Cours sur les surfaces de riemann

Description

M1 Mathematiques approfondies, second semestre 2010-2011Surfaces de RiemannJean-Claude SikoravVersion nale (modulo des erreurs)Table des matieres1 Surfaces de Riemann et objets associes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11.1 De nitions1.2 Exemples de surfaces de Riemann1.3 Applications holomorphes, degre en un point:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 31.4 Fonctions holomorphes et meromorphes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 41.5 Diviseurs, diviseurs principaux, groupe de Picard:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 51.6 Degre d’une application holomorphe propre, cas d’une fonction meromorphe1.7 Fibre tangent, structure presque complexe::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 61.8 Formes di erentielles :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 71.9 Formule de Stokes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 91.10 Di erentielles holomorphes et meromorphes), residus1.11 Etoile de Hodge et produit scalaire sur les un-formes reelles::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 112 Fonctions et formes harmoniques::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 132.1 Laplacien et fonctions2.2 Fonctions harmoniques et di erentielles holomorphes2.3 Integrale et principe de Dirichlet::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 142 ...

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Extrait

M1Math´ematiquesapprofondies,secondsemestre2010-2011 Surfaces de Riemann Jean-Claude Sikorav Version finale (modulo des erreurs)

Tabledesmatie`res 1SurfacesdeRiemannetobjetsassocie´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1De´finitions 1.2 Exemples de surfaces de Riemann 1.3Applicationsholomorphes,degre´enunpoint. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1.4Fonctionsholomorphesetme´romorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.5 Diviseurs, diviseurs principaux, groupe de Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.6Degr´ed’uneapplicationholomorphepropre,casd’unefonctionme´romorphe 1.7Fibre´tangent,structurepresquecomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8Formesdiffe´rentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.9 Formule de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1.10Diff´erentiellesholomorphesetm´eromorphes),re´sidus ´ 1.11EtoiledeHodgeetproduitscalairesurlesun-formesre´elles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2 Fonctions et formes harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.1 Laplacien et fonctions harmoniques 2.2Fonctionsharmoniquesetdiffe´rentiellesholomorphes 2.3Inte´graleetprincipedeDirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.4 Formule de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.5 Extension harmonique 2.6 Principe de DirichletC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7Contrˆoledesfonctionsharmoniquesparl’inte´graledeDirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 18 3 Construction d’un potentiel dipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ´ 3.1Enonce´duth´` eoreme 3.2Inte´graledeDirichletrenormali´ee s 3.3 Existence d’un minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4Existencedediffe´rentiellesetdefonctionsme´romorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5Se´parabilit´edessurfacesdeRiemann 3.6G´ene´ralisationdelaconstruction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 4Th´eore`med’uniformisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 4.1 Surfaces de Riemann simplement connexes 4.2Propri´ete´sdessurfacesdeRiemannsimplementconnexes 4.3Preuveduth´eor`emed’uniformisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 4.4Reveˆtementuniverseld’unesurfacedeRiemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.5 Les surfaces de Riemann simplement connexes et leurs groupes d’automorphismes. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32 5Alg´ebricit´edessurfacesdeRiemanncompactes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1Fonctionsme´romorphessurlasphe`redeRiemann 5.2Fonctionsme´romorphessurunesurfacedeRiemanncompactequelconque 5.3 Fonctions holomorphes de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 i

5.4Varie´te´setsous-vari´et´escomplexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 5.5Connexite´d’unecourbeaffineplane(irre´ductible) 5.6 Espaces projectifs complexes, cas du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.7Courbesalg´ebriquesplanesprojectives:partiere´guli`ere,singularite´s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 ´ 5.8Etuded’unecourbealg´ebriqueplanepre`sd’unpointsingulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 40 5.9SurfacedeRiemanncompacteassocie´e`aunecourbealg´ebriqueprojective. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 41 5.10Morphismesrationnelsetisomorphismesbirationnelsentrecourbesalge´briquesprojectives. . . . . . . . .42 ´ 5.11EquivalenceentresurfacesdeRiemanncompactesetcourbesalg´ebriquesprojectives. . . . . . . . . . . . . . .43 6Genred’unesurfacedeRiemanncompacte,th´eor`emedeRiemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 6.1The´or`emedefinitude,definitiondugenre ´ 6.2 Autre preuve de la finitude de`(Dontisesesmatirpme`ire))te. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 6.3The´oriedeHodgepourlessurfacesdeRiemanncompactes 6.4De´compositiondeHodge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.5CohomologiedeDeRhamalge´brique 6.6 Minoration de`(D) 6.7 Surfaces de genre zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 ´ 6.8Th´eor`emedeRiemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 6.9 Premiers corollaires de Riemann-Roch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 6.10 Formule du genre d’une courbe plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7 Courbes elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 7.1Re´alisationd’unesurfacedegenreuncommecubiqueoucommequartiqueplane 7.2 Surfaces de genre un et cubiques lisses, forme de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 7.3 Isomorphisme sur un tore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7.4 Courbes elliptiques, loi de groupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 7.5Degre´locald’intersection,diviseurhyperplan 7.6 Loi de groupe sur une cubique lisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.7Re´alisationd’untorecomplexededimensionuncommecubiquelisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 58 7.8 Classification des surfaces de genre un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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iii

1SurfacesdeRiemannetobjetsassocie´s

1.1D´efinitions Unesurface de Riemannraseposteevuni´ar´eetpmocexelidedsnemionun(courbecompelex,)uqleo’snpu toujoursconnexe.Autrementditc’estunespacetopologiquese´pare´connexeX, muni d’unatlas holomorphe (U i , ϕ i ) i∈I `ou •(u i ) i∈I est un recouvrement ouvert deX •lacarteϕ i :U i →Crohpe´mohnmoseutdeismeU i sur un ouvert deC •toutchangement de cartesψ i,j =ϕ i ◦ϕ j −1 :ϕ j (U i ∩U j )→ϕ i (U i ∩U j ) est holomorphe. Pluspr´ecise´ment,lastructuredesurfacedeRiemannestde´finieparuneclassed’´equivalenced’atlasholo- morphes,deuxtelsatlase´tantdits´equivalentssileurreunionestencoreunatlasholomorphe.Ouencore ´ onpeutconside´rerl’atlasmaximalassocie´,forme´detouteslescartes(U, ϕ:U→C) telles queϕ◦ϕ i −1 est holomorphe pour touti∈I:ecatltsaocnodsalta’ltneitne(n´U i , ϕ i ), et est clairement le plus grand atlas holomorphe contenant (U i , ϕ i olompreha’ltsaohl´eeseraappertcaeled)ne.Ucarte holomorphe. Uniformisante.SiXest une surface de Riemann etpun point deX, une carte holomorpheϕ´dfieinseru un voisinageUdepet envoyantpsur 0 s’appelle uneuniformisanteenp. Il en existe toujours, puisque si ϕest une carte holomorphe,ϕ−ϕ(pnteoruutouujter,trisvpeeoounomohe´htitcitenoParrestr)aussi. uniformisanteayantpourimageledisqueunit´eΔ. Notation.Il sera commode de noter une uniformisantez(ouw,ζsiofofalitcnteno...),a`alniisnaatn,to sa valeur. On notera aussiz=x+iyu(,)`ox, y)estalorsun´retraceuo,elleeme`estsydoorcodese´rnne´se.eell Soient (X,(U i , ϕ i ) i∈I ) et (Y,(V j , ψ j ) j∈J ) deux surfaces de Riemann. Un isomorphisme (oubiholomor- phisme) entreXetYest une bijection qui envoie l’atlas maximal deXsur celui deY(c’est en particulier unhome´omorphisme.Autrementdit,lesapplicationsψ◦f◦ϕ −1 sont holomorphes pour toutes les cartesϕ etψdans les atlas holomorphes maximaux deXet deYsuffit que ce soit vrai dans des atlas holomorphes(il deXet deY). On noteraX≈Y’´equivaelationdis´dfieinelcnaeni.eral Une surface de Riemann non compacte est diteouverte. Remarques.1) Si la topologie surXtionefiniirl,a’ltsaalofrunit:onmodifielad´se’nastpnndoea´eiopr d’une carte en demandant seulement que ce soit une bijection sur un ouvert deC. Une partieA⊂Xsera alors ouverte si et seulement siϕ i (A∩U i ) est un ouvert deCpour toutillteieogesruojuotlopotenu.Cecfinitid´e quelescartessontdeshome´omorphismes,maislase´paration(ainsiquelaconnexite´)n’estpasautomatique etdoiteˆtred´emontr´ee. 2) Le jacobien du changement de cartesψ i,j , vu comme une application entre ouverts deR 2 est|ψ 0 i,j | 2 qui est positif, donc de Riemann est canoniquement orient´toute rface su ee. 3)Enge´ome´triediff´erentielle,onimposeenoutre`atoutevari´et´ediff´erentiableconnexed’eˆtrembnoblraede´ a`l’infinirer´’ˆetond´eunirbbanemoocpmeledet.Ctsacriopprteqe´e´te´a`tuaviuasibil´tal´mteire,’c-tsed-a`deri las´eparabilite´,oulacaraapmopt´cie(tout recouvrement ouvert admet un recouvrement plus fin localement fini).OnverraquedanslecasdessurfacesdeRiemann,cettepropri´et´eestautomatique(th´eo`edRado). rem e *En particulier, soitL + lademi-droite longueL + =ℵ 1 ×[0,u`[o1ℵ 1 est l’ensemble des ordinaux d´enombrables,muniedelatopologieassoci´eeassocie´ea`l’ordrelexicographique.OnaL + =q α∈ℵ 1 [α, α+ 1[, etlatopologiedel’ordreenfaitunevarie´te´topologiquededimensionunconnexe.OnpeutmunirL + d’une structuredevari´et´edeclasseC ∞ oeˆmuemC ω ed-ri-ta`se’cR-analytique (cf [Sp], Appendix A, p.465-472). En fait il existe 2 ℵ 1 telles structures non isomorphes ([Spivak] pour le casC ω , P.J. Nyikos, Adv. in Math. 93 (2004), 129-213 pour le casC ∞ ). DoncL + ×RetL + ×L + sont des surfaces connexesC ω , mais ne peuvent admettredestructuredesurfacedeRiemanncarellesnesontpasde´nombrables`al’infinipuisqueℵ 1 × {0} estunepartiediscre`tenond´enombrable. Unexemplediffe´rentestlasurfacedePr¨ufer([Sp],p.466,[Hu],p.6-7),obtenueenrecollantsurledemi- plansupe´rieurouvertHdes copiesH x uteredusfrcae-ilpdumedtleunp:o´ermfeancurtsenu’drinumaC ω , connexe et admettantRcemmosuossne-blemisedetcron,d´dnencnobaelmorbinfin`al’len’i.Elsapcnoda nonplusdestructuredesurfacedeRiemann.Onpourratrouvercesexemples,´etudi´esd’unpointdevue hh dynamique ii niraMsix*.)eeapArelsegian´lef´erenc-Gau](r´tnirlaG[pelspe´ran,d 1.2 Exemples de surfaces de Riemann Les exemples 1), 2) et 4) sont des surfaces ouvertes, 3) et 5) des surfaces compactes. 1