Electronique B8 - Notes de cours

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Electronique B8 Gérard Hincelin 47Equations de passage Chapitre 5 ................................................................................................................................48 EQUATIONS DE PASSAGE ................................................................................................. 48 I. REFLEXION – REFRACTION SUR UNE SURFACE PLANE ............................................ 48 II. CONDITIONS AUX LIMITES ................................................................................................ 49 I.1 – Composante tangentielle du champ électrique...................................................................... 49 I.2 – Comp magnétique................................................................... 50 I.3 – Composante normale du champ électrique ........................................................................... 50 I.4 – Comp magnétique ........................................................................ 51 I.5 – Notation vectorielle............................................................................................................... 51 III. REFLEXION METALLIQUE 51 III.1 – Expressions des différents champs..................................................................................... 51 III.2 - Coefficient de réflexion...................... ...

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Electronique B84  7 Hincelin Gérard Equations de passage 
 
  
 
 
 
 
Chapitre 5
................................................................................................................................
48 
EQUATIONS DE PASSAGE.................................................................................................48 
I. REFLEXION – REFRACTION SUR UNE SURFACE PLANE............................................ 48 
II. CONDITIONS AUX LIMITES ................................................................................................ 49 I.1 – Composante tangentielle du champ électrique...................................................................... 49 I.2 – Composante tangentielle du champ magnétique................................................................... 50 I.3 – Composante normale du champ électrique........................................................................... 50 I.4 – Composante normale du champ magnétique........................................................................ 51 I.5 – Notation vectorielle............................................................................................................... 51 
III. REFLEXION METALLIQUE ................................................................................................ 51 III.1 – Expressions des différents champs.................................................................................... 51 III.2 - Coefficient de réflexion....................................................................................................... 52 
IV. CONDITIONS AUX LIMITES POUR UN CONDUCTEUR PARFAIT............................ 53 IV.1 Composante tangentielle du champ magnétique ................................................................... 54 IV.2 – Composante normale du déplacement diélectrique............................................................ 55 
Exercices...........................................................................................................................................56 
Electronique B84   8 Hincelin Gérard Equations de passage 
  
Chapitre 5
EQUATIONS DE PASSAGE   Dans l’approximation d’onde plane, l’onde TEM est une solution des équations de Maxwell dans un milieu d’étendue infinie. Nous avons établi l’expression des champs dans un diélectrique parfait et dans un milieu absorbant. Envisageons le cas où l’onde qui se propage dans un milieu M1 rencontre la surface plane de séparation avec un second milieu M2. La solution de l’équation d’onde est connue dans chaque milieu, mais il faut savoir raccorder les champs lors du passage d’un milieu dans l’autre (équations de passage).  
I. REFLEXION – REFRACTION SUR UNE SURFACE PLANE Une onde de polarisation rectiligne se propage dans le milieu 1 et arrive sous une incidence ϕisur la surface planeΣde séparation (le plan xOy) entre les deux milieux (voir la figure ci-dessous). Le plan d’incidenceπet le rayon réfléchi (ainsi que la(le plan xOz) contient le rayon incident normale à la surface). r r Le champ électrique incidentEi(rr,t) le champ magnétique (ouHi(rr,t)) peut se décomposer tout d’abord en :  Une composanteEperpendiculaire au plan d’incidenceπ: Celle-ci est tangente à la surface de séparationΣ. Une composanteE parallèle au planπ: celle-ci se décompose à son tour en une composante tangentielleEt(située dans le plan de la surface xOy) et une composante normaleEn à la surface de séparationΣ(parallèle à Oz).   rsurface de  r0séparationΣ  Er  Ei0 ,  r  kinrplanπ    E  r  tkt  milieu 2   Σ(ε2) r   kiinrilim(εe1 ) 1 u r   Etkr   E E n
Electronique B84  9 Hincelin Gérard Equations de passage 
 Dans le milieu 1, on trouve une onde incidente et une onde réfléchie que nous noterons : r r Ei(rr,t)=Ei,0expj(ωtkri.rr) (5.1) Err(rr,t)=Err,0expj(ωtkrr.rr) (5.2) L’onde transmise dans le deuxième milieu sera notée : Ert(rr,t)=Ert,0exp⎣⎡j(ωtkrt.rr)⎦⎤ (5.3) r r r et des équations analogues pour les champs magnétiquesHi(r,t),Hr(rr,t),Ht(rr,t). Les équations de passage sont des conditions aux limites sur la surface plane de séparation qui relient les valeurs des composantes tangentielles et normales des champs dans les deux milieux à tout instant. Une première condition qui découle de la définition du plan d’onde est que les différents champs (incident, réfléchi et transmis) doivent être dans un rapport indépendant du point rr0de la surface de séparation, ce qui n’est possible que si : r r r ki.r0=kr.rr0=kt.rr0 (5.4)      Il est facile de vérifier que cette opération revient à projeter le vecteur d’onde sur l’axe Ox, la condition (5.4) est donc équivalente à :      kix=krx=ktx (5.5)  Les composantes tangentielles des vecteurs d ondes se conservent.  On en déduit les lois classiques de la réflexion et de la réfraction (lois de Snell – Descartes) : Loi de la réflexion : Dans le milieu M1le module du vecteur d’onde est : r r ki=kr=1 (5.6) c L’égalité kix= krxentraînei= ϕr ’ ’ ’ L angle de réflexion est égal à l angle d incidence.  L’égalité kix= ktxentraîne : 1sinϕi= ε2sinϕt (5.7) ou en utilisant l’indice de réfraction :     n1sini=n2sinϕt (5.8)
II. CONDITIONS AUX LIMITES On distingue le cas des composantes tangentielles (dans le plan de la surface) de celui des composantes normales à la surface de séparation.  I.1 – Composante tangentielle du champ électrique On a représenté sur la figure ci-dessous les composantes du champ électrique Et1(dans le premier milieu M1) et Et2(dans le deuxième milieu M2), à la distanceδh/2 de la surfaceΣ.  rh  E B t2M  2 Σ   Et1lM1   
Electronique B85  0 Hincelin Gérard Equations de passage 
Calculons la circulation du champ électrique le long d’un contours ferméΧ traverse la qui surfaceΣ, comme indiqué sur la figure. La première équation de Maxwell, sous forme intégrale, donne pour une onde harmonique : . CEr.dlr= −dtdSBr.dSr= −jωSBrdSr (5.9) Faisons tendreh0: Et1et Et2 tendent vers les valeurs des champ dans le plan deΣ, mesurées  respectivement dans le premier et le deuxième milieu. dans le calcul de la circulation le long deD’autre part, Χ, les contributions des deux segments de longueurδh sont nulles. On peut donc écrire : r r− = − =   (5.10)    limδh0E.dl=(Et1Et2)dl jωBdhdl0 C Le second membre de l’équation (5.9) représente le flux de l’induction magnétique à travers la surface délimitée par le contoursΧ. Comme la surface tend vers zéro en même temps que δh, il vient :       Et1=Et2 (5.11) Remarque : le premier milieu on trouve l’onde incidente et l’onde réfléchie. E danst1 représente donc le champ total à la surface du premier milieu, égal à la somme des champ de l’onde incidente et de l’onde réfléchie :       Et1=Eti1+Ert1   (5.12)  I.2 – Composante tangentielle du champ magnétique La seconde équation d’Ampère-Maxwell s’écrit : r.rr.rr.r H dl=jωD dS+J dS (5.13) C S S Il suffit de reprendre le raisonnement précédent, en remplaçant les composantes Et1 E ett2 respectivement par Ht1 H ett2 pour aboutir au même résultat (dualité des équations de Maxwell) :       Ht1=Ht2 (5.14) Lors du passage de l onde du milieu 1 au milieu 2, les composantes tangentielles du champ électrique et du champ magnétique sont continues sur la surface  I.3 – Composante normale du champ électrique La loi de Gauss s’écrit sous forme intégrale : Dr.dSr=dv (5.15) S v Choisissons un élément de volume cylindrique de surface de baseδS parallèle àΣ et d’épaisseurδh, qui traverse la surfaceΣ,avec v =δhδS (voir la figure). Dn1et Dn2désignent les composantes normales du vecteur déplacement diélectrique qui traversent perpendiculairement la surface d’entrée dans le premier milieu et la surface de sortie dans le second milieu (le flux à travers la surface latérale est nul). Dans le cas où il n’existe aucune densité superficielle de charge, alors le second terme est nul :   rDn2h limδh0D.dSr=(Dn2Dn1)δS=0 δSM2 ε2 SΣ   Dn1=Dn2 (5.16)M1 ε1  Dn1  
Electronique B85  1 Hincelin Gérard Equations de passage 
La conservation des composantes normales du déplacement diélectrique entraîne une discontinuité des composantes normales du champ électrique sur la surface :      1En1= ε2En2 avec1≠ ε2 (5.17)  I.4 – Composante normale du champ magnétique La loi de Gauss pour le champ magnétique est semblable à la loi (5.15) avec le second membre nul : Br.dSr=0 (5.18) S Le raisonnement précédent conduit à la continuité de la composante normale de l’induction magnétique : Bn1=Bn2 (5.19) ce qui entraîne la continuité de la composante normale du champ magnétique, car=1: r      Hn1=Hn2 (5.20)  I.5 – Notation vectorielle r r r r En désignant parE1,H1 les champs dans le premier milieu etE2,H2 les champs dans le deuxième milieu, les quatre équations de continuité s’écrivent à la surface de séparation : r r nr×(E1E2)=0 (5.21) r r nr×(H1H2)=0 (5.22) r r nr.(D1D2)=0 (5.23) r r nr.(B1B2)=0 (5.24) nr: vecteur unitaire normale à la surface.  Dans la plupart des cas deux conditions seulement sont nécessaires, car la composante normale et la composante tangentielle des champs sont reliées entre elles.  
III. REFLEXION METALLIQUE III.1 – Expressions des différents champs.
Dans le cas où l’onde arrive sousincidence normale (ϕi = 0) sur une surface plane, on remarque sur la figure suivante que les champs possèdent uniquement des composantes tangentes à la surface, quelle que soit la direction de polarisation de l’onde incidente (ce qui n’est plus vrai sous incidence oblique). La partie de l’onde non réfléchie pénètre dans le métal où les champs sont atténués et disparaissent totalement après une distance zo de 2 quelquesδ(par exemple pour zο= 4δ, exp(-4) = 2 10-).  Pour une onde TEM de type Ey/Hx, les champs incidents s’écrivent comme précédemment dans le premier milieu :       Eri(z,t)=Ei,oexp[j(ωtkiz uryetHri(z,t)= −Hi,oexp[j(ωtkiz urx (5.25)  nous :Pour orienter l’onde réfléchie, il faut faire un choix à priori d’orientation déphasons le champ électrique réfléchi deπ rapport au champ incident (voir la par figure) : Err(z,t)= −Er,oexp[j(ωt+kiz ury (5.26) avec kr= - ki.  Vide Métal
Hi,0
Ei,0
ki
E0
Electronique B85  2 Hincelin Gérard Equations de passage 
 
              
Cette orientation étant choisie, l’orientation du champ magnétique est imposée, le r r r trièdre(E,H,k)étant direct. r Hr(z,t)= −Hr,oexpj(ωt+kiz ux (5.27) Le champ magnétique n’est pas déphasé à la réflexion.
 Nous avons établi au chapitre précédent les expressions des champs dans le métal :   Ert Ez t zδjωtδzuy   ( , )=0exp() exp⎣⎢()r (5.28) Hrt(z,t)= −H0exp(zδ) expj(ωtzδ4π)urx (5.29)  Ecrivons les relations qui expriment la conservation des composantes tangentielles sur la surface (en z = 0) : Suivant Oy :Ei,0Er0=E0 (5.30) , Suivant Ox :Hi,0Hr,0= −H0exp(j4) (5.31) On voit que ces relations sont indépendantes du temps.  III.2 - Coefficient de réflexion Le coefficient de réflexion pour le champ électrique est défini par :      r=EEir0,0, (5.32) Dans le milieu M1(avecε1= 1) :Ei,0=Er,0=0 (5.33) Hi,0Hr,0 0  
Dans le milieu M2:E0=0ω      H0  On arrive à l’expression suivante du coefficient de réflexion (montrer en exercice):  r=Er,0=1εω0σexp(jπ4)     Ei01ωε+0σexp(jπ4) ,
(5.34)
(5.35)
Electronique B85   3 Hincelin Gérard Equations de passage 
r étant complexe, il en est de même de l’amplitude des champs. Ceci traduit un déphasage supplémentaire du champ réfléchi par rapport au champ incident (on a supposé ce déphasage égal àπ). En pratiqueωε01, la partie imaginaire de σ l’expression (5.35) est petite devant la partie réelle, le déphasage supplémentaire est faible.  Le module1rvaut en première approximation (montrer en exercice):
 
 
 
 
 
1r2ε0 
   
 
(5.36)
Ce qui donne numériquement dans le cas du cuivre (σ= 5,8 107 -1m-1) :      1r2 109ν(z) (5.37) A une fréquenceνGHz par exemple, le coefficient de réflexion ne diffère de l’unité que= 10 de 0,02 %, on en déduit que :   l’onde réfléchie est pratiquement de même amplitude que l’onde incidente. le champ électrique étant déphasé deπ, la composante tangentielle du champ électrique totalEt1=Ei,1+Er,1 dans le premier milieu est pratiquement nulle à la
surface du conducteur en z = 0.  On trouve de même l’expression du champ magnétiqueHt1 dans le milieu 1 à la surface
(montrer en exercice): Ht1=2Ei,0µε001+εω0σp(1exjπ4)2Ei,0µε00=2Hi,0  
 
(5.38)
Le champ magnétique sur la surface de séparation est pratiquement égal au double du champ magnétique incidentHi,0,avec :Ht1=H0exp(j4)par continuité.  
IV. CONDITIONS AUX LIMITES POUR UN CONDUCTEUR PARFAIT Appliquons les équations de passage (5.21) à (5.24) au cas idéal d’un métal infiniment conducteur pour lequel→ ∞. L’épaisseur de peau0 le, par conséquent champ électrique et le champ magnétique sont nuls à l’intérieur d’un conducteur parfait. Il existe maintenant une densité superficielle de charge et une densité superficielle de courant, ce qui nécessite de modifier les relations (5.22) et (5.23). La relation (5.21) étant inchangée, la composante tangentielle du champ électrique est nulle en surface : r nrE1=0Et1=0 (5.39) On déduit de (5.24) que la composante normale du champ magnétique est nulle. r nr.B10Bn1=0 (5.40) Remarques : 1. La condition Et1= 0 montre que le champ électrique à la surface d’un conducteur parfait est toujours normal à la surface (voir le schéma ci-contre).   2. Les surfaces équipotentielles étant en tout point orthogonales aux lignes de champ électrique, la surface d’un conducteur parfait est équipotentielle.  
Electronique B85  4 Gérard Hincelin Equations de passage 
IV.1 Composante tangentielle du champ magnétique
Le champ magnétique est nul dans le conducteur parfaitHt2=0. Il circule à la surface du conducteur, dans une couche infiniment mince, une densité superficielle de courant Isinduite par la composante tangentielleHt1 présente dans le milieu d’incidence. Le métal étant infiniment conducteur, ce courant n’entraîne aucune perte par effet Joule. Reprenons la seconde équation d’Ampère – Maxwell (5.13) en présence d’une densité superficielle de courant : Hr.dlr=jωDr.dSr+Jr.dSr (5.41) C S S Calculons la circulation du champ magnétique (avec Ht2 0) le long d’une courbe fermée = Χtraversant la surface du métal. La surface d’intégration est la surface dS = 2δh.δl délimitée parΧ: r  J  Métal M2  H2=0 t r  t  Ht1M1  h l≡ δnr   La relation (5.41) s’écrit : Ht1Ht2δl=jωD2δhδl+J hδl (5.42) Si on identifieδh avec l’épaisseur de peauδ, alors le dernier terme à droite représente le courant total qui circule à la surface du conducteur : T=J lδ (5.43) On a défini précédemment la densité superficielle de courant Is: =IT=J A/m en  (5.44) sδl Si on fait→ ∞,alors0et on peut écrire :limδ0JI. A la limite0l’équation (5.42) devient donc :      Ht1Is (5.45) r Désignons parH1 vecteur champ magnétique à la surface du métal (en z = 0). On peut le toujours le décomposer en une composante normale et une composante tangentielle r r r = (H1Hn1n+Ht1t). On vérifie alors (voir la figure), que le vecteur densité superficielle de courant s’exprime par : r r s=nr×H1 (5.46)
La composante tangentielle du champ magnétique à la surface du conducteur est égale à la densité superficielle de courant.
Ceci généralise le résultat déjà démontré à la fin du chapitre précédent, dans le cas particulier de l’incidence normale. Dans le cas d’un conducteur parfait, on avait montré par exemple :      Ht12Hi,1 (5.47)   
Electronique B85   5 Hincelin Gérard Equations de passage 
IV.2 – Composante normale du déplacement diélectrique Partons de l’équation (5.15) qui contient maintenant la densité de chargeρ. Dr.dSr=dv    S v
 
(5.48)
et reprenons l’élément de volume cylindrique du paragraphe I.3. La charge totale Q contenue dans le cylindre vaut :Q= δSδh. On définit la densité superficielle de chargeρs (ou charge par unité de surface) :    sδ=QSρδ=h  Unité C/m2(5.49) A la limiteh0, on trouve avec Dn2= 0 (les champs sont nuls dans le milieu 2) : limδh0SDr.dSr(=Dn1δS)=∫∫vρδSδh(= ρsδS) (5.50) Après simplification :  (5.51)
    
Dn1=s 
 
La composante normale du déplacement diélectrique dans le milieu d incidence est égale à la densité superficielle de charge.
Σ
Dn2= 0 δS
Dn1
h
M2 2 M1ε1
Electronique B85  6 Hincelin Gérard Equations de passage 
 
Exercices  Exercice 1 a) Etablir l’expression du coefficient de réflexion à l’interface vide – métal sous incidence normale. b) Montrer que pour :ωε0<<1on peut admettre le résultat approché : σ ε0  
1r2
 c) Application numériqueσ = 5,8 107 -1m-1 la fréquence àν 10 GHz. Que peut-on = dire de la valeur du coefficient de réflexion dans le domaine des microondes ?  Exercice 2.= 0) et montrer que l’onEtablir l’expression du champ magnétique en surface (z a, avec les valeurs numériques précédentes :H2Hi,0   Exercice 3 a) Exprimer la puissance totale PT absorbée au voisinage de la surface du métal en fonction de l’amplitude du champ électrique incident Ei,o(cas de l’incidence normale). b) Montrer par un calcul direct que PT est égale à la différence entre la puissance incidente Piet la puissance réfléchie Pr, soitPT=PiPr  Exercice 4.On donne à la longueur d’ondeλ= 0,7µm (domaine optique) la constante diélectrique de l’argent :ε= - 24 - j 0,6. Calculer la profondeur de pénétrationδà l’incidence normale.  Exercice 5.  rétant un vecteur quelconque contenu dans le plan de séparationΣ, vérifier r0 la relation (5.4) (loi de Snell – Descartes).  Exercice 6.Vérifier les 4 équations de passage sous forme vectorielle (5.21) à (5.24). Appliquer ces relations au cas de l’incidence normale, afin d’établir les relations (5.30) et (5.31) pour un champ Ey/Hx.  Exercice 7.Déduire la relation (5.40) de la relation (5.39).  Exercice 8.On considère une onde plane de polarisation rectiligne quelconque, qui arrive sous l’incidence obliqueϕià la surface, située dans le plan xOy, d’un conducteur métallique. r SoitH1le vecteur champ magnétique en z = 0. r a) DécomposerH1 en une composante normale à la surface Hn deux composantes et tangentielles Hxet Hy(faire une figure). b) Représenter l’orientation des composantes du vecteur et donner l’expression de la puissance absorbée dans le conducteur.