Etude de la stabilite des solutions du probleme de traction en electro -elasticité non lineaire

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èmeXV Congrès Français de Mécanique Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 544 ETUDE DE LA STABILITE DES SOLUTIONS DU PROBLEME DE TRACTION EN ELECTRO-ELASTICITE NON LINEAIRE Jean-François CARON, Nor Edine ABRIAK Ecole des Mines de Douai 941, rue Charles Bourseul - 59508 Douai cedex Résumé : Le problème de traction non linéaire en électro-élasticité statique peut admettre plusieurs solutions. Cette éventuelle multiplicité est due à la propriété d’objectivité. Cette propriété rend possible de prendre en compte toutes les solutions et permet l’étude de leur stabilité dans leur ensemble. Il en résulte une classification. Non seulement cette théorie permet de prévoir l’éventuelle existence d’une solution stable, mais elle permet aussi de prévoir qu’une solution instable au sens de l’élasticité pure puisse devenir, grâce à l’effet du champ électrique, stable au sens de l’électro-élasticité. Abstract : The non linear electro-elasticity static traction problem can admit several solutions. This eventual multiplicity comes from the objectivity property. This property makes it possible for us to take into account all the solutions and permits to study their stability in the aggregate. There results a classification. Not only can this theory anticipate the eventual existence of a stable solution, it can also anticipate that an unstable solution in terms of the elasticity can, thanks to the effect of an electric field, become stable in terms of electro-elasticity. Mots ...

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XV ème Congrès Français de Mécanique 

Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 

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E  R A C T I O N T E U P R O B L E M E D S O L U T I O N S D S T A B I L I T E D E S D E L AT U D E E N E L E C T R O -  I N E A I R E O N L NE L A S T I C I T E  

Résumé :

Jean-François CARON,   Nor Edine ABRIAK  

Ecole des Mines de Douai

941, rue Charles Bourseul - 59508 Douai cedex

Le problème de traction non linéaire en électro-élasticité statique peut admettre plusieurs solutions. Cette éventuelle multiplicité est due à la propriété d’objectivité. Cette propriété rend possible de prendre en compte toutes les solutions et permet l’étude de leur stabilité dans leur ensemble. Il en résulte une classification. Non seulement cette théorie permet de prévoir l’éventuelle existence d’une solution stable, mais elle permet aussi de prévoir qu une solution instable au sens de l’élasticité pure puisse devenir, grâce à l’effet du champ électrique, ’ stable au sens de l’électro-élasticité.

Abstract :

The non linear electro-elasticity static traction problem can admit several solutions. This eventual multiplicity comes from the objectivity property. This property makes it possible for us to take into account all the solutions and permits to study their stability in the aggregate. There results a classification. Not only can this theory anticipate the eventual existence of a stable solution, it can also anticipate that an unstable solution in terms of the elasticity can, thanks to the effect of an electric field, become stable in terms of electro-elasticity.

Mots clés :

problème de traction, électro-élasticité, stabilité

1 Introduction

Dans le cadre de l’électro-élasticité, le problème de traction non linéaire statique en petites déformations peut admettre plusieurs solutions. Cette éventuelle multiplicité est due à la propriété d’objectivité. Celle-ci permettant de prendre en compte une certaine action du groupe des rotations sur les équations de l’équilibre et par conséquent sur l’espace des configurations et sur l’espace des forces, elle permet d’effectuer la recherche des solutions du problème au voisinage de chacune des solutions triviales. Le problème de traction présente, dans la plupart des cas, plusieurs solutions. Ce papier traite de l’étude de la stabilité de celles-ci. Ces solutions peuvent être exprimées comme points critiques de la fonction énergie potentielle et on traduit alors leur instabilité en terme de dégénérescence de la forme quadratique définie par la différentielle seconde de cette fonction. La propriété d’objectivité permet à nouveau de prendre en compte toutes les solutions de la théorie non linéaire et permet alors l’étude de leur stabilité dans leur ensemble.

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2 Problème de traction non linéaire

Nancy, 3 – 7 Septembre 2001 

Un diélectriqueΩ, de frontière∂Ω, est soumis à des forces d’origine mécanique ainsi r qu’à des forces d’origine électrique engendrées par la présence d’un champ électriqueE. Ces forces sont représentées par des couples l r m = ( F r m , r τ m   ) et r l e = ( r F e , r τ e ) , où r r gnent  F m et F e dési les forces volumiques d’origines respectives mécanique et électrique, et r τ m  et r τ e  les forces surfaciques. On introduit un opérateurΦdéfini par : C ( × φ r P ) → a L ( m ⊕L e P P r ) ( P P r 1)  ( N : Φ ,Π −DIV X m , m N ,−DIV X e , e ) où désigne l’ensemble des configurations (ou déformations) du matériauΩ,

C r  Pdésigne l’ensemble des champs de vecteursΠde polarisation,  L m ⊕L e  la somme des espaces des forces d’origines respectives mécanique et désigne  électrique de résultante nulle surΩ,  P m etP e  désignent les composantes respectivement mécanique et électrique du premier  tenseurPde PIOLA-KIRCHHOFF, défini par : ∂W  P=2 ∂F . ( )   Le problème de traction peut alors être traduit en ces mots : pour un couple de forces ( F r m , r τ m , ) F r ( e , r τ e   ) deL m ⊕L e fixé,         φ,Π r est solution de (E) ⇔ Φ φ , Π r = ( F r m , r τ m , ) r F ( e , r τ e . )  (3) La propriété d’objectivité permet d’établir r r ∀Q∈SO(3)ΦQφ, Q ΦΠ =QΠ φ (4), . En supposant que le couple ( 1 Ω ,Π r 0   ) est solution du problème trivial, oùΠ r 0 est un champ de polarisation non nul, ce qui se traduit par : Φ ( r ) r r 1 Ω ,Π 0 = (5)0,0 , on peut alors dire que les couples ( Q1 Ω , QΠ r 0 ) , Q∈SO(3), sont aussi solutions. Une hypothèse forte dite “d’ellipticité” sur la formeω sur les espaces tangents définie 2 T 1 C×T r Ppar : Π 0 A A A A A  ζζ ζ ω ( , ζ , ) ( ' , ζ ' ) = : ∂ 2 F 2 :' W + : ∂ F 2 W ⋅ζ ' ∂ ⋅+ 2 W F :A' ∂ + 2 ⋅ W 2 ' ⋅ (6) ∂ ∂ ∂Π ∂Π∂  ∂Π qui est :  il existe un r ε >  our0 e A tous A, ζ ζ     ωA,ζ ,, A'ζ' ée ≥ l    ε 1 ( e A lt + qu A T p , ) ×     ζ 1 ( A'+ ,' A' T ', , ) '   ζ  (7) 2 2

permet d’affirmer qu’au voisinage des solutions triviales, le problème de traction admet 1 ou 2 ou encore 4 solutions suivant la géométrie des forces appliquées au diélectrique (Abriak et al., 2000).

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3 Notion de stabilité r r Si l r = ( l m , l e ) représente les forces soumises au matériau et φ est une configuration telles r queφ,Πsoit solution du problème de traction, alorsφun extremum local de la fonctionest énergie potentielle :   V l r ( φ ) = ∫ W(F,Π r d)X−l r ,φ, (8) Ω r où l ,φreprésente le travail des forces extérieures défini par : r ( r r ) ( ) l ,φ = ∫ F m +F e ⋅φ ( X d ) X+ r ∫ τ m + r τ e ⋅φ ( X d )  (9)A . Ω ∂Ω On dit queφest stable lorsqueφréalise un minimum local dansCde cette énergie. Pour déterminer la stabilité d’une solution ( φ 0 ,Π r 0 , ) on considère la différentielle seconde de l’énergie potentielle : 2 2 C→R T φ r r 2 r r . (10) r : 0 D φ 0 V l 0 ( u v ) →D φ V r l u ( v ) , 0 0 , La stabilité sera obtenue si la forme quadratique associée r u∈T φ 0 C→D 2 φ 0 V λ r l 0 ( u r , r u )  est définie positive. Dans le cas contraire,φn’est pas stable, et on appellera indice d’instabilité deφ dimension du plus grand sous espace vectoriel des la r u∈T φ C sur lequel la forme quadratique est négative. Par convention l’indice 0 correspondra au cas de la stabilité deφ.   On peut remarquer que d’après la propriété d’objectivité, on a : ∀Q∈SO ( 3 ) W ( Qφ 0 , QΠ r 0 ) =WφΠ ( 0 , r 0 = ) c te , (11) ce qui signifie que l’énergie emmagasinée est constante sur l’orbiteΘ φ 0 deφ 0 . Par conséquent, on décompose l’espace tangent T φ 0 Cen ⊥ φ 0 . (12)

T φ 0 C =T φ 0 Θ φ 0 ⊕T φ Θ 0

4 Etude sur les différents espaces    ⊥ * Sur T φ 0 Θ φ 0 : r r D’après l’hypothèse (7) et un critère de continuité de l→l ,φ 2 r r r r φ 2 0 r ,≥ ε 2 T 1 ∇ + ∇, D V l 0 ( u u ) Ω ∫ u u M 3 dX ce e D 2 φ 0 V l est ⊥ qui signifie qu r 0  définie positive sur T φ 0 Θ φ 0 . * Sur T φ 0 Θ φ 0 :

, on établit que :

Sur l’orbite deφ 0 , l’énergie potentielle peut s’écrire sous la forme :

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(13)

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V l r 0 ( Qφ 0 ) =c te −l r 0 , Qφ 0 . (14) r r r Puisque les forces l= ( l m , l e   ) sont supposées petites, la déformationφ 0  proche d’une est 2 r rotation Q, et, par un critère de continuité, on peut affirmer que la forme quadratique D φ 0 V l 0   possède les mêmes propriétés que la forme quadratique D 2 Q V r l . 0 On peut démontrer que pour tout élément WQ∈T φ 0 Θ φ 0 , où W est une application linéaire antisymétrique deR 3 surR 3  xvérifiant pour tout r ∈R 3  W r x= ω r ^ r x , etφ 0 = on a :Q , D φ 2 0 V l r 0 ( WQ ) =q m ( ω r ) +q e ω r ( , ) (15) où q m et q e sont deux formes quadratiques définies par :  q r Tr ( QA m ) 1- QA m ω r , ω r   m :ω →  q e :ω r →Tr ( QA e ) 1- QA e ω r , ω r , (16) A m et A e représentant respectivement les transformations linéaires A m =k m ( r l m ) = ∫ r F m ( X ) ⊗O → XdX+ r τ ∫ m X ( ⊗ ) → OXdA , Ω ∂Ω r r → → A e =k e l e = ∫ F e ( X ) ⊗OXdX+ r τ e ∫ X ( ⊗ ) OXdA , (17) Ω ∂Ω Tr ( QA m   ) et Tr ( QA e   ) représentant respectivement les traces de QA m et QA e .   Pour examiner la stabilité de la solutionφ 0  q , il est donc nécessaire d’étudier les formes m et q e représentées par les transformations Tr ( QA m 1 ) -QA m et Tr ( QA e ) 1-QA e . Puisque le matériauΩ aux contraintes est supposé à l’équilibre, la résultante et le soumis moment résultant des forces surΩsont nuls, ce qui implique que les transformations linéaires r r A m =k m l m  et A e =k e l e  sont symétriques. Pour chaque transformations, il existe alors une base dans laquelle leurs matrices sont diagonales. Notons a, b, c et a’, b’, c’ les valeurs propres respectives de A m  A et e se placera, pour la suite, dans le cas où a, b, c sont. On distinctes et non opposées deux à deux, ainsi que a’, b’, c’.   Etude de la forme q m : Sous ces dernières conditions imposées aux forces, il y a quatre possibilités pour la rotation Q, qui sont les trois rotations d’angleπ de chacun des vecteurs propres et autour l’application identique. On peut se référer à (Chillingworth et al., 1982). Pour chaque possibilité, on donne la matrice de Tr ( QA m 1 ) -QA m  relativement à la base des vecteurs propres de  A m : Pour Q 0 =diag(1,1,1)=1, Tr ( QA m 1 ) −QA m =diag(b+c, a+c, a+b) Pour Q 1 =diag(−1,− Tr1,1) , ( QA m 1 ) −QA m =diag(−b+c,−a+c,−a−b) Pour Q 2 = diag ( − 1,1, − 1 ) , Tr ( QA m 1 ) −QA m =diag ( b−c,−a−c,−a+b )   Pour Q 3 =diag ( 1,−1,−1 ) , Tr ( QA m 1 ) −QA m =diag ( −b−c, a−c, a−b . )  (18)

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Les valeurs propres a, b, c étant distinctes et non opposées deux à deux, on peut pour des raisons de symétrie supposer  a 〈 b 〈c . 8 cas se présentent alors :          a〈0〈b c〈a〈0〈b c〈a〈0〈b c〈a〈b〈0 c〈a〈b〈0 c〈a〈b〈0 c〈     

  indice de Q 0     indice de Q 1     indice de Q 2     indice de Q 3  

0〈a〈b c〈 et a〈         0         1         2         3

b〈a          3          0          1          2

et et et b〈c b〈a〈c b〈c〈a c〈                  0 1 2                          1 0 0                          2 2 1                          3 3 3   TAB.1 :Table des indices 

et b〈c〈a          2          0          1          3

et b〈a〈c          1          0          2          3

a〈b〈c 0〈

        3         0         1         2

  La matrice de Tr ( QA m 1 ) -QA m chaque cas, l’indice de Q est alors leétant diagonale dans nombre de valeurs strictement négatives de la diagonale. Lorsque a〈b〈c , l’indice de  Q 0 est zéro, donc  Q 0  Q est stable. Dans les autres cas, c’est 1 qui est stable, c’est à dire la rotation d’angleπautour de l’axe défini par le vecteur propre dont la valeur propre associée est la plus grande (ici la valeur c). Pour la seconde forme quadratique q e , l’étude est identique.   4 Stabilité sur l’espace entier au sens de l’électro-élasticité    Afin de conclure pour la forme quadratique  q = q m + q e , il faut considérer les deux problèmes suivants : r r

* l’indépendance des forces  l m et l e  implique d’une part l’indépendance des bases dans lesquelles A m =k m ( l r m )  A et e =k e ( l r e )  diagonalisables, et d’autre part l’indépendance sont des valeurs propres a, b, c de A m  Aavec les valeurs propres a’, b’, c’ de e . * la propriété d’objectivité deΦla rotation Q soit identique pour chacune des que  impose deux formes q m et q e . D’où la situation dans laquelle on puisse faire une lecture immédiate à partir du tableau ci- dessus (le tableau relatif à la charge électrique étant similaire), est celle où les deux formes quadratiques sont toutes deux définies positives. Deux cas se présentent : 1 er  cas : Si les valeurs propres de  A m , et respectivement celles de  A e , sont rangées dans le même ordre que leurs valeurs absolues, alors la solution voisine de Q 0 =1est stable. 2 eme  S’il existe un vecteur : cas  u r  A  soit simultanément vecteur propre de qui m  A  et de e , alors la solution voisine de Q=Q ( r u,π  )  Aest stable à condition que la valeur propre de m   correspondante à r  A  et simultanément la valeur propre deu , e , est la plus grande valeur dans l’ensemble des valeurs propres de A m  A, respectivement de e . Dans le cas où une des deux formes quadratiques n’est pas définie positive, la forme q peut être définie positive si l’autre a un effet compensateur.

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Par exemple, si les charges r l m et r l e  A sont telles que m =k m ( l r m ) et A e =k e l r e (  s ) oient diagonalisables dans la même base, de valeurs propres associées respectives a, b, c et a’, b , c’ ’ où a〈0〈b c〈avec b a〈c〈et 0 a≤' b'〈c'〈  Q , alors la solution voisine de 0 =1n’est pas stable relativement à la forme quadratique  q m  q mais, par contre, l’est relativement à e . Dans cette base, la forme quadratique q=q m +q e  représentée par la matrice diagonale est diag ( b+c+b'+c'; a+c+a'+c'; a+b+a'+b' ) . Ici b+c〉0, b'+c'〉0 donc b+c+b'+c'〉0 ; de même a+c〉0, a'+c'〉0 donc a+ c + a' + c' 〉 a Par contre0 .+b〈0 et a'+b'〉 Si on pose, par0 . hypothèse, a'+b'〉a+ alorsb ,  a + b + a' + b' 〉 D’où la forme quadratique q est définie0 . positive. On peut aussi imaginer le cas dans lequel les deux formes quadratiques ne sont pas définies positives, bien que la forme quadratique q le soit. Pour mettre en évidence un tel exemple, il est suffisant de poser les conditions 0〈a〈b c〈et a'〈b'〈c'≤0 avec b'−c'〉b− bc ,−a〉b'−a' et a'+c'〉a+ les matrices diagonalesc pour  A m = diag ( a, b, c ) et A e = diag ( a' , b' , c' ) exprimées dans la même base. Pour la rotation Q 2 , l’indice de q m et q e sont respectivement égaux à 2 et 1 (voir la table), c’est à dire que la solution voisine de  Q 2  pas stable ni en terme n’est d’élasticité ni en terme électrique, mais puisque la forme q=q m +q e  représentée par la est matrice diagonale  diag ( b − c + b' − c'; − a − c − a' − c'; − a + b − a' + b' ) dans laquelle chaque valeur   de la diagonale est positive, l’indice de q est égal à zéro : la solution voisine de  Q 2 est stable.   5 Conclusion  Ce papier montre la façon dont il est possible de prendre en compte la propriété d’objectivité dans l’étude de la stabilité, propriété qui est à la source de l’éventuelle multiplicité des solutions du problème de traction. Le rôle de la composante électrique est mise en évidence et le mécanisme du phénomène de stabilisation est clairement décrit. L’approche globale permet de prévoir le nombre de solutions du problème (Abiak et al., 2000) et il permet de conclure quant à leur stabilité par une simple lecture. De plus, il permet de prévoir qu’une solution instable au sens de l’élasticité pure puisse devenir, grâce à l’effet du champ électrique, stable au sens de l’électro-élasticité. 

Références

Abriak, N.E., Caron, J.-F. et Parsy, F. 1997 Problème de Signorini en piézo-électro-élasticité, 13 ième Congrès Français de Mécanique. Abriak, N.E., Caron, J.-F. et Parsy, F. 2000 Etude du problème de traction en électro-élasticité non linéaire,Cimasi’2000. Abriak, N.E., Caron, J.-F. et Parsy, F. 2000 Traction problem in electro-elasticity and bifurcation theory,Eur. J. Mech. A/Solids,19, pp. 781-974. Chillingworth, D.R.J., Marsden, J. et Wan, Y.H. 1982 Symmetry and bifurcation in three- dimensional elasticity, Part I.,Arch. Rational Mech. Anal., 80, pp. 295-331. Marsden, J. et Hughes, T. 1983 The Mathematical foundations of elasticity, Prentice-Hall.

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