Etude analytique et numérique de l’apparition du plissement en  emboutissage
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Etude analytique et numérique de l’apparition du plissement en emboutissage

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èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 378 ETUDE ANALYTIQUE ET NUMERIQUE DE L’APPARITION DU PLISSEMENT EN EMBOUTISSAGE Joao Pedro DE MAGALHAES CORREIA, Gérard FERRON Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux (UMR 7554 CNRS) ISGMP, Université de Metz, 57045 Metz Cedex 01, France Résumé : L’apparition de plis au cours des procédés d’emboutissage des tôles métalliques est devenu un défaut fréquent en raison de la tendance vers une diminution de l’épaisseur, favorable à l’allégement des structures. Dans ce travail nous développons une étude analytique de l’apparition du plissement afin de déterminer des courbes limites de plissement pour une coque doublement courbée. Nous présentons ensuite les simulations par éléments finis obtenues pour un essai d’emboutissage de coupelle tronconique. Enfin nous comparons les résultats obtenus par éléments finis aux courbes limites de plissement déterminées analytiquement. Abstract: The development of wrinkles in sheet metal stamping processes is a defect which becomes more and more frequent, owing to the trend in decreasing sheet thicknesses,so as to decrease the weight of structures. In this work, an analytical study of wrinkling is first developed, which allows us to determine wrinkling limit curves for a doubly-curved shell. Finite element simulations of the conical cup test are then presented. The finite element results are finally compared with the predictions of the analytical ...

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Langue Français
XV
ème
Congrès Français de Mécanique
Nancy, 3 – 7 Septembre 2001
1
378
E
TUDE ANALYTIQUE ET NUMERIQUE DE L
APPARITION DU
PLISSEMENT EN EMBOUTISSAGE
Joao Pedro DE MAGALHAES CORREIA, Gérard FERRON
Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux (UMR 7554 CNRS)
ISGMP, Université de Metz, 57045 Metz Cedex 01, France
Résumé :
L’apparition de plis au cours des procédés d’emboutissage des tôles métalliques est devenu un défaut
fréquent en raison de la tendance vers une diminution de l’épaisseur, favorable à l’allégement des structures.
Dans ce travail nous développons une étude analytique de l’apparition du plissement afin de déterminer des
courbes limites de plissement pour une coque doublement courbée. Nous présentons ensuite les simulations par
éléments finis obtenues pour un essai d’emboutissage de coupelle tronconique. Enfin nous comparons les
résultats obtenus par éléments finis aux courbes limites de plissement déterminées analytiquement.
Abstract:
The development of wrinkles in sheet metal stamping processes is a defect which becomes more and more
frequent, owing to the trend in decreasing sheet thicknesses,so as to decrease the weight of structures. In this
work, an analytical study of wrinkling is first developed, which allows us to determine wrinkling limit curves for
a doubly-curved shell. Finite element simulations of the conical cup test are then presented. The finite element
results are finally compared with the predictions of the analytical wrinkling limit curves.
Mots clés :
plissement, emboutissage, anisotropie plastique
1 Introduction
Le plissement survient, lors d’une opération d’emboutissage, dans des régions de l’embouti
soumises à des contraintes compressives circonférentielles. Le plissement peut être assimilé à
du flambage plastique. Deux approches peuvent être utilisées pour modéliser et prédire
l’apparition du plissement. La première approche fait appel à des simulations numériques par
éléments finis de l’opération d’emboutissage ; l’autre s’appuie sur des études analytiques.
Dans ce travail, nous présentons tout d’abord une étude analytique du plissement d’une
coque doublement courbée. Cette étude s’appuie sur la fonctionnelle de bifurcation
développée par Hutchinson (1974) et nous permet de tracer des “ courbes limites de
plissement ”. Dans un deuxième temps nous simulons un essai d’emboutissage à l’aide d’un
code de calcul par éléments finis et nous comparons les résultats obtenus aux prévisions
analytiques antérieures.
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Congrès Français de Mécanique
Nancy, 3 – 7 Septembre 2001
2
2 Présentation du problème
Nous supposons une coque d’épaisseur h et de rayons de courbure principaux R
1
et R
2
.
Cette coque est soumise à un chargement biaxial de traction et/ou compression. Ce
chargement s’effectue hors des axes d’orthotropie (
x
1
,
x
2
). Nous supposons que le plissement
se développe suivant une direction privilégiée
p
1
d’orientation inconnue a priori. La figure 1
présente la géométrie du problème.
FIG. 1 :
Définition des axes et orientations
Les axes principaux de courbure sont notés (
k
1
,
k
2
), les axes principaux des contraintes
(
c
1
,
c
2
) et les directions de plissement (
p
1
,
p
2
). L’orientation des axes principaux de courbure
(
k
1
,
k
2
) est définie par l’angle
η
par rapport aux axes d’orthotropie. L’angle
α
définit
l’orientation des axes principaux de contraintes (
c
1
,
c
2
) et l’angle
δ
l’orientation la plus
favorable à l’apparition du plissement.
3 Courbes limites de plissement
3.1 Contrainte critique de plissement
Nous supposons un élément de coque soumis à un état de contraintes planes. Nous
effectuons une étude locale, pour laquelle les conditions aux limites sont négligées : la coque
est libre de tout contact et les conditions de raccordement avec le reste de la tôle ne sont pas
prises en considération. Nous adoptons le champ de vitesses de déplacement introduit par
Neale et Tugcu (1990). Pour un plissement possédant une amplitude faible et une longueur
d’onde courte par rapport aux rayons de courbure R
1
, R
2
mais grande devant l’épaisseur h,
Neale et Tugcu (1990) ont défini le champ de vitesses de déplacement suivant :
(
)
(
)
(
)
+
=
+
=
+
=
δ
δ
λ
δ
δ
λ
δ
δ
λ
sin
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
2
1
2
.
2
1
1
.
2
1
3
.
x
x
l
Ch
u
x
x
l
Bh
u
x
x
l
Ah
u
(1)
h
l
ρ
=
, le rayon de courbure
ρ
prenant soit la valeur R
1
ou R
2
;
A
,
B
,
C
sont des
constantes représentant l’amplitude du déplacement; (
x
1
,
x
2
) les coordonnées du point courant
η
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Nancy, 3 – 7 Septembre 2001
3
P dans le plan (
x
1
,
x
2
) et
λ
la longueur d’onde sans dimension. Nous utilisons la fonctionnelle
de bifurcation développée par Hutchinson (1974) qui est définie dans les axes de plissement
par l’expression :
dS
u
u
N
E
E
hL
K
K
L
h
u
u
F
S
j
i
ij
kl
ij
ijkl
kl
ij
ijkl
i
+
+
=
,
3
.
,
3
.
.
.
.
.
3
3
.
.
12
,
δ
δ
δ
(2)
où les indices
i
,
j
,
k
et
l
prennent successivement les valeurs 1 et 2.
δ
ijkl
L
désignent les
modules élasto-plastiques exprimés dans les axes de plissement (
p
1
,
p
2
). Le problème étant
posé en contraintes planes nous utilisons donc l’écriture réduite,
δ
ij
L
, des modules
élastoplastiques. En introduisant le champ de vitesses de déplacement 1, exprimé dans les
axes de plissement, dans la fonctionnelle 2, celle-ci s’écrit finalement sous la forme du
produit de matrices suivant :
[
]
t
u
M
u
Sh
F
=
3
2
1
(3)
u= (A, B, C)
est le vecteur des amplitudes de déplacement. Selon l’argumentation de
Neale et Tugçu (1990) la condition de plissement est obtenue à partir des deux équations :
[
]
0
M
=
det
et
[
]
0
det
=
λ
M
(4)
La contrainte de plissement s’obtient à partir des équations 4. La contrainte principale,
dans la direction
c
1
, s’exprime sous la forme suivante :
(
)
(
)
2
2
2
11
1
sin
cos
6
λ
α
δ
α
δ
ρ
σ
σ
δ
+
=
R
L
h
(5)
R
σ
est le rapport des contraintes principales
σ
1
/
σ
2
et
ρ
est égal à la courbure principale
R
1
ou R
2
. L’orientation
δ
du plissement intervient directement dans l’expression de la
contrainte critique. Celle-ci intervient également de façon indirecte par le fait que le module
tangent
δ
11
L
est exprimé dans les axes (
p
1
,
p
2
). Nous devons maintenant définir le
comportement des matériaux étudiés ainsi que les caractéristiques géométriques de la coque
étudiée, c’est à dire R
1
, R
2
et h.
3.2 Géométrie étudiée
FIG. 2 :
essai d’emboutissage étudié par Ellagoune et Boivin (1988)
Afin de pouvoir comparer nos prévisions avec des résultats expérimentaux, nous nous
plaçons dans les conditions géométriques de l’essai d’emboutissage de coupelle tronconique
(figure 2) étudié par Ellagoune et Boivin (1988). Nous avons déterminé, pour le brin libre et
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4
compte-tenu de l’outillage utilisé, les valeurs des rayons de courbure principaux. Pour tracer
les courbes limites de plissement dans le plan des contraintes principales (
σ
1
,
σ
2
), nous
balayons un ensemble d’états de contrainte qui sont susceptibles d’être rencontrés le long du
profil de l’embouti au cours de l’essai. Nous utilisons le modèle de plasticité proposé par
Ferron
et al
(1994) pour décrire le comportement anisotrope des matériaux étudiés. Ce
modèle s’appuie sur une représentation paramétrique de la surface de charge dans le plan des
contraintes principales (
σ
1
,
σ
2
).
3.3 Résultats
Dans un procédé d’emboutissage axisymétrique, comme l’essai d’emboutissage de
coupelle tronconique (figure 2), nous pouvons supposer que les axes principaux de contrainte
coïncident avec les axes principaux de courbure (
α
=
η
). Le plissement est susceptible de se
produire, lors de l’essai d’emboutissage de coupelle tronconique, sur la partie supérieure du
brin libre de l’embouti. La valeur R
2
= 140 mm correspond à cette zone du flan. Il convient de
noter que le profil avant plissement du flan, dans la zone du brin libre, n’est pas rectiligne
mais présente un gonflement dans sa partie supérieure. Cet effet, déjà observé
expérimentalement par Havraneck (1977), sera confirmé dans les simulations numériques du
paragraphe 4. La valeur R
1
= 95 mm correspond à ce gonflement. Nous présentons, figures 3
et 4, les courbes limites de plissement obtenues dans les conditions énoncées ci-dessus.
-200
-150
-100
-50
0
50
0
100
200
300
400
500
-200
-150
-100
-50
0
50
0
100
200
300
400
500
R = 0,5
R = 1
R = 2
R = 4
η
= 0° et
α
= 0°
σ
1
(MPa)
σ
2
(MPa)
FIG. 3 :
courbes limites de plissement, matériaux à anisotropie normale, théorie de
l’écoulement; h = 0,7 mm, R
2
= 140 mm, R
1
= 95 mm,
σ
0
= 100 MPa et K = 400 Mpa
Les courbes limites de plissement, figure 3, ont été obtenues pour différents matériaux
modèles dont le comportement est isotrope dans le plan. Les valeurs du coefficient de
Lankford R ont été choisies égales à 0,5, 1, 2 et 4. Nous pouvons voir que le niveau de la
contrainte critique de plissement diminue peu avec l’augmentation du coefficient de Lankford
R. Pour visualiser l’influence de l’anisotropie plane, nous avons choisi un matériau orthotrope
modèle dont les coefficients d’anisotropie plane sont égaux à R
0
= 2, R
45
= 1.5 et R
90
= 3
(valeurs représentatives d’un acier d’emboutissage). Nous avons tracé, figure 4, les courbes
limites de plissement obtenues dans la direction de laminage (
α
= 0°), diagonale (
α
= 45°) et
transverse (
α
= 90°). Nous constatons que l’état de contrainte critique varie faiblement en
fonction de l’orientation par rapport aux axes d’anisotropie plane. En conclusion,
l’anisotropie du matériau a une faible influence sur le niveau de la contrainte critique
d’apparition du plissement.
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5
-200
-150
-100
-50
0
50
0
100
200
300
400
500
-200
-150
-100
-50
0
50
0
100
200
300
400
500
R
0
= 2, R
45
= 1,5 et R
90
= 3
η
= 0°
η
= 45°
η
= 90°
η
=
α
σ
1
(MPa)
σ
2
(MPa)
FIG. 4 :
courbes limites de plissement, matériau à anisotropie plane, théorie de
l’écoulement; h = 0,7 mm, R
2
= 140 mm, R
1
= 95 mm,
σ
0
= 100 MPa et K = 400 Mpa
4 Simulations par éléments finis
Nous présentons dans ce paragraphe les résultats obtenus avec le code ABAQUS/Explicit.
Le matériau a été modélisé à l’aide du critère de plasticité de von Mises. Nous avons, tout
d’abord, observé que la zone du brin libre, sur laquelle surviendra le plissement, est l’objet
d’un gonflement visible pour un enfoncement h = 34,94 mm. Nous visualisons, figure 5,
l’évolution de la coordonnée suivant l’axe d’enfoncement,
z
, pour les noeuds se situant
initialement sur un même rayon.
-15,0
-12,5
-10,0
-7,5
-5,0
-2,5
0,0
0
1
5
3
0
4
5
6
0
7
5
9
0
-15,0
-12,5
-10,0
-7,5
-5,0
-2,5
0,0
position angulaire (en degrés) des noeuds se situant sur un rayon r
h = 0,55 mm
h = 15,73 mm
h = 34,94 mm
h = 52,00 mm
h = 3,63 mm
h = 22,13 mm
h = 41,33 mm
h = 9,34 mm
h = 28,53 mm
h = 47,73 mm
coordonnée suivant l'axe
z
FIG. 5 :
évolution de la coordonnée suivant l’axe z suivant un rayon de l’embouti
La coordonnée z est uniforme, par rapport à la position angulaire des noeuds, jusqu’au
moment où celle-ci prend la forme d’une sinusoïde dont l’amplitude augmente au fur et
mesure de l’enfoncement. Ce changement de forme marque l’apparition du plissement. La
bifurcation est détectée pour un enfoncement h = 41,33 mm.
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6
-400
-300
-200
-100
0
100
200
-200
-100
0
100
200
300
400
-400
-300
-200
-100
0
100
200
-200
-100
0
100
200
300
400
noeud n°308
noeud n°608
σ
1
(MPa)
σ
2
(MPa)
FIG. 6 :
évolution des noeuds 308 et 608 au cours de l’emboutissage du flan à partir des
simulations en éléments finis avec ABAQUS/Explicit
Prenons deux des noeuds précédents, l’un sur le sommet d’un pli (noeud numéro 308) et
l’autre dans la vallée (noeud numéro 608), et traçons pour ces deux noeuds les états de
contrainte dans le plan des contraintes principales (
σ
1
,
σ
2
). Nous obtenons, figure 6, les
évolutions de l’état de contrainte de ces deux noeuds durant l’essai. Nous observons que les
évolutions de l’état de contrainte des noeuds 308 et 608 sont identiques jusqu’au moment ou
celles-ci se séparent brutalement. Le point de séparation définit une bifurcation correspondant
à l’apparition du plissement. Nous avons, par ailleurs, reporté la courbe limite de plissement
discutée au paragraphe 3. Cette courbe, issue de notre modèle analytique, permet de prévoir
avec une bonne précision l’apparition du plissement telle qu’elle est observée dans les
simulations par éléments finis.
5 Conclusion
Les courbes limites de plissement semblent montrer que l’anisotropie du matériau a une
influence négligeable sur le niveau de la contrainte critique de plissement. Les simulations par
éléments finis réalisées avec le code ABAQUS/Explicit permettent de visualiser l’apparition
du plissement. De plus le niveau de contrainte prévu à l’aide des courbes limites de
plissement est en concordance avec celui prévu par les simulations numériques.
Références
Ellagoune, S. et Boivin, M. 1988 Critère d’apparition des plis en emboutissage,
Revue de
Métallurgie
,
85
, pp. 211-221.
Ferron, G., Makkouk, R. et Morreale, J. 1994 A parametric description of orthotropic
plasticity in metal sheets,
Int. J. Plasticity
,
10
, p. 431-449.
Havraneck, J. 1977 The effect of mechanical properties of sheet steels on the wrinkling
behaviour during deep drawing of conical shells,
J. Mech. Working Technology
,
1
, pp. 115-
129.
Hutchinson, J.W. 1974 Plastic buckling,
Advances in Applied Mechanics
,
14
, p. 67.
Neale, K.W. et Tugcu, P. 1990 A numerical analysis of wrinkles formation tendencies in
sheet metal forming,
Int. J. for Numerical Methods in Engineering
,
30
, pp. 1595-1608.