Exercices faisant intervenir le théorème de Bezout
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Agrégation interne de Mathématiques Académie de Guyane 304 :Exercices faisant intervenir le théorème de Bezout KdésigneRouC. Prérequis :Théorème de Bezout dansZetK[X]. Lemme de Gauss. Théorème de Fermat. Propriétés deZ/nZ. Théorème de décomposition des noyaux. Réduction des endomorphismes. décomposition de Dunford.

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Publié le 06 mai 2015
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Langue Français

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Agrégation interne de Mathématiques

Académie de Guyane

304 :Exercices faisant intervenir le théorème de Bezout

KdésigneRouC.
Prérequis :Théorème de Bezout dansZetK[X]. Lemme de Gauss. Théorème de Fermat. Propriétés
deZ/nZ. Théorème de décomposition des noyaux. Réduction des endomorphismes. décomposition
de Dunford.

Exercice 1 : Algorithme d’Euclide étendu. Inverse dansZ/nZ

1. a)On considère deux entiersaetbet l’on poser0=aetr1=b.
On définit par récurrence tant queriest non nul :ri+1=ri−1−qirioùqiest le quotient de la division
euclidienne deri−1parri.
On poseu0= 1,u1= 0,v0= 0etv1= 1.
Montrer que les suites(ui)et(vi)définies parui+1=ui−1−qiuietvi+1=vi−1−qivitant queriest
non nul vérifient la relationuia+vib=ripour toutes les valeurs deioù elles sont définies.
b)Écrire un algorithme en langage Xcas qui nous permet de trouver(u,v)vérifiantau+bv=
pgcd(a,b).
2.Déterminer l’inverse de 17 dansZ/31Z

Exercice 2 : Équations diophantiennes

1.Décrire les solutions de l’équation diophantienne de la formeax+by=c.
2. a)En utilisant l’algorithme de l’exercice 1, déterminer une solution particulière de l’équation
diophantienne7x+ 5y= 8.
b)Déterminer les points de la droite d’équation7x+ 5y= 8ayant des coordonnées entières.

Exercice 3 : Racine pième dansZ/nZ

19
On se propose de résoudre dansZ/97Zl’équation(E) :x= 19.
1. a)Soitxune solution de(E). Expliquer pourquoixn’est pas multiple de 97 et déduire que
96
x≡1(97).
b)Pourquoi l’équation19a≡1(97)admetelle des solutions ? Donner une solution particulière de
cette équation.
2.Donner une solution particulière de l’équation19u+ 96v= 1puis déduire une solution de
l’équation(E).
a
3.Écrire un programme sous Xcas permettant de résoudrex≡b(n).

Alaeddine BEN RHOUMA

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Algèbre

Agrégation interne de Mathématiques

Exercice 4 : Système de congruences.

Académie de Guyane

(1. Soientn, m∈N, n≥2, m≥2etn∧m= 1. Soientu, v∈Ztels queun+vm= 1. Soient
a1, a2∈Ztels quea≡vma1+una2(n).
Montrer que pour toutx∈Zon a :

x≡a1(n)
⇔x≡a(nm)

x≡a2(m)

2.Un astre A était présent dans une région P il y a 6 jours et un astre B était présent dans
la même région il y a 13 jours. Sachant que les périodes d’apparitions des deux astres A et B
sont respectivement 15 jours et 29 jours, dans combien de jours les deux astres seront présents
simultanément dans la région P ?

Exercice 5 : Projecteurs spectraux et décomposition de Dun
ford.

1.SoitEun espace vectoriel surKde dimensionn≥2. Soitf∈ L(E)etF∈K[X]un polynôme
annulateur def.
p
Q
αi
SoitF= (X−λi)où lesλisont distincts deux à deux et lesαisont strictement positifs. Pour
i=1
αi
toution noteNi=Ker(f−λiId).
p
L L
Montrer queE=Niet pour touti, la projection spectraleπisurNiparallèlement àNjest
i=1j6=i
un polynôme enf.
2.Dans la décomposition de Dunfordf=d+n, exprimerden fonction des projecteurs spectraux
et déduire quedetnsont des polynômes enf.
 
1 4−2
 
3. Application :SoitM= 0 6−3∈ M3(R).
−1 4 0
Écrire un algorithme qui permet de calculer les projecteurs spectraux d’une matrice qui admet deux
n
valeurs propres, puis exprimerMen fonction denpour toutn∈N.

Exercice 6 : Résultat utile pour la méthode de Dunford effective.
p
Q
αi
SoitA∈ Mn(K)une matrice de polynôme caractéristiqueχA= (X−λi). On poseP=
i=1
p
Q
(X−λi).
i=1
Sachant que siUest une matrice inversible etNune matrice nilpotente qui commutent, alorsU−N

est inversible, montrer queP(A)est inversible.

Alaeddine BEN RHOUMA

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