Cours transformation de fourier

Description

Transformation de FourierMise en oeuvre sous OctaveB. Torr¶esani28 janvier 20051 S¶eries de FourierAu d¶ebut du 19iµeme siµecle, Joseph Fourier, alors pr¶efet de l’Isµere, proposed’utiliser des d¶ecompositions de fonctions comme somme de sinuso˜‡des pourr¶esoudre l’¶equation de la chaleur, et des ¶equations aux d¶eriv¶ees partielles dela m^eme famille. Ce programme marque le d¶ebut d’une nouvelle µere de l’ana-lyse math¶ematique, car, comme l’¶ecrit B. Hubbard, Fourier a non seulementd¶ecouvert un ¶enonc¶e math¶ematique, mais a aussi montr¶e en quoi il ¶etait utile.L’analysedeFourieraainsitrµeslargementd¶epass¶eledomainedesmath¶ematiquespures,pourdevenirunoutildebaseduscientiflqueetdel’ing¶enieur.Ellesepr^eteadmirablement au calcul num¶erique et scientiflque, et l’objectif de ce cours estde donner une introduction µa l’analyse de Fourier dans sa version num¶erique,en se basant sur l’environnement Octave.1.1 Rappels sur les s¶eries de FourierOn sait que toute fonction d¶eflnie sur un intervalle [a;b] ‰ R peut ^etred¶ecompos¶ee en s¶erie de Fourier, c’est µa dire sous forme de s¶erie de sinus etcosinus : on ¶ecrit alors, pour toute fonction fµ ¶ µ ¶1 1X Xt tf(t) =a + a cos 2…k + b sin 2…k :0 k kb¡a b¡ak=1 k=1Les coe–cients a et b sont alors obtenus en calculantk k Z b1a = f(t)dt ;0b¡a a µ ¶Z b2 ta = f(t) cos 2…k dt ;kb¡a b¡aaet Z µ ¶b2 tb = f(t) sin 2…k dt ;kb¡a b¡aa12 Universit¶e de Provence, CTES, S41M2, ann¶ee 2004-05On peut ¶egalement ...

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Transformation de Fourier Mise en oeuvre sous Octave B.Torre´sani 28 janvier 2005

1S´eriesdeFourier Aude´butdu19ie`mesie`cle,JosephFourier,alorspre´fetdel’Is`ere,propose d’utiliserdesd´ecompositionsdefonctionscommesommedesinuso¨ıdespour re´soudrel’e´quationdelachaleur,etdes´equationsauxde´riv´eespartiellesde lamˆemefamille.Ceprogrammemarqueled´ebutd’unenouvellee`redel’ana- lysemathe´matique,car,commel’e´critB.Hubbard,Fourieranonseulement de´couvertun´en´the´matique,maisaaussimontr´eenquoiile´taitutile. once ma L’analysedeFourieraainsitr`eslargementd´epass´eledomainedesmath´ematiques pures,pourdevenirunoutildebaseduscientifiqueetdel’inge´nieur.Ellesepreˆte admirablementaucalculnum´eriqueetscientifique,etl’objectifdececoursest dedonneruneintroduction`al’analysedeFourierdanssaversionnume´rique, en se basant sur l’environnement Octave . 1.1Rappelssurless´eriesdeFourier Onsaitquetoutefonctiond´efiniesurunintervalle[ a, b ] ⊂ R peuteˆtre de´compose´eense´riedeFourier,c’esta`diresousformedeseriedesinuset ´ cosinus:one´critalors,pourtoutefonction f ∞ a k cos µ 2 π t ¶ + k ∞ X =1 b k sin µ 2 πk b  t − a ¶ . f ( t ) = a 0 + X k b − a k =1 Les coefficients a k et b k sont alors obtenus en calculant b a 0 = b 1 − a Z a f ( t ) dt , a k = b − 2 Z b cos µ 2 πk b − t a ¶ dt , a f ( t ) a b k = b 2 − a Z a b f ( t ) sin µ 2 πk b  t − a ¶ dt , 1

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Universite´deProvence,CTES,S41M2,anne´e2004-05

Onpeut´egalementutiliser,aulieudesinusetcosinus,desfonctionsexponen- tiellescomplexes,et´ecrirelase´riedeFourierd’unefonction f quelconque sous la forme f ( t ) = k = X ∞ −∞ c n ( f ) exp µ 2 iπk b − t a ¶ , (1.1) lesnombres(complexesenge´n´eral) c k ( f )´etantcettefoisobtenuspar c k ( f ) = b − 1 a Z a b f ( t ) exp µ − 2 iπk b − t a ¶ dt . (1.2) C’estaveccetteversiondesse´riesdeFourierquenoustravailleronsdansce cours.Elleexprimedoncunefonctionarbitrairecommecombinaisonline´airede sinusoıdes,defre´quencesmultiplesd’unefre´quencefondamentale1 / ( b − a ). Le ¨ coefficient c k ( f )donneenquelquesortele“poids”delasinusoı¨dedefr´equence k/ ( b − a ) dans f .Onmontredeplusunerelationappele´e“formuledeParseval”, quiexprimela“conservationdel’´energie”: ∞ 1 Z a b | f ( t ) | 2 dt . (1.3) X | c k ( f ) | 2 = b − a k = −∞ Remarque 1 Lesse´riesdeFouriervuessousl’angledebasesorthonor- me´esdel’espace L 2 ([ a, b ]):ilestpossibledecomprendrelecalculdud´evelop- pement´eriedeFourierd’unefonctioncommeund´eveloppementsurunebase en s orthonorme´eparticulie`red’unespacedefonctionsbienchoisi.Onconsid`erel’es- pace L 2 ([ a, b ])desfonctionsdemodulecarre´inte´grable,c’esta`diredesfonctions f telles que b Z a | f ( t ) | 2 dt < ∞ . Cet espace est muni d’un produit scalaire Z b h f, g i = f ( t ) g ( t ) dt . (1.4) a Onconsid`relesfonctionstrigonome´triques e e n : t → e n ( t ) = √ b 1 − a exp µ 2 iπ b n − t a ¶ . (1.5) Onve´rifiefacilementquelafamilledefonctions { e n , n ∈ Z } estunsyst`eme orthonormal dans L p 2 ([ a, b ]) : en effet, il suffit de calculer k , e ` i = b 1 a Z a b iπ ( k − ` ) t/ ( b − a ) dt = δ k` . h e e − 2 − Pour montrer qu’il s’agit d’une base orthonormale, on doit ensuite montrer que lesyste`meestcomplet,c’esta`diretelquelaseulefonction f ∈ L 2 ([ a, b ]) telle que h e k , f i = 0 pour tout k est la fonction identiquement nulle. Cette preuve est omise ici. Dans ce contexte, la formule de Parseval (1.3) n’est autre qu’une version un peupluscompliq´ee(carendimensioninfinie)duthe´ore`medePythagore. u

Calculformeletnum´erique2:TransformationdeFourier

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1.2Quelquespropri´et´esimportantes 1.2.1Propri´ete´sdesyme´tries LescoefficientsdeFourierposse`dentungrandnombredepropri´t´sde e e sym´etrie,parexemple: 1. On note f lafonctioncomplexeconjugue´ede f ,qui`a t associe f ( t ). Alors, onalapropri´ete´suivante:pourtout k , c − k ( f ) = c k ( f ) . rs ree En particulier, si f est`avaleu´lles,onaura c − k ( f ) = c k ( f ), alors que si f est imaginaire pure, on aura c − k ( f ) = − c k ( f ). ¸ , t donnee une fonction f de´finiesur[0 , 1], si g est 2.Defaconsimilairee´tan´ son“imagemiroir”parlasyme´triedecentre t = 1 / 2,c’est`adired´efinie par g ( t ) = f (1 − t ), alors on a c k ( g ) = c − k ( f ) . 1.2.2 Convolution-produit Etantdonn´eesdeuxfonctions f, g ,ons’inte´ressea`lafonctionproduit f g : t → f ( t ) g ( t ). Alors on a ∞ ∞ c k ( f g ) = X c ` ( f ) c k − ` ( g ) = X c ` ( g ) c k − ` ( f ) . (1.6) ` = −∞ ` = −∞ On dit que la suite c ( f g ) = { c k ( f g ) , k ∈ Z } est le produit de convolution des suites c ( f ) = { c k ( f ) , k ∈ Z } et c ( g ) = { c k ( g ) , k ∈ Z } , ce que l’on note c ( f g ) = c ( f ) ∗ c ( g ) . 1.3Se´riesdeFourierpourlesfonctions`abandelimit´ee Une fonction arbitraire de L 2 ([ a, b ]) ou de C ([ a, b ])estcaracte´ris´eparunein- finit´edecoefficientsdeFourier.Enge´ne´ral,iln’estpaspossibledelacaract´eriser par un nombre fini de valeurs ponctuelles f ( t k ),c’esta`diredelareconstruire parfaitementa`partirdesvaleurs f ( t k ) (on parle alors d’interpolation). Seules existentdesinterpolationsapproch´ees. Cependant,ilexisteunesituationparticulie`redanslaquellelad´ecomposition ense´riesdeFourierprenduneformesimple:ils’agitducasdesfonctionsqui n’ont qu’un nombre fini de coefficients de Fourier non nuls, que l’on appelle foti`abandelimite´e . Supposons par exemple que f , que l’on su nc ons ppose poursimplifierd´efiniesurl’intervalle[0 , T ], soit telle que c k ( f ) = 0 pour tout k tel que k > K , K ´etantunentierfixe´. f admet donc au plus 2 K + 1 coefficients