Étude d’associations de plaques poreuses au moyen des termes de Transition.

Serge

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• Langue: Catalan

Extrait

Détermination des résonances d'une plaque poreuse
saturée d'eau obéissant à la théorie de Biot.
satur

Cas de pores ouverts ou obturés sur ses faces.é
Serge Derible, Hervé Franklin. LOMC, Université du Havre.

Cibles utilisées :
Plaque élastique (Aluminium);

Plaque poreuse : (pores ouverts);
Générateur
Plaque poreuse : (pores obturés).
d’impulsions.

Face 1
Dispositif d'enregistrement des signaux réfléchis et transmis :
L'onde incidente sur la face 1 est la référence de phase pour la
réflexion et la transmission.Théorie de la Diffusion Résonnante (Années 70).é
2
Plaque
iCC 
 
CC
AS
AS
R,T
élastique :
CCiiCCii

AS AS
C , C et  dépendent de la fréquence  et des caractéristiques de la
A S
plaque et du fluide environnant.


Résonances symétriques, solutions de :C0i
S
Résonances antisymétriques, solutions de :+i  
A
Au voisinage d’une résonance, R( ) et T( )
se mettent sous la forme "Breit-Wigner" .
K

BW ω

Une résonance élastique est caractérisée
ω- ω
par : Sa fréquence : 
0
0,
1+ i


Γ/2

Sa largeur : 

Son amplitude : K=1.
Théorie de la Matrice S (Années 50).

Termes de Transition (2001).
La matrice S du système immergé : é :

RT T
S=

TR

C i 
 
S
R
RT
Les termes de transition sont issus des
C i 

S
valeurs propres de S :
TT = (R -T)-1 /(2i)

Asym
TT = (R +T)-1 /(2i)
Sym
C i 
C +i 
 
 
A
S
RT
RT
C i 

C i 

A
S
Chaque terme TT , TT est relié à la symétrie du mouvement des faces
Asym Sym
extrêmes du système.

Théorie de Biot (1956). Plaque poreuse QF-20.é-
R 
A chaque interface :
uw
u 
zz

0z
x

0
d
P P iw


0 f sz

0  

xz



P 
z
 0 
zz
T

Le coefficient traduit le degré d’ouverture des pores d’une face:
s

  
pores ouverts :
s
pores obturés :   0
sCoefficients R et T, termes de Transition.
Malgréé sa complexité (11 paramètres), la théorie de Biot permet une mise en
forme pour R et T , analogue à celle obtenue pour une plaque élastique.


   

1
S  A 

1 CCCC CCCC
SF12S SF2 S1 AF12A AF2 A1 R 

obturés
R

ouverts    2
SA
2CC CCCC
SF12S SF2 S1 AF1 A2 AF2 A1

 1 
SA
CC CCCC CC
1
T 
SF12S SF2 S1 AF12A AF2 A1
obturés
T
ouverts 2
SA
2CCCCCC
SFS SF2 S1 AF1 A2 AF2 A1
 
CC
SS 122S1

Les indices des expressions etc…, traduisent CC,,C,C,,
SF12S AF2 A112
de quels paramètres elles dépendent : é
de la symétrie des mouvements des faces (A,S), é
de la partie fuide (F) , ou de la partie solide (S), (F

de l’onde rapide (1) ou de l’onde lente (2).
Les termes de transition, en R+T et R-T, conservent leurs propriétés.Détails des expressions : plaque élastique
Plaque Paramééèèlastique tres :
R 
 , 
1
 , c
1 1


 ,  (Lamé)
x

, c c
0
L, T
d



2

fdc
2
1
 
 sin   , c


1 1
z
cc
1L

T
2
2

fdc
2
1

 1c
2
11
 sin 


 sin 



cc
 cos  c
1T 
 L
2
C cot  cot 
  
 c

S
2
T
cos 2 sin 2sin 2
 
    

C tan  tan 
 c 

A
L
 Détails des expressions : plaque poreuse
Paramètres :
Param
R 
 , c
 ,  , c
1 1
S F 1


K , K , µ,  H, C, M
s b
x
 ,  , 
t 1 2 0
d


Perméabilité : k,


Tortuosité : 

 
z
Porosité : 
T

Les vitesses de propagation des 3 ondes  ,  , 
1 2
t

ne sont pas reliées aussi simplement aux masses volumiques du fluide et du ées aussi simplement aux masses volumiques du fluide et du
solide. La théorie de Biot introduit des masses volumiques effectives é
qui dépendent de la fréquence. équence.

2
2
2



t
1 2
Ainsi : HCHC  
1122
2
t 2
2
Détails des expressions

d

fp
22 2
CK2cotK

SFp t t x pz
 2

t

d

fp
22 22tan
AFp t t x pz
 2

t


dd 
p
2222
CK4cKotK KKcotK


Sp x tz pzz t x t x pz
22
 
t
K
pz2 2
0
21KK1

 
pttxpxt

 K
tz0
22 2222
 
p ptxpxtt

22 2
2
KK
 
KKtx 1 xt
11zz11 t
 
22 2K KK 2
KK

2222tx 2 xtModèle équivalent :
1°) plaque poreuse à pores obturés.

Il n’y a pas d’onde lente quand les pores des faces sont obturés.

De plus :  1
12
1Ci  1 
A11 S  A 
TT  1 R 

A,obturés obturés
2iC i 2
A SA
Les expressions avec l  ’indice 2 disparaissent des expressions de
T
R
et
et
obturés
obturés
Les termes de transition se simplifient alors en :

1Ci 

1Ci 
A11
S11
TT  1
 TT  1
A,obturés


S,obturés
2iC i
T 2iC i
obturés A
S11


qui ont la même forme que les termes de transition d’une plaque
viscoélastique. é
Une plaque poreuse dont les pores sont obturés a le comportement
acoustique d’une plaque viscoélastique.Modèle équivalent :
2°) plaque poreuse à pores ouverts.

Il y a couplage des mouvements de la matrice solide et du fluide dans les dans les
pores de la plaque.

Mais la matrice S de la plaque poreuse se factorise en :
F P
SSS
ouverts
où :
où

F
est la matrice S d’une plaque fluide avec viscosité
S
(paramètres liés à l’onde lente). ètres lià l


P’une plaque viscoélastiqueélastique
S
(paramètres liés aux ondes rapide et transverse).ètres li
Une plaque poreuse, dont les pores sont ouverts, exhibe simultanément
le comportement acoustique d’une plaque viscoélastique
et celui d’une plaque de fluide visqueux.