Etude du comportement d'une équation de réaction diffusion avec terme de gradient dissipatif dans

Jean-Philippe Bartier

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Etude du comportement d’une equation´ de reaction´ diffusionavec terme de gradient dissipatif dans les domaines nonbornes´ .Jean Philippe BartierCEREMADE, Universite´ Paris DauphineMontpellier, Mardi 30 janvier 2007´ ´Jean Philippe Bartier Equation de reaction diffusion dans des domaines non born es.Outline1 Introduction2 Equation de Chipot et Weissler´ ´Jean Philippe Bartier Equation de reaction diffusion dans des domaines non born es.IntroductionEquation de Chipot et WeisslerOn considere` l’equation´ parabolique semilineaire´ suivante :´Equation semilineaire sans terme de gradient8>u −Δu =F(u), 0:u(0,x) =u (x), x ∈ Ω,0´DefinitionOn sait qu’il existe une solution classiqueu pourt ∈ [0;T]. On dit queu∗ ∗explose en temps finiT <∞ siku(.,t)k −→∞ lorsquet −→T .∞4 questions qu’on se pose.(i) Quand?(ii) Ou` ?(iii) Comment? (profil)(iv) Que se passe t il apr es` l’explosion?´ ´Jean Philippe Bartier Equation de reaction diffusion dans des domaines non born es.IntroductionEquation de Chipot et WeisslerpExemple classique ou` F(x)=xp nu −Δu =u , x ∈R , t ∈R (1)t´ `Theoreme, exposant de Fujita[1966]2Si 1 1+ , alors il existe des solutions globales et d’autres quiNexplosent en temps fini.on appellep l’exposant critique de Fujita de l’equation.´cOu la solution peut elle exploser?En 1D, sur[−1,1], si on se fixe un nombre de ...

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Extrait

epaBlipi-nhPJaenderatiorEqurtieisuffid-noitcae´neaiomsddensdaon

Montpellier, Mardi 30 janvier 2007

onsnrnbos.´e

Jean-Philippe Bartier

CEREMADE,Universit ´ eParis-Dauphine

Etudeducomportementd’une ´ equationdere ´ actiondiffusion avec terme de gradient dissipatif dans les domaines non borne´ s.

aeJtaoiEruqe´cadnreilipn-PhrtiepeBaneaionsndensomsdisufadnonoitfid-

Outline

2

Equation de Chipot et Weissler

1

Introduction

obnre´.s

tepohieCndioatquE noitcudortnI rsselWtie Eruqtaoidnree´can-PhilippeBartieaeJ

4 questions qu’on se pose. (i) Quand ? (ii)O`u? (iii) Comment ? (profil) (iv)Quesepasse-t-ilapr ` esl’explosion?

Onconsid ` erel’e ´ quationparaboliquesemiline ´ airesuivante:

D ´ efinition On sait qu’il existe une solution classiqueupourt∈[0;T]. On dit queu explose en temps finiT ∗ <∞siku(.,t)k ∞ ∞→−lorsquet−→T ∗ .

Equation semiline´  aire sans terme de gradient 8 > u t −Δu=F(u),0<t<T,x∈Ω, < > : u(t,x) =0, (x), 0 x < ∈ t Ω, <T,x∈∂Ω, u(0,x) =u 0

e´.sobnronsnneaiomsddensadnoisuffid-noit

rtnIontiucod ontiuaEq alceqissxE re lpme WeetslisChdeotip )=x p ueo`uF(x aeJPhn-ipilBapeiert

(1)

Th ´ eor ` eme,exposantdeFujita[1966] Si 1<p<1+ 2 N =p c , alors toute solution non triviale explose toujours en temps fini. Sip>1+ N 2 , alors il existe des solutions globales et d’autres qui explosent en temps fini. on appellep c l’exposant critique de Fujita de l’e´  quation.

Ou la solution peut elle exploser ? En 1D, sur[−1,1]si on se fixe un nombre de points arbitraire, x 1 ;...,x k , alors il existe une condition initiale telle que la solution explose en temps fini exactement aux pointsx i , lorsquet→T. [Merle 1992]

n u t −Δu=u p ,x∈R,t∈R

e´.sobnrsnonainesdomnsdeadnoisuffid-noitac´eerndioatqurE

artippeBhilian-PeJndiousffdin-ioctae´rednoitauqEre itauednopihCteto Inodtrtiuc Eq on ruelatstlrpfio slerWeis esulUnr ´ sdandoesinmanoesrobnse´n

C 1 (t−T ∗ ) 1/(p−1) ≥ kuk ∞ ≥C 2 (t−T ∗ ) 1/(p−1)

Friedman,McLeod 1985 Si 1<p< N N + − 22 , alors on a

.

Comportement e´  quivalent  a` celui de l’EDO

nIon Equati troducti sieWtetopihCedno ontiucodtrIn ersl meebo ` luarp Jon-dactisioniffueddsadsnennsmoiailPhn-eartBapeiptauqEreie´rednoiboon´ern

Equation semiline´  aire avec terme de gradient 8 > < > : u t −Δu=F(u,ru),0<t<T,x∈Ω, u(t,x) =0,0<t<T,x∈∂Ω, u(0,x) =u 0 (x),x∈Ω,

s.

D ´ finition e On dira queuexplose en temps finiT ∗ si t l → i T m ∗ |u(t)| W 1,∞ =∞,T ∗ <∞.

Onconside ` rel’ ´ equationparaboliquesemiline ´ airesuivante:

avecFune fonctionC 1 ,u 0 ∈W 1,∞ etΩ.erligu ´ eerinamodnu

erissledhCitnoteeWpito trInucodonti uaEq .s

De´ finition On dit queuexplose en temps finiT ∗ <∞siku(.,t)k W 1,∞ −→∞lorsque t−→T ∗ .

But Etude du comportement asymptotique des solutions.

avecp>1,q>0,r>0,q+r≥1,µ≥0,sassez grand etΩun domaine re´ gulier, borne´ ou non, de R n .

(2)

Equation de Chipot et Weissler (1989) 8 ∂ t u−Δu=u p −µ|ru| q u r ,t>0,x∈Ω, < > u(t,x) =0,t>0,x∈∂Ω, : > u(0,x) = Φ≥0,Φ∈W 01,s ,x∈Ω.

onborn´eomainesndsedsnadnoisuffi-dontiac´eerndiouqtaeiEraBtrpiepPhilean-J

Jae-nnoobennsmoiaeddsdanssioniffuon-ditcae´rednoitauqrEiertBapeipilPh elr ∞ ∞ . o s r

[BS] : Gradient bounds for solutions of semilinear parabolic equations without Bernstein’s quadratic condition, CRAS Paris (2004).

ud n t r c e o ´ i

De´ finition  des deux types d’explosion On dira qu’il y a explosionen amplitudesi

E

|u(t)|=∞.

n u

Non explosion du gradient, [B., Souplet] Soitula solution de (2). Supposons queT ∗ <∞. Alors lim supku(t)k L ∞ (Ω) =∞. t→T ∗

q

lim sup|u(t)| L <∞et lim sup|ru(t)| L ∞ =∞. t→T ∗ t→T ∗

t

Cons ´ equence. Controˆ le  deu L ∞ ⇒existenceglobalede la solution.

a

lim sup|u(t)| L t→T ∗

o

On dira qu’il y a explosion dugradientsi

indeChipotetWeiss ntI

iondffusn-dictio´raenoedauitreqEtiareBpplihi-PaneJrobnse´n

Bernstein Si|F(u,p)| ≤O(|p 2 |), alors il n’y a pas d’explosion du gradient. SiF=|ru| q ,q>2, on peut avoir explosion du gradient[S, 2002] Enfait,silanon-lin ´ earite ´ estsurquadratiquedissipativeessentiellement, on n’a pas d’exclusion du gradient [BS]

Ler ´ esultat[B.-Souplet]estvalablepourdesnon-line ´ arite ´ sF(u,p)plus g ´ en ´ erales.

.

Adaptation de la me´  thode classique de Bernstein, Changement de variableu=φ(v). Application du principe du maximum a` l’inconnue |rv| 2 . Enpratique,onconsid ` ererapluto ˆ tunediffe ´ rencefinie. Bon choix de la fonctionφ!

sdandoesinmanoes ontiChdeotipWeet rtnIcudonoit auqEsilsre

madoesinnbnon´orffidoisunadnsedstionder´eaction-ilppBeraitreqEau

[B] : Global behavior of solutions of a reaction diffusion equation with gradient absorption in unbounded domains, Asymptotic Analysis, 2006. Existencelocale(viaunprobl ` emeapproche ´ ).N ´ ecessit ´ ecaronpeut avoirr<1.Fnon Lipschitz ! Estimation de type e´  nergie. Principe du maximum (et unicite´  ). R ´ egularite ´ . Non explosion du gradient. Etudedeladynamiquedel’ ´ equation.

se.eJnaP-ih rtnIcudo ontiChde onti uaEqetWeipoter Pl issl ’le ´ naed∂:u t uted−µu p u=−Δ rq uu||r

dute t ∂:ednal ´ ’le sseir P lepohitWtetaoidnCe tcoi E n uq Introdu | q u r µ|ru=u p −u−Δu n-PhJeaerndioatontiac´eaBeppiliuqEreitrsdomainesnonbornd-fiufisnoadsned.se´

[B] : Global behavior of solutions of a reaction diffusion equation with gradient absorption in unbounded domains, Asymptotic Analysis, 2006. Existencelocale(viaunproble ` meapproch ´ e).N ´ ecessit ´ ecaronpeut avoirr<1.Fnon Lipschitz ! Estimationdetype ´ energie. Principe du maximum (et unicite´  ). Re´ gularite. ´ Non explosion du gradient. Etude de la dynamique de l’e´  quation.