ennonce_math_2007

Description

´UNIVERSITE CADI AYYAD Ann´ee : 2006/2007 Ecole Nationale Des Sciences Appliqu´ees Session du : 25 Juillet 2007 Marrakech Responsable : I. OUASSOU er´ eConcours d’entr´ee en 1 ann´ee du cycle pr´eparatoire Epreuve de math´ematiques (dur´ee 1h30min) Remarques importantes 1) Les documentations, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits. 2) Parmis les r´eponses propos´ees elle n’y a qu’une qui est juste. 3) Cocher la case qui correspond a` la r´eponse correcte sur la fiche de r´eponses. 4) R`egles de notation : R´eponse juste = 1 point ; R´eponse fausse = -1 point ; Sans r´eponse = 0 point. Noter Bien Plus qu’une case choch´ee = -1 point. ———————————————————————————————- Exercice 1 2 n2n −(−1) n+1 1. lim n’existe pas. n→+∞ n+3 2. lim ln(n+1)−ln(n+2) n’existe pas. n→+∞ 3. lim sin(n) n’existe pas. n→+∞ n n4. lim (−0,7) +(0,7) n’existe pas. n→+∞ Exercice 2 On consid`ere une suite de r´eels (u ).n 1. Une suite (u ) croissante est-elle n´ecessairement divergente vers +∞?n 2. Une suite (u ) divergente vers +∞ est-elle n´ecessairement croissante?n 3. Une suite (u ) born´ee est-elle n´ecessairement convergente?n 4. Une suite (u ) croissante et non major´ee diverge-t-elle n´ecessairement vers +∞?n 1Exercice 3 2Soient z et z les deux nombres complexes solutions de l’´equation z −4z +6 = 0.1 2 Dans le plan complexe muni du rep`ere orthonormal (O;~u,~v), on consid`ere les points M1 et M d’affixes respectives z et z puis I le milieu du segment [M ,M ] .2 1 2 1 2 1.

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• Publié le: 06 juillet 2012
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´ UNIVERSITE CADI AYYAD EcoleNationaleDesSciencesAppliqu´ees Marrakech

Anne´e:2006/2007 Session du :25 Juillet 2007 Responsable :I. OUASSOU

´ere Concoursd’entre´een1ann´eeducyclepre´paratoire

Epreuvedemathe´matiques(dure´e1h30min) Remarques importantes 1)tsel´le´ohpepsenalsclacuictretesdrti.sortablessontintedseLles,ontitaenumoc 2)ellesee´u’uqay’nnspo´esrosoppresaPmrsieliestneque.just 3)ctreuresnspoorecla`de´raerronopss.´rpenoesalcfiehedrealoChcuqciaces 4)R`eglesdenotation: Re´ponsejuste=1 pointpo´e;R=euasssnfe-1 pointse=eponnsr´;Sa0 point. Noter Biene=´echP’unuulqsceohcesa-1 point. ———————————————————————————————- Exercice 1 2n 2n−(−1)n+ 1 1.limn’existe pas. n+ 3 n→+∞ 2.lim ln(n+ 1)−ln(n+ 2)n’existe pas. n→+∞ 3.lim sin(n)n’existe pas. n→+∞ n n 4.lim (−0,7) +(0,7)n’existe pas. n→+∞ Exercice 2 Onconside`reunesuitedere´els(u n ). 1. Unesuite(u n )tnideremneetevgrllenst-essai´eceorceetnassirsve+∞? 2. Unesuite(u n )divergente vers+∞ecssiaeremtnrcioest-ellen´e?etnass 3. Unesuite(u n )te?rgenonveentcrimeseas´nceleelt-eseen´orb 4. Unesuite(u n )sairementlveenr´secesgr-e-tle´reeidevontnjomasaiseentorc+∞?

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Exercice 3 2 Soientz 1 etz 2 bmonxuedlpmocserlusoesexelsdonti´’qeauitnolesz−4z+ 6 = 0. Dansleplancomplexemunidurep`ereorthonormal(O;~vu,~)stniopselere`idnscoon,M 1 etM 2 d’affixes respectivesz 1 etz 2 puisIle milieu du segment[M 1 , M 2 ]. 1. Lenombrez 1 +z 2 est imaginaire pur. 2. L’affixedu pointIest imaginaire pure. 3. Lesdroites(OI)et(M 1 M 2 )sont perpendiculaires. 4. LetriangleOM 1 M 2 ’enpast´sqeiual´trela. Exercice 4 3 2 SoitPlepolynˆomed´efiniparP(X) = 2X+X−5X+ 2. 1 1.Lesr´eels−2l’´ensdeionquat-,nos1lostoitu,P(x) = 0. 2 3x2x x 2. L’ensembleSitnodsellee´auqe´’lesoesdsrontilu2e+e−5e+ 2 = 0estS={ln 2,0}. 3 2 3. L’ensembleSoinuqta’le´seedr´nslleeolssiouted2(lnx(ln) +x)−5 lnx+ 2 = 0est   1 √ S=ee, ,. 2 e 3 2 4. L’ensembleSdsoestilusronlee´dsel´’leauqetion2 sinx+ sinx−5 sinx+ 2 = 0est   π5π π S=, ,. 6 6 2 Exercice 5 D’unsaccontenant10boulesnum´erote´esde1a`10,onextraittroisboulessimul- tane´ment. 1.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyaittoutescellesdusacdontle 2 num´eroestunmultiplede5est. 15 2.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyenaitauplusunedontlenum´ero 13 est un multiple de 5 est. 15 3.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyenaitaumoinsunedontle 8 num´eroestunmultiplede5est. 15 4.Laprobabilit´epourque,parmicestroisboules,ilyaittoutescellesdusacdontle 1 nume´roestunmultiplede3est. 60

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Exercice 6 Soientlessuitesnum´eriques(u n ) n∈ N et(v n ) n∈ N ´edietfinoouusrtpn∈ N paru 0 = 0, u n u n+1 =u n −1etv n = 3. 1. Lasuite(v n ).eeiruqoetmts´g 2. Lasuite(v n )est divergente. 1 3. Pourtout entiern >0, siS n =v 0 +v 1 +. . .+v n ,limS n =. 2 n→+∞ 4. Lasuite(w n )ottuopruiefin´edn∈ N parw n = ln(v n )irtee.euqeom´stg´ Exercice 7 2 Soit(u)´dfieinperaaslteuiu=−1et pour tout entiern1. n0 ,u n+1 =u n + 1. Lasuite(u n )est positive pour toutn∈ N . 2. Lasuite(u n )est croissante. √ 3.∀n∈ N ,u n ≤16 2. 4. Lasuite(u n )est convergente. Exercice 8 √ 2 1−cosx Soitflafonctiond´efiniesur R parf(x) = cosxe. 1.f(π−x)−f(x) = 0.   π 2. LepointI ,0errbouaceledrietedevitatnese´rpeeys´meredectntsnufdans un 2 repe`reorthonorm´e.   02 sinx 3.Lade´rive´edefestf(xcos) =x−sinx e. sinx 4. UneprimitiveFdefeperaniefid´stF(x) =e. Exercice 9   x−1 Soit la fonctionffin´epaierdf(x) = ln. 2 x−x−2 [ 1. Lafonctionfinseruets´dfie]−1,1[ ]2,+∞[. [ 2 2. Lafonctionf´’stuepreecrif(x) = ln(x−1)−ln(x−x−2)sur]−1,1[ ]2,+∞[. [ 1 1 1 0 3.f(x) =− −sur]−1,1[ ]2,+∞[. x−1x+ 1x−2 4. Lafonctionfest croissante sur]2,+∞[.

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Exercice 10 √ 2 1 +x−1 Soitffanoldne´tcoiiefinrsu R parf(x) =etf(0) = 0. x 1. Lafonctionfn’est pas continue en 0. √ 2 1 +x+ 1 0 2. Sur R ,f(x) = √ 2 2 x1 +x 3.limf(x) = 1. x→−∞ 4.Ladroited’e´quationy= 1acoue`alrbeetstptosamyCreprtatnese´edevif. Exercice 11 1. Lafonctionx→cos(4(x+ 1))e´ir´veeseltdaontiladencfox→cos(x+ 1) sin(x+ 1).   1 sinx 2. Lafonctionx→vie´´dretsalenioctonafeledx→ln. 2 sinx cosx+ 1   √ x 2 3. Lafonctionx→ − √ delefanotcoinelasterd´´eivx→lnx−1−x. 2 x−1 2 2 sin xsinx 4. Lafonctionx→(sin 2x)eedal´veeitnoofcnesri´eadtlx→e. Exercice 12 Z π Z π 4 4 2 3 Onconsid`erelesdeuxinte´gralesI= sinxcosxdxetJ= sinxdx. 0 0 Z π 4 2 1.2I= sinxcosxdx. π − 4 √ 2 2.I+J=−+ 1. 2 √ 4 +2 3.I=. 12 √ 5 2−8 4.J=. 12

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Exercice 13 Z x dt Soit la fonctionfleabeer´ellvaridelaxseinruefid´ R parf(x) =. 2 0 1 +t 1. Lafonctionfest paire. 2x 0 2. Onaf(x) =−. 2 2 (1 +x) 3. Lafonctionftd´eesssancroiretus R . 4. Pourtoutx∈]1,+∞[,f(x)<2. Exercice 14 Z 2 1.(|x−1|+|x|+|x+ 1|)dx= 0. −2 Z π 2.cos|x|dx= 0. −π 1 sinx 3. Lafonctionx→est une primitive de la fonctionx→sur l’intervalle 2 2   cosxcosx π π −,. 2 2 q √ 1 2 2 32 4. Lafonctionx→(1 +x)est une primitive de la fonctionx→x x+ 1sur R . 3 Exercice 15 ~ ~ ~ Soit(O, i, j, k)pse’lreedllaem`rpoenroohertitSoe.acPndlaeple`errepe(,uv~A~,)o`u ~ ~~ ~ ~ A(−1,1,2),~u=i+jetv~=i−j+k. ~ ~ ~ 1. Levecteur~w=i+j−2kn’est pas normal au planP. 2.L’e´quationcarte´sienneduplanPestx+y−2z+ 6 = 0. 3. LadroiteDpassant par le pointB(1,0,−1)et de vecteur directeur~wnfieiaprestd´e y+x−1 = 0etz+ 2x−1 = 0.   1 1 4. LeplanPet la droiteDse coupent au point−, ,2. 2 2

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