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Étude d'une équation aux différences

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Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invarianteÉtude d’une équation aux différencesAntoine GerbaudÉcole Centrale de Lyon3 Mai 2010ème9 Colloque des jeunes probabilistes et statisticiensMont DoreÉtude d’une équation aux différences1 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante1 Modélisation des réseaux d’interactions2 Chaîne homogène3 Probabilité invarianteÉtude d’une équation aux différences2 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante1 Modélisation des réseaux d’interactions2 Chaîne homogène3 Probabilité invarianteÉtude d’une équation aux différences3 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invarianteRéseaux d’interactionsUn réseau d’interactions est constitué d’éléments qui interagissent lesuns avec les autres de façon individuelle.Le réseau d’interactions typique est le réseau social, où des individussont reliés les uns aux autres suivant les liens sociaux que cesindividus entretiennent : liens familiaux, liens d’amitiés ou liensprofessionnels par exemple.Un réseau d’interactions est naturellement représenté par un graphe,les éléments constituant les sommets du graphe et les interactionsentre les éléments ses arêtes.Étude d’une équation aux différences4 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invarianteRéseau socialFIGURE: Réseau de collaborations d’ingénieurs de ...

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Langue Français

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Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Étude d’une équation aux différences
Antoine Gerbaud
École Centrale de Lyon
3 Mai 2010
ème
9 Colloque des jeunes probabilistes et statisticiens
Mont Dore
Étude d’une équation aux différences
1 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
1 Modélisation des réseaux d’interactions
2 Chaîne homogène
3 Probabilité invariante
Étude d’une équation aux différences
2 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
1 Modélisation des réseaux d’interactions
2 Chaîne homogène
3 Probabilité invariante
Étude d’une équation aux différences
3 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Réseaux d’interactions
Un réseau d’interactions est constitué d’éléments qui interagissent les
uns avec les autres de façon individuelle.
Le réseau d’interactions typique est le réseau social, où des individus
sont reliés les uns aux autres suivant les liens sociaux que ces
individus entretiennent : liens familiaux, liens d’amitiés ou liens
professionnels par exemple.
Un réseau d’interactions est naturellement représenté par un graphe,
les éléments constituant les sommets du graphe et les interactions
entre les éléments ses arêtes.
Étude d’une équation aux différences
4 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Réseau social
FIGURE: Réseau de collaborations d’ingénieurs de Boston
Étude d’une équation aux différences
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Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Modèle à seuil
Le modèle à seuil est un modèle de réseaux d’interactions par
graphes aléatoires.
Ce modèle engendre un processus aléatoire croissant G den n 1
graphes simples tels que pour tout entier n 1, l’ensemble des
sommets de G est n . Ce processus dépend de trois paramètres :n
une loi de probabilitéh surR muni de la tribu de ses boréliens ;
une fonction mesurable f deR dansR ;
un nombre réel r.
Durant ce court exposé,
h 1 p d pd0 a
aveca 0 nombre réel et p dans 0;1 . De plus, pour tout nombre
réel x 0,
xf x x 1 e :
Étude d’une équation aux différences
6 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Réalisation
FIGURE: Réalisation de G100
Étude d’une équation aux différences
7 / 22Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
1 Modélisation des réseaux d’interactions
2 Chaîne homogène
3 Probabilité invariante
Étude d’une équation aux différences
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Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Définition
Definition
La suite A est constituée de variables aléatoires indépendantesn n 2
identiquement distribuées de loih.
La chaîne de Markov suivante, appelée chaîne homogène, est l’objet
de notre exposé.
Definition
La chaîne homogène est la chaîne de Markov homogène U àn n 1
valeurs dansR définie par U 0 et pour tout entier n 2,1
Un 1U A U 1 e :n n n 1
Étude d’une équation aux différences
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Modélisation des réseaux d’interactions Chaîne homogène Probabilité invariante
Degré moyen du premier sommet
Deux sommets reliés par une arête sont dits voisins. Le degré d’un
sommet est le nombre de ses voisins. Le degré moyen du sommet 1
dans G est donné par la proposition suivante.n
Proposition
Soit N la chaîne de Markov à valeurs dansN définie par N 0n n 0 0
et pour tout entier n 1,
n
N B :n k
k 1
Pour tout entier n 1 et tout nombre réel r,
E deg 1 n P U r 1 r 0 :NG nn
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