >0 etµ >0.De´etmrniree,cnlalacusantncfoontine´gare´cirtal,eediolX+Y. Exercice:SoitX1, X2, ..., Xne`maerteparllidrnoudeBeleioiiddseavdpeiderinlolae´D.mretX1+X2+∙ ∙ ∙+Xn.
9.5Fonctiong´ene´ratriceetmoments
Proposition 9.4SoitXvenulaue`evasnsradbleaariatoirl´eaNde rayon de convergenceRX>1. AlorsXadmet des moments de tout ordre et +X (n) kn n0, g(1) =k(k1). . .(kn+ 1)P(X=k)1 =E(X(X1). . .(Xn+ 1)). X k=n En particulier, 0 00 g(1) =E(X)etg(1) =E(X(X1)). X X De´monstration:unsteCeev´ledae´irofmrludetiondelaeapplicane.emi`Remarque:tiafano,nEaudnroqtlusftatpesulunr´RX= 1:Xseistnemeluesetsileabgr´enttiGXrtes´edbaviel 1.Onnutiliserapascere´sultatcetteann´ee.
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