Factorisation de matrices : quelques résultats utiles

Alaeddine Ben Rhouma

Informations

• Publié par: ALEDINE.BENRHOUMA
• Publié le: 08 mai 2015
• Nombre de lectures: 60
• Langue: Français

Extrait

Quelques résultats utiles pour la factorisation de matrices
1. (Racine carrée d’une matrice hermitienne positive). Soit H∈M (C) une matrice hermitiennen
2positive. Montrer qu’il existe une unique matrice R hermitienne positive telle que H =R .
2. (Caractérisation des matrices positives).
Question préliminaires : Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E et q une forme
quadra⊥tique sur E qui est définie sur F. Alors F⊕F =E.
a) (Critère de Sylvester). Soit M = (a ) ∈M (R) une matrice symétrique. Pour tout k ∈i,j 1≤i,j≤n n
{1,...,n}, on note M = (a ) ∈M (R).k i,j 1≤i,j≤k k
Montrer que M est définie positive si et seulement si pour tout k∈{1,...,n}, detM > 0.k
b) Pour tout I ⊂{1,...,n}, on note M = (a ) 2. montrer que M est une matrice positive si etI i,j (i,j)∈I
seulement si pour tout I, detM ≥ 0.I
3. (Décomposition polaire). Soit A∈M (C). Montrer qu’il existe un couple de matrices (U,H), Un
étant unitaire et H hermitienne positive, tel que A =UH.
Si A est inversible, montrer que le couple (U,H) ainsi défini est unique.
4. (Décomposition d’Iwasawa).
a) Soit A ∈ M (C) une matrice hermitienne définie positive. Montrer qu’il existe une unique matricen
∗triangulaire supérieure T à coefficients diagonaux positifs, telle que A =T T.
b) Soit A∈M (C) une matrice inversible. Montrer qu’il existe un unique couple de matrices (U,T), avecn
U unitaire et T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, tel que A =UT.
Matrices de Householder
∗uu
nSoit u∈R . Nous appelons matrice de Householder, la matrice H ∈M (R) donnée par H =I −2u n u n 2||u||
2 ∗où||u|| =u u lorsque u est non nul, et H =I lorsque u = 0.u n
1. Vérifier les propriétés suivantes :
∗a) H est symétrique, c’est-à-dire H =H .u u u
−1b) H est inversible et H =H .u uu
nc) H v =−v, pour tout v∈R colinéaire à u et H v =v pour tout v orthogonal à u.u u
d) detH =−1 si u est non nul et detH = 1 lorsque u est nul.u u
⊥2. Montrer que H est la réflexion d’hyperplan Vect{u} .u
m m3. Montrer que pour tout v∈R , m≥ 1 tel que||v|| = 1, il existe u∈R tel que H v = e , où e est leu 1 1
mpremier vecteur de la base canonique de R .
4. Soit A∈M (R) une matrice inversible.n
(1)(1) (1)èmea) On pose A =A et pour tout i∈{1,...,n} on note a la i colonne de A .i
Montrer qu’il existe une matrice H telle que1
!
(1) (2)||a || A(1) 1 1,2H A =1 (2)
0 n−1 AR 2,2
(k)b) On suppose qu’au cours de l’étape (k−1), nous ayons construit une matrice A donnée par
Alaeddine BEN RHOUMA 1 Agrégation interne de Mathématiques !
(k) (k)
A A1,1 1,2
(k)
0 n−k+1 AR 2,2
Montrer qu’il existe une matrice H telle quek
!
(k+1) (k+1)
A A(k) 1,1 1,2H A =k (k+1)0 An−kR 2,2
et déduire l’existence de H ,...,H telles que H ···H A soit triangulaire supérieure.1 n n 1
5. Montrer qu’il existe un couple (Q,R) où Q est orthogonale et R est triangulaire supérieure vérifiant
A =QR. Vérifier que cette décomposition est unique.
Récapitulatif des principales méthodes de résolution d’un système
linéaire
Méthode Existence Unicité Complexité
3 22n n
LU directe Matrice inversible et toutes L à diagonale unité. +
3 2
les sous-matrices principales
d’ordre 1 à n−1 soient
inversibles.
3 2n n
>Cholesky : BB directe Matrice symétrique définie les éléments diagonaux + +n
3 2
positive. de B sont > 0.
3QR directe Matrice quelconque. Matrice inversible l’ordre de n
Jacobi itérative Matrice à diagonale stricete- dépend de la
prément dominante. cision.
Gauss-Seidel itérative Matrice symétrique définie dépend de la
prépositive. cision.
Alaeddine BEN RHOUMA 2 Agrégation interne de Mathématiques