Exemple d étude d une suite récurrente complexe de la forme  un+1 = f (un) à l aide de MathGraph32
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme un+1 = f (un) à l'aide de MathGraph32

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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiqueshttp://revue.sesamath.net/spip.php?article153Exemple d'étude d'une suiterécurrente complexe de laforme un+1 = f(un) à l'aide deMathGraph32.- N°11 - Septembre 2008 - Date de mise en ligne : mardi 23 septembre 2008Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiquesCopyright © Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques Page 1/11Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.Voyez aussi le nouvel article d'Yves Biton sur MathGraph32PrésentationEn testant le logiciel MathGraph32 je suis tombé sur des résultats inattendus. C'est la preuve qu'on peut encore fairedes découvertes mathématiques en utilisant un logiciel de ce type.Le premier concerne les propriétés d'une transformation barycentrique du plan (un article est paru dans le bulletin del'APMEP à ce sujet). Vous pouvez en trouver une présentation complète sur le site du CNDP à l'adresse suivante : http://www.cndp.fr/maths et en cliquant sur l'onglet Théorème découvert grâce à MathGraph32. Ce premierrésultat semble totalement original. Le résultat fondamental découle du théorème de Ptolémée.Le second concerne un type particulier de suite récurrente complexe. Je suis « tombé » sur ce résultat en testant lefonctionnement de MathGraph32 avec les ...

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Exrait

Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
http://revue.sesamath.net/spip.php?article153
Exemple d'étude d'une suite
récurrente complexe de la
forme
un+1 = f(un) à l'aide de
MathGraph32.
- N°11 - Septembre 2008 -
Date de mise en ligne : mardi 23 septembre 2008
Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Voyez aussi
le nouvel article d'Yves Biton
sur MathGraph32
Présentation
En testant le logiciel
MathGraph32
je suis tombé sur des résultats inattendus. C'est la preuve qu'on peut encore faire
des découvertes mathématiques en utilisant
un logiciel de ce type.
Le premier concerne les propriétés d'une transformation barycentrique du plan (
un article est paru
dans le bulletin de
l'APMEP à ce sujet). Vous pouvez en trouver une présentation complète sur le site du CNDP à l'adresse suivante :
http://www.cndp.fr/maths
et en cliquant sur l'onglet T
héorème découvert grâce à MathGraph32
. Ce premier
résultat semble totalement original. Le résultat fondamental découle du théorème de Ptolémée.
Le second concerne un type particulier de suite récurrente complexe. Je suis « tombé » sur ce résultat en testant le
fonctionnement de MathGraph32 avec les nombres complexes. Je ne certifie pas que ce deuxième résultat soit
original mais jusqu'à présent les gens à qui je l'ai présenté ne le connaissaient pas.
Un résultat connu est en effet que, si
p
est un réel positif, la suite réelle définie par son premier terme
u0
et la relation
de récurrence
converge vers
(ce résultat est connu depuis l'Antiquité pour
p
=2 sous le nom d'algorithme de Babylone).
Nous allons nous intéresser à la suite récurrente complexe (
zn
) dont le premier terme est un complexe
z
0 donné et
définie par la relation de récurrence
, puis nous généraliserons notre étude.
MathGraph32 va nous servir à étudier visuellement une telle suite et à émettre des conjectures. Je vous proposerai à
la fin de cet article des démonstrations des résultats observés, puis une généralisation.
Création de deux figures illustrant cette situation avec
MathGraph32
Démarrez MathGraph32 et utilisez le menu
Nouvelle figure avec >> Repère orthonormal >> Avec pointillés et
vecteurs
.
Une boîte de dialogue vous demande le nom des vecteurs du repère : entrez classiquement
u
et
v
et validez par
OK
.
A l'aide de l'icône
, créez un point libre. Utilisez l'icône
pour nommer ce point
M
0.
Nous allons mesurer l'affixe de ce point dans notre repère. Pour cela utilisez le menu
Calculs >> Mesurer >> Affixe
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
dans repère
.
Cliquez sur le point
M
0. Un message vous confirme la création de cette affixe.
Pour plus de commodité, nous allons définir un calcul complexe nommé
z
0 qui contiendra l'affixe précédemment
mesurée.
Utilisez pour cela le menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouveau calcul complexe
(raccourci clavier :
Ctrl + Maj + z).
Une boîte de dialogue s'ouvre. Dans le champ
Nom du calcul
, entrez
z
0. Utilisez le bouton
Liste des valeurs
pour
entrer dans le champ formule
Aff(M0,O,I,J)
qui représenta l'affixe que nous venons de mesurer. Validez par
OK
.
Nous allons définir la suite récurrente complexe (
z
n) de premier terme
z
0 donné et définie par la relation de
récurrence
.
Avant cela nous devons créer une fonction complexe
f
d'une variable complexe définie par
.
On utilise le menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouvelle fonction complexe
(raccourci clavier : Ctrl
+ Maj + g)..
Une boîte de dialogue s'ouvre. Entrez
f
dans le champ
Nom de la fonction
et
t
dans le champ
Variable formelle
.
Dans le champ Formule, entrez 1/2*(t+2*i/t). Validez par
OK
.
Créons maintenant la suite récurrente.
Utilisez pour cela le menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouvelle suite complexe u(n+1) = f[u(n)]
.
Une boîte de dialogue s'ouvre.
Dans le champ
Nom de la suite
, entrez
z
. Dans la liste des fonctions complexes existantes, la fonction
f
est déjà
sélectionnée. Utilisez le bouton
Liste des valeurs
pour entrer
z
0 dans le champ
Premier terme
. Entrez 50 comme
nombre de termes et validez par
OK
.
Nous allons maintenant créer le graphe de cette suite récurrente complexe. Chaque terme de la suite sera visualisé
par une marque de points et ces marques seront jointes par des segments.
Dans la palette de couleurs, activez le rouge, puis le style de trait pointillé dans la palette de style de trait.
Dans la palette de style de point, activez le « petit rond » (ceci n'est pas indispensable).
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Utilisez le menu
Créer >> Graphe de suite complexe u(n+1) = f[u(n)]
. Le graphe apparaît.
Utilisez l'icône
pour capturer le point
M
0.
La figure obtenue figure ci-dessous animée avec l'applet de MathGraph32 (Vous pouvez capturer le point
M
0).
<applet code="Applet.AppletMathGraph32.class"
archive =
"http://revue.sesamath.net/MathGraph32/AppletMathGraph32.jar"
width=660
height=400>
Pour la figure ci-dessus, la suite semble converger vers
1 + i. Pour d'autres positions de
M
0, la suite semble
converger vers - 1 - i.
Est-ce étonnant si l'on se souvient que 1 + i et - 1 - i sont les deux complexes dont le carré est 2i ?
Lorsque le point
M
0 se rapproche de la droite d'équation
y
= -
x
, un comportement spécial semble apparaître.
É0tudions cela avec MathGraph32.
Dans la palette de couleurs, activez le noir.
Traçons d'abord la droite d'équation
y
= -
x
(que nous appellerons
D
). Pour cela utilisons l'icône
de création d'une
droite par son coefficient directeur
(cette icône n'est présente que depuis la version 2.5. Si vous utilisez une
version antérieure, utilisez le menu
Créer >> Ligne >> Droite >> Par point et coefficient directeur
).
Cliquez ensuite sur le point
O
.
Dans la boîte de dialogue qui s'ouvre, entrez - 1 dans le champ
Coefficient directeur
. Validez par
OK
. La droite
apparaît.
En capturant le point
M
0, on s'aperçoit que, lorsque
M
0 n'est pas sur la droite
D
,
tous les points du graphe de la
suite semblent rester dans le même demi-plan de bord
D
que le point
M
0.
Regardons maintenant ce qui se passe lorsque
M
0 est sur la droite
D
.
Utilisez pour cela le menu
Modifier >> Création d'une liaison >> Entre un point et un objet
. Cliquez sur le point
M
0, puis sur la droite
D
. Le point
M
0 est maintenant devenu un point lié à la droite
D
.
Voici la figure obtenue (Vous pouvez capturer le point
M
0) :
<applet code="Applet.AppletMathGraph32.class"
archive =
"http://revue.sesamath.net/MathGraph32/AppletMathGraph32.jar"
width=660
height=400>
Capturez le point
M
0 à l'aide de l'icône
. Il semble que tous les points d'affixe
z
n restent sur la droite
D
et que
le comportement de cette suite soit « chaotique ».
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Justification mathématique des résultats observés
ci-dessus
La suite de cet article peut être lue par une élève de terminale S en admettant que :
Une suite (
z
n) de nombres complexes converge vers un complexe
l
lorsque
.
Les théorèmes usuels concernant les opérations sur les suites convergentes dans
R
se généralisent à
C
.
Posons
a
= 1+
i
et
b
= -
a
= -1-
i
. Appelons
A
et
B
les points d'affixes respectives
a
et
b
= -
a
.
Pour tout naturel
n
, on a :
.
Et on obtient de même
.
On en déduit alors que
.
On peut alors montrer par récurrence que, pour tout naturel
n
,
. On en déduit que
.
Supposons que le point
M
0 est dans le demi-plan ouvert de frontière
D
qui contient
A
. Cela revient à dire que
M
0 est
plus proche
de
A
que de
B
c'est-à-dire que
et donc que
. On en déduit alors que
et que la suite de complexes
converge vers 0.
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Or
ce qui entraîne que
. En appliquant les théorèmes relatifs aux opérations sur les limites, on en déduit que
(
zn
+
a
) converge vers 2
a
et
donc que (
zn
) converge vers
a
.
L'exposant 2
n
explique l'extrême rapidité de la convergence de la suite vers
a
= 1 +
i
.
On montre de la même façon que quand
M
0 est dans le demi-plan ouvert de frontière
D
qui contient
A
, la suite
converge vers
b
= -
a
.
Intéressons-nous maintenant à ce qui se passe quand le point
M
0 est sur la droite
D
.
Appelons
Mn
le point d'affixe
zn
.
Montrons d'abord que lorsque que le point
M
n est sur
D
, le point
Mn
+1 est encore sur
D
.
Si
Mn
est sur
D
, c'est que
zn
est de la forme
zn
=
xia
avec
x
réel (en effet le vecteur d'affixe
i.a
est orthogonal au
vecteur
d'affixe
a
).
On a alors
, ce qui prouve que
est encore sur
D
.
Par récurrence on en déduit alors que tous les points
Mn
sont sur
D
.
Posons alors
zn
=
xnia
. On a alors, pour tout
n
,
.
MathGraph32 va maintenant nous aider à expliquer le comportement chaotique de la suite des points
Mn
lorsque
M
0
est sur
D
.
Démarrez MathGraph32 et utilisez le menu
Fichier >> Nouvelle figure avec >> Repère orthonormal >>
Non
quadrillé
.
Utilisez le menu
Calculs >> calcul algébrique dans R >> Nouvelle fonction
pour créer une fonction
f
définie par
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
.
Traçons la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle ]0 ; + [ en utilisant le menu
Créer >> Courbe de
fonction >> définie sur [a ; - >[
.
Une boîte de dialogue s'ouvre. Dans le champ
Valeur
de
a
, entrez 0 et validez par
OK
. La courbe apparaît (c'est un
fait un lieu de points).
En utilisant de même le menu
Créer >> Courbe de fonction >> définie sur ]-
; a]
pour créer la courbe
représentative de
f
sur l'intervalle ]-
; 0[ (entrez 0 dans le champ
Valeur
de
a
).
Traçons maintenant la droite d'équation
y
=
x
à l'aide de l'icône de création d'une droite par son coefficient directeur
(raccourci Ctrl + Maj + D). Cliquez d'abord sur le point
O
puis entrez 1 dans le champ
Coefficient directeur
de la
boîte de dialogue qui s'ouvre. Validez par
OK
.
Dans la palette des couleurs, activez la couleur rouge.
Utilisez l'icône
de création d'un point lié pour créer un point lié à l'axe des abscisses. Utilisez l'icône
pour nommer ce point
x
0.
Cliquez sur l'icône
qui sert à mesurer l'abscisse d'un point sur une droite. Cliquez ensuite sur
O
, sur
I
, puis
sur le point
x
0. Un message vous confirme la création de cette mesure qui est noté
x0(O,I)
.
Créons maintenant la suite récurrente via le menu
Calculs >> Calcul algébrique dans R >> Nouvelle suite
u(n+1)=f[u(n)]
.
Comme
Nom de la suite
, entrez
u
. Utilisez le bouton
Liste des valeurs
pour entrer
x0(O,I)
dans le champ
Premier
terme
. Entrez 50 dans le champ
Nombre de termes
puis validez par
OK
.
Créons maintenant le graphe de cette suite.
Dans la palette de style de trait, activez le style de trait pointillé.
Utilisez le menu
Créer >> Graphe d'une suite réelle u(n+1)=f[u(n)]
. Une boîte de dialogue s'ouvre. Laissez cochée
la case
Traits de rappels en abscisse
et validez par
OK
.
Vous pouvez maintenant capturer le point
x
0 à l'aide de l'icône
pour constater que le comportement de la suite
semble chaotique quel que soit son premier terme.
Voici la figure obtenue (Vous pouvez capturer le point
x
0) :
<applet code="Applet.AppletMathGraph32.class"
archive =
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
"http://revue.sesamath.net/MathGraph32/AppletMathGraph32.jar"
width=660
height=400>
Essayons d'expliquer ce phénomène chaotique :
La suite ne peut pas converger vers un réel non nul
L
car sinon,
f
étant continue,
L
vérifierait
f
(
L
) =
L
ce qui est impossible.
Il est évident que, pour
x
> 0, on a
f
(
x
)<
x
et que, pour
x
< 0, on a
f
(
x
)>
x
. On en déduit que si, par exemple, le premier
terme de la suite est positif, la suite va commencer par décroître avec des termes positifs. Mais comme la suite ne
peut pas converger, elle ne peut pas être minorée. Il y aura donc à partir d'un certain indice un terme qui sera
négatif. Alors à partir de ce terme la suite va se remettre à croître avec des termes négatifs. Mais comme elle n'est
pas convergente elle n'est pas majorée et à partir d'un certain rang un terme deviendra positif et ainsi de suite.
On peut aussi remarquer que pour certaines valeurs du premier terme
x
0 , la suite peut ne pas être définie, par
exemple pour
x
0 = 0, ou pour
x
0 = 1.
Généralisation du résultat
Les résultats précédents peuvent facilement se généraliser avec la suite définie par
a
désigne un complexe non nul. En effet nos calculs précédents n'utilisaient pas la valeur particulière de
a
.
En appelant A le point d'affixe
a
et B le point d'affixe -
a
,
D
la médiatrice du segment [AB] (qui a un vecteur directeur
d'affixe
ia
), on montre facilement que les résultats précédents sont encore vrais :
Si la suite est bien définie :
Si
M
0 est dans le demi-plan ouvert de bord
D
qui contient A, la suite converge vers
a
.
Si
M
0 est dans le demi-plan ouvert de bord
D
qui contient B, la suite converge vers -
a
.
Si
M
0 est sur la droite (AB) alors tous les points
Mn
d'affixe
zn
sont sur cette droite avec un comportement
chaotique.
Illustrons ce résultat général avec une nouvelle figure MathGraph32. La construction sera au départ identique à notre
première figure.
Démarrez MathGraph32 et utilisez le menu
Nouvelle figure avec >> Repère orthonormal >> Avec pointillés et
vecteurs
.
Une boîte de dialogue vous demande le nom des vecteurs du repère : entrez classiquement
u
et
v
et validez par
OK
.
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
A l'aide de l'icône
, créez un point libre. Utilisez l'icône
pour nommer ce point
M
0.
Nous allons maintenant mesurer l'affixe de ce point dans notre repère. Pour cela utilisez le menu
Calculs >>
Mesurer >> Affixe dans repère
.
Cliquez sur le point
M
0. Un message vous confirme la création de cette affixe.
Pour plus de commodité, nous allons maintenant un calcul complexe nommé
z
0 qui contiendra l'affixe
précédemment mesurée.
Utilisez pour cela le menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouveau calcul complexe
(raccourci clavier :
Ctrl + Maj + z).
Une boîte de dialogue s'ouvre. Dans le champ
Nom du calcul
, entre
z
0. Utilisez le bouton Liste des valeurs pour
entre dans le champ formule
Aff(M0,O,I,J)
qui représenta l'affixe que nous venons de mesurer. Validez par
OK
.
A l'aide de l'icône
, créez un point libre. Utilisez l'icône
pour nommer ce point A.
Utilisez l'icône
pour créer l'image du point A dans la symétrie centrale de centre O (pour cela, cliquez
d'abord sur O, puis sur A).
Nommez ce point B.
Utilisez l'icône
pour créer le segment [AB] puis l'icône
pour créer la médiatrice du segment [AB].
Mesurez maintenant l'affixe de ce point A.
Nous allons maintenant un calcul complexe nommé
a
qui contiendra l'affixe précédemment mesurée.
Utilisez pour cela le menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouveau calcul complexe
(raccourci clavier :
Ctrl + Maj + z).
Une boîte de dialogue s'ouvre. Dans le champ
Nom du calcul
, entrez
a
. Utilisez le bouton Liste des valeurs pour
entre dans le champ formule
Aff(A,O,I,J)
qui représenta l'affixe que nous venons de mesurer. Validez par
OK
.
Avant cela nous devons créer une fonction complexe
f
d'une variable complexe définie par
.
On utilise le menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouvelle fonction complexe
.
Une boîte de dialogue s'ouvre. Entrez
f
dans le champ
Nom de la fonction
et
t
dans le champ
Variable formelle
.
Dans le champ
Formule
, entrez 1/2*(t+a^2/t). Validez par
OK
.
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Exemple d'étude d'une suite récurrente complexe de la forme
un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Créons maintenant la suite récurrente.
Utilisez pour cela me menu
Calculs >> Calculs algébrique dans C >> Nouvelle suite complexe u(n+1) = f[u(n)]
.
Une boîte de dialogue s'ouvre.
Dans le champ
Nom de la suite
, entrez
z
. Dans la liste des fonctions complexes existantes, la fonction
f
est déjà
sélectionnée. Utilisez le bouton
Liste des valeurs
pour entrer
z
0 dans le champ
Premier terme
. Entrez 50 comme
nombre de termes et validez par
OK
.
Nous allons maintenant créer le graphe de cette suite récurrente complexe.
Dans la palette de couleurs, actives le rouge et activez le style de trait pointillé dans la palette de style de trait.
Dans la palette de style de point, activez le « petit rond » (ceci n'est pas indispensable).
Utilisez maintenant le menu
Créer >> Graphe de suite complexe u(n+1) = f[u(n)]
. Le graphe apparaît.
Vous pouvez maintenant capturer le point A et le point
M
0 et constater que le résultat précédent se généralise bien.
Voici la figure obtenue (Vous pouvez capturer le point A et le point
M
0) :
<applet code="Applet.AppletMathGraph32.class"
archive =
"http://revue.sesamath.net/MathGraph32/AppletMathGraph32.jar"
width=660
height=400>
Regardons maintenant ce qui se passe quand on est sur la médiatrice du segment [AB].
Utilisez l'icône
pour créer l'image du point A dans la symétrie centrale de centre O (pour cela, cliquez
d'abord sur O, puis sur A).
Nommez ce point B.
Utilisez l'icône
pour créer le segment [AB] puis l'icône
pour créer la médiatrice du segment [AB].
Maintenant liez le point
M
0 à cette médiatrice.
Vous constaterez que tous les points de la représentation graphique de la suite (il peut arriver que certains points
s'écartent de la droite : c'est dû à des phénomènes d'accumulation d'erreurs d'arrondi).
Voici la figure obtenue (Vous pouvez capturer le point A et le point
M
0.) :
<applet code="Applet.AppletMathGraph32.class"
archive =
"http://revue.sesamath.net/MathGraph32/AppletMathGraph32.jar"
width=660
height=400>
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un+1 = f(un) à l'aide de MathGraph32.
Conclusion
Nous avons vu sur cet exemple que MathGraph32 est un outil très pratique pour faire des figures sophistiquées en
quelques clics de souris. Reste ensuite le plaisir d'essayer de démontrer ce qu'on a pu observer.
MathGraph32 est ainsi un outil particulièrement adapté à la préparation de l'épreuve pratique en classe de terminale
scientifique, grâce à ses capacités à calculer sur les nombres complexes et les représenter graphiquement.
La pratique régulière d'un tel outil devrait encourager chez nos élèves le plaisir de conjecturer et d'expérimenter et ce
dès le collège. (MathGraph32 peut s'adapter au niveau collège en choisissant ce mode dans le menu
Préférences
>> Niveau
du logiciel).
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