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Extrait

Application de la th´eorie des
∗
ondelettes
Val´erie Perrier
Laboratoire de Mod´elisation et Calcul de l’IMAG
Institut National Polytechnique de Grenoble
[e-mail]
∗
Enseignement UNESCO Traitement du signal et des images num´eriques, Tunis,
ENIT, 14-18 mars 2005
0-0Application des bases `a la compression d’image
5
50 50
10
100 100
15
150 150
20
25
200 200
30
250 250
50 100 150 200 250 5 10 15 20 25 30 50 100 150 200 250
Image filtree Image comprimée − 1024 coefficients
50 50
100 100
150 150
Image 256×256
200 200
comprim´ee sur
250 250
50 100 150 200 250 50 100 150 200 250
1024 coefficientsCompression d’image :
5
50 50
10
100 100
15
150 150
20
25
200 200
30
250 250
50 100 150 200 250 5 10 15 20 25 30 50 100 150 200 250
Figure de gauche : Image 256×256 = 65536 valeurs, 256 niveaux de gris
Figure du milieu : image ´echantillonn´ee un point sur 8 → 1024 valeurs.
Figure de droite : image moyenn´ee sur des blocs de taille 8×8 → 1024
moyennes. (compression JPEG sur 1024 valeurs)
Compression = (65536 -1024)*100/65536 = 98,44 %Principe du format de compression JPEG 2000 :
Image filtree Image comprimée − 1024 coefficients
50 50 50
100 100
100
150 150
150
200 200 200
250 250 250
50 100 150 200 250 50 100 150 200 250 50 100 150 200 250
Figure de gauche : Image 256×256 = 65536 valeurs, 256 niveaux de gris.
Figure du milieu : image recompos´ee `a partir de ses 1024 plus grands
coefficients sur la base de Haar.
Figure de droite : image recompos´ee `a partir de ses 1024 plus grands
coefficients sur une base d’ondelettes `a 4 moments nuls.
Compression = (65536 -1024)*100/65536 = 98,44 %Cours 4 : Compression des images num´eriques
Format JPEG et JPEG 2000
- I - Principe du format JPEG
1 - La base de Fourier discr`ete 1D, 2D - FFT
2 - La base de cosinus discrets 1D, 2D - DCT
3 - Principe de JPEG.
- II - Principe du format JPEG2000
1 - Base de Haar 1D, 2D. Algorithme de d´ecomposition.
2 - Bases orthogonales d’ondelettes 1D - FWT.
3 - Bases orthogonales d’ondelettes 2D - FWT.
4 - Propri´et´es d’approximation
5 - Principe du format JPEG 2000Codeur par transform´ee
N
Soit f =f[n] un signal num´erique de taille N : f est un vecteur deR
N
ouC .
Principe d’un codeur par transform´ee :
N
1. On se donne une base orthonorm´ee deC :
N
{g ∈R ; k = 0,N−1}
k
2. On d´ecompose f dans la base (g ) :
k
N−1
X
∀n∈{0,...,N−1}, f[n] = c g [n]
k k
k=0
avec
N−1
X
∀k∈{0,...,N−1}, c = f[n] g [n]
k k
n=0
3. La compression est effectu´ee sur les coefficients c : on remplace c
k k
par un vecteurc¯ dans lequel beaucoup de coefficients sont nuls.
kLe signal comprim´e est alors :
N−1
X
¯
f[n] = c¯ g [n]
k k
k=0
¯
4. On mesure l’erreurkf−fk ou` :
N−1
X X
2 2 2
¯ ¯
kf−fk = |f[n]−f[n]| = c
k
n=0
k/c¯ =0
kBases discr`etes bidimensionnelles
N N
Soit{g ∈R ; k = 0,N−1} une base orthonorm´ee deR . On
k
N N
construit une base orthonorm´ee deR ×R par produit tensoriel : la
famille{G ;p,q = 0,N−1}, avec
p,q
G [n,m] =g [n] g [m], ∀n,m = 0,N−1
p,q p q
N N
est une base orthonorm´ee deC ×C .
N N
Alors une image F =F[n,m]∈R ×R se d´ecompose dans cette base :
N−1N−1
X X
F[n,m] = C g [n]g [m]
p,q p q
p=0 q=0
avec
N−1N−1
X X
C = F[n,m] g [n]g [m]
p,q p q
n=0 m=0Partie 1
Principe du format JPEG1. Base de Fourier discr`ete
Cas 1D
Soit N ∈N. Pour k = 0,...,N−1 on pose :
kn
1
2iπ
N
√
e [n] = e
k
N
Th´eor`eme : La famille{e ; k = 0,N−1} est une base orthonorm´ee de
k
N
C .
Algorithme rapide de calcul des coefficients : FFT. Algorithme de
synth`ese IFFT.
Cas 2D
La base orthonorm´ee de Fourier Discr`ete 2D est donn´ee par :
pn+qm
1
2iπ
N
e [n]e [m] = e
p q
N