Exercices utilisant la notion de déterminant

Alaeddine Ben Rhouma

Description

Agrégation interne de Mathématiques Académie de Guyane 314 : Exercices illustrant l’utilisation de déterminants KdésigneRouC. Prérequis :Déterminant. Notions d’algèbre linéaire. Équations et systèmes différentiels. Définition du wronskien.Espace préhilbertien. Formes quadratiques. Matrice et déterminant de Gram. Théorème de changement de variables. Séries numériques. Théorème de Weierstraß. Exercice 1 : Déterminant de Vandermonde a)Pour tout entiern≥2eta1, . . . ,an∈K, on note : 1a1 2 a 1 ∙ ∙ ∙ n−1 a 1 2n−1 1a2a∙ ∙ ∙a 2 2 V(a1,∙,an) =∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙.∙∙ ∙ ∙ 2n−1 1ana∙ ∙ ∙a n n Q Montrer queV(a1, . . . ,an) = (aj−ai) 1≤i0. b)Écrire un algorithme en Xcas permettant de vérifier si une matrice est définie positive. 2.Pour toutI⊂ {1,....,n}, on noteMI= (ai,j)(i,j)∈I. Montrer que M est une matrice positive si et 2 seulement si pour toutI, detMI≥0. Exercice 4 : Changement de variables et Jacobien. +∞ R2 −x Calculere dx. −∞ Exercice 5 : Déterminat de Cauchy. Optimisation. Théorème de Mûntz. 2 1.Soienta1, . . . , an, b1, . . . , bn∈Ktels que∀(i,j)∈ {1, . . . , n}, ai+bj6= 0. CalculerΔn= 1 a1+b1 ∙ ∙ ∙ 1 an+b1 1 a1+b2 ∙ ∙ ∙ 1 an+b2 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 1 a1+bn ∙ ∙ ∙ 1 an+bn ∗n 2. Application 1 :Soitn∈N, on considère l’applicationφ:R→Rtelle que 1 Z n φ(a1,∙ ∙ ∙,an) = (1 +a1x+∙ ∙ ∙+anx)dx.

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• Publié par: ALEDINE.BENRHOUMA
• Publié le: 06 mai 2015
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

Agrégation interne de Mathématiques

Académie de Guyane

314 : Exercices illustrant l’utilisation de déterminants

KdésigneRouC.
Prérequis :Déterminant. Notions d’algèbre linéaire. Équations et systèmes différentiels. Définition
du wronskien.Espace préhilbertien. Formes quadratiques. Matrice et déterminant de Gram. Théorème
de changement de variables. Séries numériques. Théorème de Weierstraß.

Exercice 1 : Déterminant de Vandermonde

a)Pour tout entiern≥2eta1, . . . ,an∈K, on note :

1a1

2
a
1

∙ ∙ ∙

n−1
a
1

2n−1
1a2a∙ ∙ ∙a
2 2
V(a1,∙,an) =∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙ ∙.∙∙ ∙ ∙
2n−1
1ana∙ ∙ ∙a
n n
Q
Montrer queV(a1, . . . ,an) = (aj−ai)
1≤i<j≤n
b) Application 1 :SoitCb(R,C)l’espace vectoriel des fonctions continues et bornées deRdansC.
iλt
Siλ∈R, on désigne pareλ∈ Cb(R,C)la fonction définie pareλ(t) =e.
SoitEle sousespace deCb(R,C)engendré par les fonctionseλ, λ∈R.
Montrer que(eλ)λ∈Rest une base deE.
c) Application 2 :Soientx0, x1, . . . , xndes éléments deKdeux à deux distincts ety0, y1, . . . , yn
des éléments deK. Montrer qu’il existe un unique polynômeP∈Kn[X]vérifiantP(xi) =yipour
touti∈J0,nK.

Exercice 2 : Le wronskien.

1. a)SoitIun intervalle deRet deux applicationsp,q:I→Ccontinues. On considère deux
′′ ′
solutionsu, vde l’équation différentielle(L) :y+p(t)y+q(t)y= 0.
Calculer le wronskien deuetven fonction de sa valeur en un pointadeI.
b)On veut étendre ce résultat aux systèmes linéaires. SoientIun intervalle deR
etA:I→ Mn(C)fonction continue. On considèref1,f2, . . . ,fnnsolutions surIde l’équation
′
différentielle(S) :Y=A(t)Y.
Calculer le wronskien def1,f2,...,fnen fonction de sa valeur en un pointadeI.
2. Application :
2′′ ′
Résoudre sur]0,+∞[x y−xy+y= 0

Alaeddine BEN RHOUMA

1

Algèbre

Agrégation interne de Mathématiques

Exercice 3 : Caractérisation
Sylvester.

Académie de Guyane

des matrices positives. Critère de

SoitM= (ai,j)1≤i,j≤n∈ Mn(R)une matrice symétrique.
1. a)Pour toutk∈J1, nK, on noteMk= (ai,j)1≤i,j≤k∈ Mn(R).
Montrer queMest définie positive si et seulement si pour toutk∈J1, nK, detMk>0.
b)Écrire un algorithme en Xcas permettant de vérifier si une matrice est définie positive.
2.Pour toutI⊂ {1,....,n}, on noteMI= (ai,j)(i,j)∈I. Montrer que M est une matrice positive si et
2
seulement si pour toutI, detMI≥0.

Exercice 4 : Changement de variables et Jacobien.

+∞
R2
−x
Calculere dx.
−∞

Exercice 5 : Déterminat de Cauchy. Optimisation. Théorème de
Mûntz.

2
1.Soienta1, . . . , an, b1, . . . , bn∈Ktels que∀(i,j)∈ {1, . . . , n}, ai+bj6= 0.

CalculerΔn=

1
a1+b1
∙
∙
∙
1
an+b1

1
a1+b2
∙
∙
∙
1
an+b2

∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙

1
a1+bn
∙
∙
∙
1
an+bn

∗n
2. Application 1 :Soitn∈N, on considère l’applicationφ:R→Rtelle que

1
Z
n
φ(a1,∙ ∙ ∙,an) = (1 +a1x+∙ ∙ ∙+anx)dx.
0
n
Montrer queφadmet un minimumµatteint en un point unique deRet calculerµ.

3. Application 2 : Théorème de Mûntz.
On noteCl’espace vectoriel des fonctions continues de[0,1]dansR. On utilisera surCla norme
1
1
R
2
2
suivante :∀f∈ C,||f||2=f(t)dt.
0
Soit(αn)n∈Nune suite à termes strictement positifs et strictement croissante.
∗
+∗ ∗αi
a)Soientm∈RetN∈N. On noteEn=Vect(x). Exprimer en fonction desαiet dem, la
1≤i≤N
m
valeurΔN(m) =inf||x−f||2.
f∈En
αn
b)En déduire une condition nécessaire et suffisante pour la suite(αn)pour que Vect(x)soit dense
n∈N
dansCpour la norme||.||2.

Alaeddine BEN RHOUMA

2

Algèbre

Agrégation interne de Mathématiques

Exercice 6 : Résultant

Académie de Guyane

1. a)SoientP,Qdeux polynômes non constants deC[X]. Montrer quePetQont un facteur
commun non constant si et seulement si :

(il existeA, BdansC[X], A6= 0, B6= 0), AP=BQavec deg(A)<deg(Q),deg(B)<deg(P)

.
b)Pour toutr∈Non noteΓr={P∈C[X];deg(P) =r}.
∗
Pour toutn, m∈N, déterminer une fonction continueR: Γn×Γm→Cvérifiant :
(PetQsont premiers entre eux)⇔R(P,Q)6= 0).
n m
P P
k k
Indication :SiP(X) =akXetQ(X) =bkX, on pourra montrer que :
k=0k=0

R(P,Q) =

a0
0
.
0
b0
0
.
0

a1
a0
.
.
.
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
b0
.
.
.
∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙
a1
.
.
.
0
bm−1
∙ ∙ ∙
.
.
.
0

an
∙ ∙ ∙
.
.
.
a0
bm
bm−1

b0

0
an

a1
0
bm
.
∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙
.
.
.
.
.
.
∙ ∙ ∙
∙ ∙ ∙
.
.
.
.
bn−1

0
.
0
an
0
.
0
bn

c)Expliquer comment peuton savoir avec le résultant si un polynôme admet une racine multiple.
2. a)Écrire un programme avec Xcas permettant de calculer le résultant de deux polynômes.
b)Dire si les polynômes suivants admettent des racines multiples :

4 3 2
P(x) = 2x+x−17x−16x+ 12

,

5 4 3 2
Q(x) = 3x+ 15x−42x−3x−15x+ 42

3
c)Quelle condition doiton avoir surpetqpour que le polynômex+px+qadmette une racine
multiple.
˚
∗
2.Soitn∈N. On noteDl’ensemble des matrices diagonalisables deMn(C). Déterminer D.

Remarque 1 :sur la notation du résultant.
L’écriture du résultant diffère d’un ouvrage à un autre. Notons aussi que la matrice
 
a0a1∙ ∙ ∙an0∙ ∙ ∙0
.
.
.
0a0a1∙ ∙ ∙an.
. . . .
. . . .
.. .. . 0
0∙ ∙ ∙0a0a1∙ ∙ ∙an
SP,Q=est appelée la matrice de Sylvester associée aux
b0∙ ∙ ∙bm−1bm0∙ ∙ ∙0
.
.
.
0b0∙ ∙ ∙bm−1bm.
 
. .
. .
.. ...0
0∙ ∙ ∙0b0∙ ∙ ∙bm−1bm
polynômesPetQ.

Alaeddine BEN RHOUMA

3

Algèbre

Agrégation interne de Mathématiques

Avec Xcas la matrice de sylvester est donnée sous la forme :
 
anan−1∙ ∙ ∙a00∙ ∙ ∙0
.
.
0anan−1∙ ∙ ∙a0..
. . . .
. . . .
.. .. . 0
0∙ ∙ ∙0anan−1∙ ∙ ∙a0
SP,Q=
bm∙ ∙ ∙b1b00∙ ∙ ∙0
.
.
.
0bm∙ ∙ ∙b1b0.

. .
. .
.. .. .0
0∙ ∙ ∙0bm∙ ∙ ∙b1b0

Académie de Guyane

Remarque 2 :sur un prolongement possible de l’exercice.
Dans le cas oùPetQsont premiers entre eux, on peut déterminer, grâce à la matrice de Sylvester,
deux polynômesUetVvérifiant :

U P+V Q= 1avec degU <degQet degV <degP

m−1n−1
P P
k k
En effet, en posantU(X) =ckXetV(X) =dkXon obtient grâce à la relationU P+V Q= 1
k=0k=0
le système linéaire suivant :

t
SP,QY=Z
   
cm−10
..
c00n+m
avecY=etZ=tous deux éléments deK.
dn−10
 