Cours VF Part 2

Aziz Moukrim

Description

¾¾¾¾¾¾¾CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUESMartingaleQuestion naïve• Plaçons-nous en date du jour. Quelle est la meilleure estimation du prix d’un actif financier demain ?• C’est le prix du jour !Martingale• Une martingale est telle que : X est intégrable ∀n ∈NnX est F mesurable ∀n ∈Nn nE (X /F ) = X ∀n ∈Nn +1 n nRetenez : En temps discret une martingale est telle que E(X / F ) = Xn+1 nnPage 1CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUESFiltrationVariables gaussiennes21 ()x −m22 N()m, σ ()x = exp −• Une variable X est gaussienne de loi N(m, σ ) si elle a pour densité 2σ 2 π 2 σFiltration• Les variables auxquelles nous allons nous intéresser sont dépendantes du temps. • Ce qui est connu à la date t est rassemblé dans une tribu• C ’est l’information connue à la date t.• Par définition, une filtration est une famille croissante de sous tribus de F c’est à dire telle que t F ⊂ F ∀t ≤ st sPage 2¾¾¾¾¾¾¾CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUES ProcessusProcessus• Un processus stochastique (fonction aléatoire) est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité.Processus gaussien• Un processus X est gaussien si toute combinaison linéaire finie de (X , t ≥0) est une variable taléatoire gaussienne.Page 3CHAPITRE 3 : UN PEU DE MATHEMATIQUES Martingale (cas continu)Martingale• Une famille de variables aléatoires (X , t ≥0) est une martingale par rapport à la filtration F si Xt t test F mesurable et ...

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Question naïve

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Martingale

Plaçons-nous en date du jour. Quelle est la meilleure estimation du prix dun actif financier demain ?

Cest le prix du jour !

Martingale

Une martingale est telle que :

X n est intégrable ∀n∈N

X n est F    n  mesurable ∀n∈N

E(X n+1 /F n )X n ∀n∈N

¾ Retenez : En temps discret une martingale est telle que E(X n+1 / F n ) = X n

Variables gaussiennes

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Filtration

Une variable X est gaussienne de loi N(m,σ2) si elle a pour densité N m,σ2(x) = σ

Filtration

Les variables auxquelles nous allons nous intéresser sont dépendantes du temps. Ce qui est connu à la date t est rassemblé dans une tribu

C est linformation connue à la date t.

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1 e − (x−m) 2 2π xp 2σ2

F Par définition, une filtra tion est une famille croissante de sous tribus de t cest à dire telle que F t ⊂F s ∀t≤s

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Processus

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Processus

Un processus stochastique (fonction aléatoire) est une suite de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité.

Processus gaussien

Un processus X est gaussien si tout e combinaison linéaire finie de (X t , t≥0) est une variable aléatoire gaussienne.

Martingale

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Martingale (cas continu)

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Une famille de variables aléatoires (X t , t≥0) est une martingale par rapport à la filtration F t si X t

est F t mesurable et intégrable t≥0 et si E ( X t /F s ) = X s ∀s≤t

Propriété

Si X est une martingale E(X t ) =E(X 0 )∀t

¾ Retenez : En temps continu une martingale est telle que E(S t / F s ) = S s

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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Mouvement Brownien

Définition Le processus (  B  t  ,  t  ≥  0  )  est un mouvement brownien si

P ( B 0 =0 ) = 1 ∀s≤t,B t −B s est une variable aléatoire de loi gaussienne centrée et de variance t  s. ∀n,∀t i , 0≤t 1 ≤K≤t n les variables B t n −B t n−1 ,K,B t 1 −B t 0 ,B t 0 sont indépendantes

La deuxième propriété est la stationnarité des accroissements du Mouvement Brownien. La troisième propriété traduit que le MB est à accroissements indépendants

Brownien généralisé

On dit que X est un MB généralisé ou de drift µ si X t =x+t+B t où ( B t ,t≥0 ) est un mouvement brownien

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Trajectoire de brownien

Les trajectoires dun mouvement brownien sont continues.

20 15 10

5 0 -5 -10 -15 -20

Traje ctoire s d'un brow nie n

Propriété de martingale appliquée au brownien

Temps

Le processus B est une martingale et le processus B  t  2  −  t  ,  t≥0 est une martingale. ¾Exercice 6

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Définition

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Intégrable de Wiener

On dit que I  (  f  )  =  ∫  0  ∞  f  (  s  )  d  B  s  =  l n  i  →  m  ∞  ∫  0  ∞  f n ( s ) dB s est lintégrale stochastique ou lintégrable de Wiener de f par rapport à B, par définition.

Généralisation On généralise lintégrable de Wiener et on définit ∫  0  t  θ  s  d  B  s  pour des processus stochastiques . On perd alors le caractère gaussien de lintégrable.

t ∫ 0 θ s

dB s

= ∫ 0 ∞

1 [ 0;t ]

( s )θ s

dB s

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Processus d’Itô

Définition Un processus X est un processus dItô si X 0 =x dX t =b t

Le coefficient b est le drift ou encore la dérive.

Le coefficientσest le coefficient de diffusion.

Intégrale d’un processus d’Itô Soit X un processus dItô. ∫ t On a alors 0 θ s

dX s

dt+

= θb ∫ 0 s t s

t

dB t

t ds+ ∫ θ s σ s 0

dB s

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Crochet

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Lemme d’Itô

Par définition, le crochet dun processus dItô X est le crochet de sa partie martingale.

X t σ 2 ds On a < > t = ∫ 0 s

Lemme d’Itô

Soit f une fonction continue de R dans R, de classe C² à dérivées bornées, ' alors f ( X t ) =f ( X 0 ) + 0 ∫ t f ' (X s )dX s + 2 1 0 ∫ t f' ( X s ) d<X,X

> s

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Girsanov

Changement de probabilité

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Soient P et Q deux probabilités sur (Ω,F T ) . On suppose P et Q équivalentes. Alors, il existe L, P (  F  t  ) martingale positive telle que Q L T P sur F  T  et Q /F t =L t P /F t cest à dire que E  Q  (  X  )  =  E  P  (  L  t  X  )  pour toute variable X Q  intégrable F  t  mesurable pour t≤T

De plus L  0  =  et  1 E P ( L t ) = 1,∀t≤T

Théorème de Girsanov

Soit (  B  t  ,  t  ≥  0  ) un MB sur un espace Ω  ,  F  ,  P  et Soit L t =exp ⎧ ⎩ ⎨ t 0 ∫ θ s dB s − 2 1 t 0 ∫ θ s 2 ds ⎫ ⎬ ⎭ ,t≤T où E P ⎡ ⎢ ⎣ exp 2 1 0 T ∫ θ 2 ds< ⎥ ∞ ⎦ ⎤ s

F t ) sa filtration canonique.

est un processus prévisible adapté tel que

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¾

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Girsanov

Alors L  T  une variable positive despérance 1 sous P et L est une P martingale. est

Si d  Q  =  L  T  d  P  , cest à dire E  Q  (  X  )  =  E  P  (  L  T  X  )  toute variable X intégrable pour (  F  t  )  t ~ mesurable, B t sécrit B  t  =  B  t  +  ∫  θ  s  d  s  où B t est un Q MB. 0

Définition

CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Brownien géométrique

Un brownien géométrique est défini par dS t

La solution de cette équation sécrit

=S t

b dt+

dB t )

S t =S 0 exp ⎩ ⎨ ⎧ ⎜ ⎛ ⎝ b − σ 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ t+σB t

Quand les coefficients sont constants, ce processus est log-normal.

⎭ ⎬ ⎫

¾Exercice 7

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Cas général

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Un contrat doption dachat ou de vente dun actif sous-jacent est le contrat par lequel lacheteur de loption obtient du vendeur, moyennant le paiement dune prime, le droit, mais non lobligation dacquérir ou de vendre une quantité de lactif sous-jacent, à un prix convenu à lavance, au cours dune période ou à un moment déterminé.

Il existe deux types d'options :

Call & Put

Les options d'achat : elles donnent à l'acheteur le droit d'acheter un nombre déterminé dactifs sous-jacents à un prix fixé et désigné dans le contrat comme prix d'exercice. Les options de vente : elles donnent à l'acheteur le droit de vendre un nombre déterminé d'actifs sous-jacents à un prix fixé et désigné dans le contrat comme prix d'exercice.

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CHAPITRE 3 :UN PEU DE MATHEMATIQUES ¾ Questions

¾

Questions ?

CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Les options

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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Les options

Prime

Call

Option européenne et option américaine

K

Spot

Une option de typeeuropéenconfère à son détenteur la possibilité d'exercer son droit uniquement à la date de léchéance.

Une option de typeaméricainconfère à son détenteur la possibilité d'exercer tout au long de la vie de cette option jusqu'à la date de l'échéance.

Payoff

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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Prix d’une option

Nous avons vu que le prix dun actif est lactualisation des flux qui vont survenir durant sa vie.

En ce qui concerne, une option, le seul flux que nous connaissons est son payoff (sa valeur terminale).

Soit S  t strike, le payoff a donc pour valeur du sous-jacent à une date t et K la valeur du  la expression Max(0;S T −K) expression que nous notons S T −K ) + .

Tout le problème de la valorisation des options est donc dactualiser ce dernier flux, (  S  T  −  K  )  +  .

Dans la suite de notre développement, nous allons nous intéresser à la valorisation dun call, la valeur dun put sera déduite par le biais dune relation dite call-put.

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Payoff

CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Prix d’une option

Une option est valorisée à toute date, nous allons donc valoriser notre call à une date t telle que0≤t〈T

Il est complément illusoire de prédire depuis la date quelle sera la valeur de S T , le cous réel du sous- jacent suivant une dynamique continue.

Ceci signifie que le flux S T  K est aléatoire et donc que le flux (S T - K)+est aléatoire. En bref, nous ne devons plus actualiser le flux S  T  −  K ) + mais le flux E  S T −K ) + où E[...] désigne l espérance mathématique.

Orleprixduninstrumentestvalorisécommelasommedesfluxactualisésdonc: − T C t =e −r ( T−t )E ( S T −K ) + ou C= E S ( K ) ) + t T (1+r) −t

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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Modélisation discrète

Modélisation discrète d’un actif financier

S 2,u,u p S 1,u

p S 0 . S 2,u,d   larbre est dit recombinant car u et d sont des constantes)etc (Ici 1-p S 1,d

S 2,d,d

¾ Retenez : En temps discret, la dynamique de prix dun instrument financier est modélisé

sous la forme dun arbre.

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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Modélisation discrète

Modélisation bipériodique

S t

Nous allons nous placer dans un modèle bi-périodique dans lequel lactif sous-jacent peut prendre deux valeurs entre deux dates.

Une façon simple de représenter une évolution discrète est la suivante :

p

1-p

u

d

S t

S t

et le call a pour représentation :

C t

q

1-q

u S t −K ) +

( d

S t −K ) +

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CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Modélisation discrète

Formons la différence C t  h S t où h est un réel.

C t −h S t

u S t −K ) + −h u S t

( d S t −K ) + −h d S t D après ce que nous avons exposé dans les parties précédentes, on peut écrire, par actualisation :

C t −h S t = (u S t −K 1 ) + −h u S t +

et

C t

−h S t

=

d

S t

−K + −h d 1+r

S t

(1)

⇒h = (u S t

(2)

−K) + − (d S t S t (u−d)

−K) +

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C ( L u exp t re − ssion )  + (1) − d ( evien t t : − ) + t ( u S t −K ) + − ( ⎢ ⎣ ⎢ ⎡ u S t −K S t ) + ( u− −d d ) S t −K ) + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ u S t t − S K t ( − d S ) S K = 1+r S u d

CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Modélisation discrète

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+

Nous pouvons étendre notre raisonnement à plusieurs périodes :

Nous venons de changer de probabilité de p à q et donc dévaluer le prix du call.

E =

u i d n−i S−K (1+r) n

Généralisation

C t

( 1+r−d ) q= (u−d)

¾

u S t −K) + − (1−q) (d ( 1+r )

1− = u−1+r q ( d ) u−

S t −K )

⇒C t = q

⇒C t

(u S t −K) + (1+r−d) − (d S t −K) + = (1+r) (u−d)

+

1+r−u )

Cest à dire :

Soit :

C t

C E[C t ] = t ( 1+r )

CHAPITRE 4 :PRIX D’UN INSTRUMENT FINANCIER ¾ Modélisation discrète

q C t u − ( 1−q ) C d t = ( 1+r )