Electronique B8 - Notes de cours

Hincelin

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Electronique B8 Gérard Hincelin 47Equations de passage Chapitre 5 ................................................................................................................................48 EQUATIONS DE PASSAGE ................................................................................................. 48 I. REFLEXION – REFRACTION SUR UNE SURFACE PLANE ............................................ 48 II. CONDITIONS AUX LIMITES ................................................................................................ 49 I.1 – Composante tangentielle du champ électrique...................................................................... 49 I.2 – Comp magnétique................................................................... 50 I.3 – Composante normale du champ électrique ........................................................................... 50 I.4 – Comp magnétique ........................................................................ 51 I.5 – Notation vectorielle............................................................................................................... 51 III. REFLEXION METALLIQUE 51 III.1 – Expressions des différents champs..................................................................................... 51 III.2 - Coefficient de réflexion...................... ...

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Extrait

Electronique B8 4    7  Hincelin Gérard Equations de passage  

 

  

 

 

 

 

Chapitre 5

................................................................................................................................

48 

EQUATIONS DE PASSAGE.................................................................................................48 

I. REFLEXION – REFRACTION SUR UNE SURFACE PLANE............................................ 48  

II. CONDITIONS AUX LIMITES ................................................................................................ 49   I.1 – Composante tangentielle du champ électrique...................................................................... 49   I.2 – Composante tangentielle du champ magnétique................................................................... 50   I.3 – Composante normale du champ électrique........................................................................... 50   I.4 – Composante normale du champ magnétique........................................................................ 51   I.5 – Notation vectorielle............................................................................................................... 51  

III. REFLEXION METALLIQUE ................................................................................................ 51   III.1 – Expressions des différents champs.................................................................................... 51   III.2 - Coefficient de réflexion....................................................................................................... 52  

IV. CONDITIONS AUX LIMITES POUR UN CONDUCTEUR PARFAIT............................ 53   IV.1 Composante tangentielle du champ magnétique ................................................................... 54   IV.2 – Composante normale du déplacement diélectrique............................................................ 55  

Exercices...........................................................................................................................................56  

Electronique B8 4     8  Hincelin Gérard Equations de passage  

   

Chapitre 5

EQUATIONS DE PASSAGE     Dans l’approximation d’onde plane, l’onde TEM est une solution des équations de Maxwell dans un milieu d’étendue infinie. Nous avons établi l’expression des champs dans un diélectrique parfait et dans un milieu absorbant. Envisageons le cas où l’onde qui se propage dans un milieu M 1  rencontre la surface plane de séparation avec un second milieu M 2 . La solution de l’équation d’onde est connue dans chaque milieu, mais il faut savoir raccorder les champs lors du passage d’un milieu dans l’autre (équations de passage).  

I. REFLEXION – REFRACTION SUR UNE SURFACE PLANE Une onde de polarisation rectiligne se propage dans le milieu 1 et arrive sous une incidence ϕ i sur la surface planeΣde séparation (le plan xOy) entre les deux milieux (voir la figure ci- dessous). Le plan d’incidenceπet le rayon réfléchi (ainsi que la(le plan xOz) contient le rayon incident normale à la surface). r r Le champ électrique incident E i (r r ,t)  le champ magnétique (ou H i (r r ,t) ) peut se décomposer tout d’abord en : •  Une composante E ⊥ perpendiculaire au plan d’incidenceπ: Celle-ci est tangente à la surface de séparationΣ. •Une composante E   parallèle au planπ: celle-ci se décompose à son tour en une composante tangentielle E t (située dans le plan de la surface xOy) et une composante normale E n  à la surface de séparationΣ(parallèle à Oz).     r surface de   r 0 séparationΣ   E r   ⊥ E i0 ,   r   k i n r plan π       E      r   t k t   milieu 2     Σ (ε 2 ) r     k i i n r ilim (ε e 1  )  1 u r     E t k r     E E    n

Electronique B8 4    9  Hincelin Gérard Equations de passage  

  Dans le milieu 1, on trouve une onde incidente et une onde réfléchie que nous noterons : r r E i (r r ,t)=E i,0 exp ⎡ ⎣ j(ωt−k r i .r r ) ⎤ ⎦  (5.1) E r r (r r ,t)=E r r,0 exp ⎣ ⎡ j(ωt−k r r .r r ) ⎦ ⎤  (5.2) L’onde transmise dans le deuxième milieu sera notée : E r t (r r ,t)=E r t,0 exp ⎣⎡ j(ωt−k r t .r r ) ⎦⎤  (5.3) r r r et des équations analogues pour les champs magnétiques H i (r,t),H r (r r ,t),H t (r r ,t) . Les équations de passage sont des conditions aux limites sur la surface plane de séparation qui relient les valeurs des composantes tangentielles et normales des champs dans les deux milieux à tout instant. Une première condition qui découle de la définition du plan d’onde est que les différents champs (incident, réfléchi et transmis) doivent être dans un rapport indépendant du point r r 0 de la surface de séparation, ce qui n’est possible que si : r r r k i .r 0 =k r .r r 0 =k t .r r 0  (5.4)       Il est facile de vérifier que cette opération revient à projeter le vecteur d’onde sur l’axe Ox, la condition (5.4) est donc équivalente à :       k ix =k rx =k tx  (5.5)   ’ •Les composantes tangentielles des vecteurs d ondes se conservent.   On en déduit les lois classiques de la réflexion et de la réfraction (lois de Snell – Descartes) : Loi de la réflexion : Dans le milieu M 1 le module du vecteur d’onde est : r r k i =k r = 1  (5.6) c L’égalité k ix = k rx entraîne i = ϕ r   ’ ’ ’ •L angle de réflexion est égal à l angle d incidence.   L’égalité k ix = k tx entraîne : 1 sinϕ i = ε 2 sinϕ t  (5.7) ou en utilisant l’indice de réfraction :      n 1 sin i =n 2 sinϕ t  (5.8)

II. CONDITIONS AUX LIMITES On distingue le cas des composantes tangentielles (dans le plan de la surface) de celui des composantes normales à la surface de séparation.   I.1 – Composante tangentielle du champ électrique On a représenté sur la figure ci-dessous les composantes du champ électrique E t1 (dans le premier milieu M 1 ) et E t2 (dans le deuxième milieu M 2 ), à la distanceδh/2 de la surfaceΣ.   r h   E B t2 M   2 Σ     E t1 l M 1    

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Calculons la circulation du champ électrique le long d’un contours ferméΧ traverse la qui surfaceΣ, comme indiqué sur la figure. La première équation de Maxwell, sous forme intégrale, donne pour une onde harmonique : . ∫ C  E r .dl r = − d td ∫ S B r .dS r = −jω ∫ S B r dS r  (5.9) Faisons tendre h→0 : •E t1 et E t2  tendent vers les valeurs des champ dans le plan deΣ, mesurées   respectivement dans le premier et le deuxième milieu. •dans le calcul de la circulation le long deD’autre part, Χ, les contributions des deux segments de longueurδh sont nulles. On peut donc écrire : ∫ r r − = − =    (5.10)     lim δh→0 E.dl=(E t1 E t2 )dl jωBdhdl0 C Le second membre de l’équation (5.9) représente le flux de l’induction magnétique à travers la surface délimitée par le contoursΧ. Comme la surface tend vers zéro en même temps que δh, il vient :        E t1 =E t2  (5.11) Remarque : le premier milieu on trouve l’onde incidente et l’onde réfléchie. E dans t1   représente donc le champ total à la surface du premier milieu, égal à la somme des champ de l’onde incidente et de l’onde réfléchie :        E t1 =E t i 1 +E r t1    (5.12)   I.2 – Composante tangentielle du champ magnétique La seconde équation d’Ampère-Maxwell s’écrit : ∫ r . r ∫ r . r ∫ r . r  H dl=jωD dS+J dS  (5.13) C S S Il suffit de reprendre le raisonnement précédent, en remplaçant les composantes E t1  E et t2   respectivement par H t1  H et t2  pour aboutir au même résultat (dualité des équations de Maxwell) :        H t1 =H t2  (5.14) ’ Lors du passage de l onde du milieu 1 au milieu 2, les composantes tangentielles du champ électrique et du champ magnétique sont continues sur la surface   I.3 – Composante normale du champ électrique La loi de Gauss s’écrit sous forme intégrale : ∫ D r .dS r = ∫ dv  (5.15) S v Choisissons un élément de volume cylindrique de surface de baseδS parallèle àΣ et d’épaisseurδh, qui traverse la surfaceΣ,avec v =δhδS (voir la figure). D n1 et D n2 désignent les composantes normales du vecteur déplacement diélectrique qui traversent perpendiculairement la surface d’entrée dans le premier milieu et la surface de sortie dans le second milieu (le flux à travers la surface latérale est nul). Dans le cas où il n’existe aucune densité superficielle de charge, alors le second terme est nul :    r D n2 h lim δh→0 ∫ D.dS r =(D n2 −D n1 )δS=0   δS M 2  ε 2 S Σ    D n1 =D n2  (5.16) M 1  ε 1  D n1  

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La conservation des composantes normales du déplacement diélectrique entraîne une discontinuité des composantes normales du champ électrique sur la surface :        1 E n1 = ε 2 E n2  avec 1 ≠ ε 2  (5.17)   I.4 – Composante normale du champ magnétique La loi de Gauss pour le champ magnétique est semblable à la loi (5.15) avec le second membre nul : ∫ B r .dS r =0  (5.18) S Le raisonnement précédent conduit à la continuité de la composante normale de l’induction magnétique : B n1 =B n2  (5.19) ce qui entraîne la continuité de la composante normale du champ magnétique, car =1 : r       H n1 =H n2  (5.20)   I.5 – Notation vectorielle r r r r En désignant par E 1 ,H 1  les champs dans le premier milieu et E 2 ,H 2  les champs dans le deuxième milieu, les quatre équations de continuité s’écrivent à la surface de séparation : r r n r ×(E 1 −E 2 )=0  (5.21) r r n r ×(H 1 −H 2 )=0  (5.22) r r n r .(D 1 −D 2 )=0  (5.23) r r n r .(B 1 −B 2 )=0  (5.24) n r : vecteur unitaire normale à la surface.   Dans la plupart des cas deux conditions seulement sont nécessaires, car la composante normale et la composante tangentielle des champs sont reliées entre elles.  

III. REFLEXION METALLIQUE III.1 – Expressions des différents champs.

Dans le cas où l’onde arrive sousincidence normale (ϕ i  = 0) sur une surface plane, on remarque sur la figure suivante que les champs possèdent uniquement des composantes tangentes à la surface, quelle que soit la direction de polarisation de l’onde incidente (ce qui n’est plus vrai sous incidence oblique). La partie de l’onde non réfléchie pénètre dans le métal où les champs sont atténués et disparaissent totalement après une distance z o  de 2 quelquesδ(par exemple pour z ο = 4δ, exp(-4) = 2 10 - ).   •Pour une onde TEM de type E y /H x , les champs incidents s’écrivent comme précédemment dans le premier milieu :        E r i (z,t)=E i,o exp [ j(ωt−k i z u r y et H r i (z,t)= −H i,o exp [ j(ωt−k i z u r x  (5.25) • nous :Pour orienter l’onde réfléchie, il faut faire un choix à priori d’orientation déphasons le champ électrique réfléchi deπ rapport au champ incident (voir la par figure) : E r r (z,t)= −E r,o exp [ j(ωt+k i z u r y  (5.26) avec k r = - k i .   Vide Métal

H i,0

E i,0

k i

E 0

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•Cette orientation étant choisie, l’orientation du champ magnétique est imposée, le r r r trièdre (E,H,k) étant direct. r H r (z,t)= −H r,o expj(ωt+k i z u x  (5.27) Le champ magnétique n’est pas déphasé à la réflexion.

  Nous avons établi au chapitre précédent les expressions des champs dans le métal :    E r t  Ez t  z δ ⎡ jωt δ z ⎤ u y    ( , )= 0 exp(−) exp ⎣⎢ (−) ⎥ ⎦ r  (5.28) H r t (z,t)= −H 0 exp(− z δ ) exp ⎡ ⎣ ⎢ j(ωt− z − δ4 π ) ⎤ ⎦ ⎥ u r x  (5.29)   Ecrivons les relations qui expriment la conservation des composantes tangentielles sur la surface (en z = 0) : Suivant Oy : E i,0 −E r0 =E 0  (5.30) , − Suivant Ox : −H i,0 −H r,0 = −H 0 exp(j4)  (5.31) On voit que ces relations sont indépendantes du temps.   III.2 - Coefficient de réflexion Le coefficient de réflexion pour le champ électrique est défini par :       r= E E i r0, 0,  (5.32) Dans le milieu M 1 (avecε 1 = 1) : E i,0 = E r,0 = 0  (5.33) H i,0 H r,0 0  

Dans le milieu M 2 : E 0 = 0 ω        H 0   On arrive à l’expression suivante du coefficient de réflexion (montrer en exercice):   r= E r,0 = 1ε−ω 0 σexp(jπ4)      E i0 1ωε+ 0 σexp(jπ4) ,

(5.34)

(5.35)

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•r étant complexe, il en est de même de l’amplitude des champs. Ceci traduit un déphasage supplémentaire du champ réfléchi par rapport au champ incident (on a supposé ce déphasage égal àπ). En pratique ωε 0 1 , la partie imaginaire de σ l’expression (5.35) est petite devant la partie réelle, le déphasage supplémentaire est faible.   Le module 1−r vaut en première approximation (montrer en exercice):

 

 

 

 

 

1−r2 ε 0  

   

 

(5.36)

Ce qui donne numériquement dans le cas du cuivre (σ= 5,8 10 7  Ω -1 m -1 ) :       1−r2 10 −9 ν (z)  (5.37) A une fréquenceνGHz par exemple, le coefficient de réflexion ne diffère de l’unité que= 10 de 0,02 %, on en déduit que :    •l’onde réfléchie est pratiquement de même amplitude que l’onde incidente. •le champ électrique étant déphasé deπ, la composante tangentielle du champ électrique total E t1 =E i,1 +E r,1  dans le premier milieu est pratiquement nulle à la

surface du conducteur en z = 0.   On trouve de même l’expression du champ magnétique H t1  dans le milieu 1 à la surface

(montrer en exercice): H t1 =2E i,0 µ ε 0 0 1+εω 0 σp( 1 exjπ4) 2E i,0 µ ε 0 0 =2H i,0    

 

(5.38)

•Le champ magnétique sur la surface de séparation est pratiquement égal au double du champ magnétique incidentH i,0, avec : H t1 =H 0 exp(−j4) par continuité.  

IV. CONDITIONS AUX LIMITES POUR UN CONDUCTEUR PARFAIT  Appliquons les équations de passage (5.21) à (5.24) au cas idéal d’un métal infiniment conducteur pour lequel → ∞ . L’épaisseur de peau →0  le, par conséquent champ électrique et le champ magnétique sont nuls à l’intérieur d’un conducteur parfait. Il existe maintenant une densité superficielle de charge et une densité superficielle de courant, ce qui nécessite de modifier les relations (5.22) et (5.23). La relation (5.21) étant inchangée, la composante tangentielle du champ électrique est nulle en surface : r n r E 1 =0⇒E t1 =0  (5.39) On déduit de (5.24) que la composante normale du champ magnétique est nulle. r n r .B 1 0⇒B n1 =0  (5.40) Remarques : 1. La condition E t1 = 0 montre que le champ électrique à la surface d’un conducteur parfait est toujours normal à la surface (voir le schéma ci-contre).     2. Les surfaces équipotentielles étant en tout point orthogonales aux lignes de champ électrique, la surface d’un conducteur parfait est équipotentielle.  

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IV.1 Composante tangentielle du champ magnétique

Le champ magnétique est nul dans le conducteur parfait H t2 =0 . Il circule à la surface du conducteur, dans une couche infiniment mince, une densité superficielle de courant I s induite par la composante tangentielle H t1  présente dans le milieu d’incidence. Le métal étant infiniment conducteur, ce courant n’entraîne aucune perte par effet Joule. Reprenons la seconde équation d’Ampère – Maxwell (5.13) en présence d’une densité superficielle de courant : ∫ H r .dl r =jω ∫ D r .dS r + ∫ J r .dS r  (5.41) C S S Calculons la circulation du champ magnétique (avec H t2  0) le long d’une courbe fermée = Χtraversant la surface du métal. La surface d’intégration est la surface dS = 2δh.δl délimitée parΧ: r   J  Métal M 2   H 2 =0 t r   t   H t1 M 1   h l ≡ δ n r     La relation (5.41) s’écrit : H t1 −H t2 δl=jωD2δhδl+J hδl  (5.42) Si on identifieδh avec l’épaisseur de peauδ, alors le dernier terme à droite représente le courant total qui circule à la surface du conducteur : T =J lδ  (5.43) On a défini précédemment la densité superficielle de courant I s : = I T =J  A/m en  (5.44) s δl Si on fait → ∞, alors →0 et on peut écrire : lim δ→0 J→I . A la limite →0 l’équation (5.42) devient donc :        H t1 I s  (5.45) r Désignons par H 1  vecteur champ magnétique à la surface du métal (en z = 0). On peut le toujours le décomposer en une composante normale et une composante tangentielle r r  r = ( H 1 H n1 n+H t1 t ). On vérifie alors (voir la figure), que le vecteur densité superficielle de courant s’exprime par : r r s =n r ×H 1  (5.46)

La composante tangentielle du champ magnétique à la surface du conducteur est égale à la densité superficielle de courant.

Ceci généralise le résultat déjà démontré à la fin du chapitre précédent, dans le cas particulier de l’incidence normale. Dans le cas d’un conducteur parfait, on avait montré par exemple :       H t1 2H i,1  (5.47)    

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IV.2 – Composante normale du déplacement diélectrique Partons de l’équation (5.15) qui contient maintenant la densité de chargeρ. ∫ D r .dS r = ∫ dv      S v

 

(5.48)

et reprenons l’élément de volume cylindrique du paragraphe I.3. La charge totale Q contenue dans le cylindre vaut : Q= δSδh . On définit la densité superficielle de chargeρ s  (ou charge par unité de surface) :     s δ = Q S ρδ=h   Unité C/m 2 (5.49) A la limite h→0 , on trouve avec D n2 = 0 (les champs sont nuls dans le milieu 2) : lim δh→0 ⎩ ⎨ ⎧ ∫ S ∫ D r .dS r (=D n1 δS)= ∫∫ v ∫ ρδSδh(= ρ s δS) ⎭ ⎬ ⎫   (5.50) Après simplification :  (5.51)

       

D n1 = s  

 

La com ’ posante normale du déplacement diélectrique dans le milieu  d incidence est égale à la densité superficielle de charge.

Σ

D n2 = 0 δS

D n1

h

M 2 2 M 1 ε 1

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Exercices   Exercice 1 a) Etablir l’expression du coefficient de réflexion à l’interface vide – métal sous incidence normale. b) Montrer que pour : ωε 0 <<1 on peut admettre le résultat approché : σ ε 0  

1−r2

  c) Application numériqueσ = 5,8 10 7  Ω -1 m -1  la fréquence àν 10 GHz. Que peut-on = dire de la valeur du coefficient de réflexion dans le domaine des microondes ?   Exercice 2.= 0) et montrer que l’onEtablir l’expression du champ magnétique en surface (z a, avec les valeurs numériques précédentes : H2H i,0      Exercice 3 a) Exprimer la puissance totale P T  absorbée au voisinage de la surface du métal en fonction de l’amplitude du champ électrique incident E i,o (cas de l’incidence normale). b) Montrer par un calcul direct que P T  est égale à la différence entre la puissance incidente P i et la puissance réfléchie P r , soit P T =P i −P r     Exercice 4.On donne à la longueur d’ondeλ= 0,7µm (domaine optique) la constante diélectrique de l’argent :ε= - 24 - j 0,6. Calculer la profondeur de pénétrationδà l’incidence normale.   Exercice 5.   r étant un vecteur quelconque contenu dans le plan de séparation Σ , vérifier r 0 la relation (5.4) (loi de Snell – Descartes).   Exercice 6.Vérifier les 4 équations de passage sous forme vectorielle (5.21) à (5.24). Appliquer ces relations au cas de l’incidence normale, afin d’établir les relations (5.30) et (5.31) pour un champ E y /H x .   Exercice 7.Déduire la relation (5.40) de la relation (5.39).   Exercice 8.On considère une onde plane de polarisation rectiligne quelconque, qui arrive sous l’incidence obliqueϕ i à la surface, située dans le plan xOy, d’un conducteur métallique. r Soit H 1 le vecteur champ magnétique en z = 0. r a) Décomposer H 1  en une composante normale à la surface H n  deux composantes et tangentielles H x et H y (faire une figure). b) Représenter l’orientation des composantes du vecteur et donner l’expression de la puissance absorbée dans le conducteur.