Cours sur les polynomes et extensions séparables
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Chapitre 7S´eparabilit´e7.1 Polynˆomes et extensions s´eparablesD´efinition7.1.1. a) SoitK un corps commutatif. Un polynˆome irr´eductibleP 2K[X] est s´eparable sur K si et seulement s’il n’a pas de racine multipledans son corps de d´ecomposition.b) Un polynˆome P 2 K[X] est s´eparable sur K si et seulement si ses fac-teurs irr´eductibles sont s´eparables. Dans le cas contraire, on dit que P estins´eparable.Proposition 7.1.2. a) Si K est de caract´eristique nulle, un polynˆ omeirr´eductible de K[X] est toujours s´eparable.b) Si K est de caract´eristique p > 0, un polynˆ ome irr´eductible de K[X] estpins´eparable si et seulement s’il appartient `a K[X ].D´efinition 7.1.3. Soit f : K ! L une extension alg´ebrique (tout ´el´ementde L est alg´ebrique sur K).a) Un ´el´ement 2L est s´eparable si et seulement si son polynˆome minimalest s´eparable.b) L’extension est s´eparable si et seulement si tous les ´el´ements de L sonts´eparables.Proposition 7.1.4. Soit k ! K ! L une tour d’extension. Si k ! L ests´eparable, alors k!K et K!L sont s´eparables.D´efinition 7.1.5. Un corps K est parfait si et seulement si toute extensionalg´ebrique est s´eparable.Remarque 7.1.6. Tout corps de caract´eristique z´ero est parfait.467.2 Corps parfaits de caract´eristique nonnulleOn rappelle que sur un corps K de caract´eristique p> 0, l’application :K ! Kpx 7! xest un homomorphisme, appel´e homomorphisme de Frobenius. Comme ho-momorphisme de corps, il est toujours ...

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Langue Français

Exrait

Chapitre 7
S´eparabilite´
7.1Polynˆomesetextensionsse´parables De´nition7.1.1.a) SoitKcnroummtuspocnp.Uifatmeˆoynolcude´rrielbit PK[Xperabaele]ts´ssurKsi et seulement s’il n’a pas de racine multiple danssoncorpsdede´composition. b)UnpolynoˆmePK[X´stse]rsuleabarepKsi et seulement si ses fac teursirre´ductiblessonts´eparables.Danslecascontraire,onditquePest ins´eparable. Proposition 7.1.2.a) SiKomnˆeune,lypoeuqillune´tctsireacartsed irre´ductibledeK[X]urss´epaesttoujo.elbar b) SiKueiqstri´ectracaedtsep >0deibleductrr´emoieylˆnnuop,K[X]est p ins´eparablesietseulementsilappartient`aK[X]. De´nition7.1.3.Soitf:KLueiqou(telt´me´etnunexeetsnoiangle´rb deLruuqsetse´glairbeK). a)Un´el´ementαLmeluesteiselbaraomnˆlypoonistsenmenimilas´epest estse´parable. b)Lextensionestse´parablesietseulementsitousles´ele´mentsdeLsont se´parables. Proposition 7.1.4.SoitkKLune tour d’extension. SikLest se´parable,alorskKetKLostn´sperabael.s De´nition7.1.5.Un corpsKest parfait si et seulement si toute extension alge´briqueestse´parable. Remarque7.1.6.teprairsftaiiqtueezc´aerraocets´tuocprds.oT
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7.2Corpsparfaitsdecaracte´ristiquenon nulle On rappelle que sur un corpsKecdeuqitsire´tcarap >0, l’application : KK p x7→x estunhomomorphisme,appele´homomorphismedeFrobenius.Commehomomorphisme de corps, il est toujours injectif. Pour un corps fini, cet homo morphisme est surjectif. The´or`eme7.2.1.ttUsnierrfpacioaptseellunnoneuqtiisert´acarecsd seulement si son homomorphisme de Frobenius est surjectif. Exercice7.2.2.SoitKacartce´cnrospedeuqitsiruellunnonp. p 1. Montrer que sibn’a pas de racinepmedai`ensK, alorsXbest irr´eductiblesurK. 2. Montrerque sibn’a pas de racinepnsi`emedaK, alors pour toutk >0 k p Xbetsri´rucedbltiuresK.
7.3Se´parabilite´etmorphismes Etantdonne´deuxextensionskKetkLere´tniracuaessindsa,nodle l’ensembleHomkalg(K, L) deskmorphismes (morphismes dekg`ald)ebeer KdansL. Proposition 7.3.1.SoientKetLdeux extensions dek. SiKest une ex tension simple :K=k(α), alors l’ensembleHomkalg(K, L)est en bijection aveclesracinesdupolynoˆmeminimalPαdansL. En particulier :♯Homkalg(K, L)[K:k]. Th´eore`me7.3.2.SoitkKnueetxnegr´eni.siondede a) Pour tout extensionkL,♯Homkalg(K, L)[K:k]. b) Si l’extensionkKpareasts´etsibleeLest une extension dek alge´briquementclose,alors♯Homk(K, L) = [K:k]. c) S’il existe une extensionLdektelle que :♯Homkalg(K, L) = [K:k], alorskK.eableeparsts´ Lemme 7.3.3itisnarT(e)t´vi.Si les extensionskKetKLsont s´eparables,alorskLe´starape.blse Th´eor`eme7.3.4.eeUnonsienxte´rgededinkKparats´eietblesse seulementsielleestengendr´eepardese´le´mentsse´parables.
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7.4Ele´mentprimitif The´ore`me7.4.1.Toute extensionkKniegr´ededeablerape´stseiuqts simple(i.e.admetun´ele´mentprimitif). Exercice7.4.2.Montrer que si le corps de basekest infini, unkespace vectorielE´rueptsaneiinnousedesoesprspacerpo.sesn
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Chapitre 8
Th´eoriedeGalois
Notation : On note (F:K) l’extensionKF.
8.1 Extensionsnormales D´enition8.1.1.Une extensionf:KLest normale si et seulement si toutpolynˆomeirr´eductibledeK[X] qui admet une racine dansLe´dnicstse dansL. The´ore`me8.1.2.Soitf:KLivalenceentre:etsnoi.nlIaye´uquexne a)lextensionestnormaleetdedegre´ni; b)Lompod´econdsitisespedctroderieeuomtanipounnˆlyK[X]. D´enition8.1.3.ameldnutoruneroUneclˆ:ine´grdedeonsienxtee f:KLest une extensiong:LLtelle que a) l’extensiongf:KLest normale, et b) l’extensiong:LLpoire´´tae.)tselemanimiprlaurpo Proposition 8.1.4.e`aniqule,uTouxeetsnetanoitemdecunotlˆenurmaor isomorphismepr`es.
8.2 Automorphismesde corps De´nition8.2.1.a) Un automorphisme du corpsKest un homomorphisme bijectif deKedmeˆlmsniau. b) Un automorphisme d’une extension (F:K) est un automorphisme deF quixeles´ele´mentsdeKon(dartlsertciitnoa`Klidentit´e).ets
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