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Fonctions exponentielles cours

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`\`LGL Cours de Mathématiques 2006 _______________________________________________________________________________________ Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes fiche professeur 1) Exemples introductifs a) En 1990 la population mondiale était de 5,3 milliards. Elle croît chaque année de 1,8%. 1. Donne une description de l’évolution de la population année par année à partir de (1)l’année 1990 jusqu’en 2040 (formule, tableau et représentation graphique ). 2. Donne une description de l’évolution de la population à partir de 1990 en admettant que la population croît de façon continue (formule, représentation graphique – dans la même figure que sub 1.). b) Jérôme, grand buveur de bière et mathématicien amateur, a étudié la “décomposition” de la mousse d’une bière fraîchement servie. Après de longues soirées d’études passées au bistro du coin, il a constaté que, si au départ la mousse a une épaisseur de 4 cm, cette épaisseur diminue de 3,7% toutes les secondes. 1. Etudie l’évolution de l’épaisseur de la mousse seconde par seconde, pendant les 20 premières secondes (formule, tableau, représentation graphique). 2. Etudie l’évolution de l’épaisseur de la mousse en admettant que la mousse se décompose de façon continue (formule, représentation graphique – dans la même figure que sub 1.). 2) Définition des fonctions exponentielles a) Dans chacun des deux exemples précédents (§ 1), nous venons de “prolonger” le graphe ...

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LGL Cours de Mathématiques 2006
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Fonctions exponentielles et fonctions logarithmes
fiche professeur


1) Exemples introductifs

a) En 1990 la population mondiale était de 5,3 milliards. Elle croît chaque année de 1,8%.

1. Donne une description de l’évolution de la population année par année à partir de
(1)l’année 1990 jusqu’en 2040 (formule, tableau et représentation graphique ).

2. Donne une description de l’évolution de la population à partir de 1990 en admettant que
la population croît de façon continue (formule, représentation graphique – dans la même
figure que sub 1.).

b) Jérôme, grand buveur de bière et mathématicien amateur, a étudié la “décomposition” de la
mousse d’une bière fraîchement servie. Après de longues soirées d’études passées au bistro
du coin, il a constaté que, si au départ la mousse a une épaisseur de 4 cm, cette épaisseur
diminue de 3,7% toutes les secondes.

1. Etudie l’évolution de l’épaisseur de la mousse seconde par seconde, pendant les 20
premières secondes (formule, tableau, représentation graphique).

2. Etudie l’évolution de l’épaisseur de la mousse en admettant que la mousse se décompose
de façon continue (formule, représentation graphique – dans la même figure que sub 1.).


2) Définition des fonctions exponentielles

a) Dans chacun des deux exemples précédents (§ 1), nous venons de “prolonger” le graphe
n xd’une fonction nc∈→⋅a en celui d’une fonction x ∈  →⋅ca (a > 0 et c étant
deux constantes).

nIl semblerait donc qu’on ne puisse non seulement calculer des puissances entières a
n ∈ , voire rationnelles d’un nombre réel a > 0 , mais plus généralement des puissances ( )
xréelles de a, c.-à-d. des expressions de la forme a où l’exposant x est un nombre réel
quelconque.

(1) Tu utiliseras le Data/Matrix Editor de ta V200
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Rappelons que si a est un nombre réel strictement positif, alors
*0 1 na =1 aa= et aa= ⋅⋅aa…⋅a n ∈ ( )
n facteurs a
1−n *a = n ∈ ( )na
1
*n naa= n ∈ ( )
mm 1 m n *nn==a nm∈∈`], ( )()



b) Constatations

r• Nous savons donc évaluer les puissances rationnelles (ou fractionnaires) a , [avec
p
rr=∈()_],,p∈q`∈ ] d’un nombre réel a > 0 . Nous avons appris des règles de 0q
calcul permettant de manipuler ces puissances rationnelles.
p
−q• Comme −5 n'existe pas dans , a ne peut pas être défini pour a ∈ . 0
p
q+ xpq• ∀∈ax\_et ∀∈ :a==a> 0 0
p
q qxxq p• Si =∀1, ∈:a=1 =1 = 1 = 1=1
Ce dernier cas étant trivial, il ne nous intéresse plus dans la suite.



π
− 313 ( )2Mais que peuvent bien signifier des expressions telles que 4 ou ou encore 2 , 7
xc.-à-d. des expressions de la forme a où l’exposant x est un nombre irrationnel ?

Comment les évaluer? Quelles règles de calcul appliquer dans leur contexte?

La V200 “connaît” ces expressions. Elle sait en donner des valeurs approchées et sait même
les transformer moyennant certaines règles ...


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c) Propriété fondamentale I

Soit a un nombre réel fixé strictement positif et différent de 1.

La fonction f :_\→ se prolonge par continuité de façon unique en une fonction a
rra→
notée exp , avec: exp :\\→ , qui est dérivable sur et qui vérifie : a a
xx → a
xy+ xy ∀∈xy,:a =aa(1),
yxxy xya =a (2) et ( )
1 aa= (3)

+exp est appelée fonction exponentielle de base a où a ∈ \1 { }a 0

Cette propriété est admise.

d) Vérifiez les règles (1), (2) et (3) entraînent:

0a = 1 (4)
1− x∀∈xa: = (5) xa
xaxy−∀∈xy,:a = (6) ya



3) Premières propriétés des fonctions exponentielles

a) (Exploration des premières propriétés des fonctions exponentielles à l’aide de la V200)
Représente, à l’aide de ta V200, les graphes des fonctions fx( ) =exp pour aa
11123
a ∈ ,,,,,2,4,6 et réponds aux questions suivantes (une justification n’est pas 
64232
demandée, sauf indication contraire):
♦ Remplis le tableau suivant:
a = 1/6 a = 1/4 a = 1/2 a = 2/3 a = 3/2 a = 2 a = 4 a = 6
signe de fa
domaine de définition de fa
domaine des images de fa
sens de variation
limite si x tend vers -?
limite si x tend vers +?
asymptote(s)

♦ Par quel point passent les graphes de toutes les fonctions exp ? (Justifie!) a
♦ Que peut-on dire des graphes de exp et exp ? (Justifie!) 1a a
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Illustrations:
x xfx() =61
fx() =6
x xgx() =41gx() =4
x xhx() =21
hx() =2
x x2 3 fx() = fx() =1  1 3 2 
01<<a a > 1
xfx() =2
x
x1 −−1 xgx()== 2=2()2


b) Propriétés de la fonction exp a

+i ) Dom exp = et Im exp =\\, car ∀∈x :exp > 0 a aa0

ii ) exp est continue et dérivable sur a

iii ) Dérivée
′ ∀∈x :exp()xk= ⋅exp()x où k est une constante non nulle. () aa
La démonstration (facultative) et quelques exemples se trouvent en annexe

iv ) Si 0k >,exp est strictement croissante sur aa
Si k <0,exp est strictement décroissante sur
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v ) Limites et asymptotes

x + ∀∈ax1;→ : l i m e x p ( ) = l i ma= 0 Donc: AH ≡ y=→0 pour x−∞ ]
xx→−∞ →−∞
x limexp(xa) =lim =+ ∞ a→+∞ →+∞
→+ ∞>0
x xHexp (xk) a ⋅aaa et lim = lim==lim +∞
xx→+∞ →+∞x→+∞ 1
Donc: branche parabolique de direction (Oy ) pour x →+ ∞

x ∀∈ax]0;1 [ : lim exp ( )=lima=+∞
xx→−∞ →−∞
→+ ∞<0
x xHexp (xk) a ⋅a et lim = lim==lim −∞
→−∞ →−∞ →−∞xxx 1
Donc: branche parabolique de direction Oy pour x →−∞ ( )

x + limexp(xa) =lim =0 Donc: AH ≡ y=→0 pour x+∞ a
xx→+∞ →+∞

vi ) ∀∈a 1;→ : e x p est strictement croissante sur ] a
∀∈a 0;1 : exp est strictement décroissante sur ] [ a

vii ) Le point de coordonnées F 0;1 appartient à la courbe de chaque fonction ( )
exponentielle

(2) +viii ) Comme exp est une bijection de sur , on a: a 0
+ ∀∈ax\\\1,∀,y∈ : expx=expy⇔x=y {} ( ) ( )0 aa

+ix ) Comme 1∀>a : exp est une bijection strictement croissante de sur , a 0
on a: ∀∈1;→ , ∀ ,y∈ : e x px< e x py⇔x<y ] () ()aa

+x ) Comme ∀∈a 0;1 : exp est une bijection strictement décroissante de sur , ][ a 0
on a: ∀∈ax0;1 ,∀,y∈ : expx< expy⇔x>y ] [ () ()aa


(2) Définition: Une fonction f:A → B est appelée fonction bijective (ou bijection) de l’ensemble A sur l’ensemble B
ssi tout x ∈ A possède une et une seule image dans B et tout yB∈ possède un et un seul antécédent dans A .
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c) Dérivée de exp ( Démonstration facultative) a
Nous avons admis que les fonctions exp sont dérivables sur . a
'Mais que vaut exp x ? Nous allons donner une première réponse provisoire, le résultat ()a
définitif sera établi plus tard (cf. § 9).

♦ A l’aide du module “dérivation” de ta V200, calcule de manière exacte et de manière
xx′ ′  15 xx′′approchée :2,5, . Quelle conclusion peux-tu en tirer? ()()    27     

♦ Démonstration par utilisation de la définition de la dérivabilité d'une fonction:
x ′′exp est dérivable en x⇔=exp x a existe()() ()aa
x +hx xhxaa−⋅aa−ax ′′===Or:exp()x a lim lim() ()a
hh→→00
xh h 0aa −1() aa−x ==lim a⋅lim − 0
x=⋅a exp ′ 0()a
constante = ka
+ ′ xx′Do':ù ∀∈a \1:expx =a =a⋅k{}()( ) ()0 aa
♦ En comparant ce résultat général au résultat que nous fournit la V200, on constate que:
ka= ln , nombre que l'on définira plus loin. ()a
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4) La fonction exponentielle de base e

' 'Rappelons que exp x =⋅kxexp , ∀x ∈ , avec ka==exp 0 ln (cf. §3c). () () () ()aaa aa

−3a) Détermine, à l’aide de ta V200, une valeur approchée à 10 près de k pour a
1113 5 7a ∈ , , , , 2, ,3, , 4, . Remplis le tableau ci-après: 
4322 2 2
a k a
1 ... 4
1 ... 3
etc. ...


b) D’après ce qui précède il semble exister un a compris entre 2,5 et 3 tel que k =1. a0 0
−3Détermine, à l’aide de ta V200, un encadrement à 10 près de cette valeur a . 0


c) Nous admettons qu’il existe effectivement un a tel que k =1. 0 a0

Ce nombre remarquable, noté e , est appelé “le nombre d’Euler”.
. 2,718<<e 2,719
La fonction exponentielle de base e est encore appelée “fonction exponentielle naturelle” ou
(3)“fonction exponentielle népérienne” et est notée tout simplement exp . Ainsi:

exp :\\ →
xx →=exp(xe) .

Cette fonction est remarquable ne serait-ce que parce qu’elle est égale à sa propre fonction
dérivée:
x ′ x∀∈x :exp′xx=exp ou encore ∀∈x : ee= . () () ()


d) Le nombre e est, tout comme le nombre π , un nombre irrationnel: e ∈\_ \

1n
h1En outre, eh=+lim 1 =lim 1+ ()
nh→+∞ →0n

(3) parfois aussi “la fonction exponentielle”, étant donné que, parmi toutes les fonctions exponentielles, c’est elle qui est
la plus importante (voir aussi § 8).
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On utilise cette dernière formule pour obtenir une valeur approchée de e: e ≈ 2,71828

n
1n 1 +n
111 +=12()
21 +=,52
5
15 1+= 2, 488325
101
10 1+≈ 2,5937410
100
1100 1+≈ 2,70481100
.10 000
1.10 000 1 2,71815.10 000
..1000 000
1..1000 000 1+≈ 2,71828 ..1000 000



e) Etude et la représentation graphique de la fonction exp

1. Dom exp =

2. exp est continue et dérivable sur

3. C n'admet aucune asymptote verticale exp

4. exp n'est ni paire, ni impaire

5. lim exp(x)=⇒0 AH≡y=0 pour x→−∞(e≈2,72>1)
x →−∞
lim exp(x) =+ ∞ ⇒ pas d ' AH pour x+
x →+∞
Hexp(xx) exp( )
lim = lim = +∞ ⇒ BP de direction Oy pour x → +∞→+∞ →+∞x 1

′6. ∀∈xx:exp()=exp()x>0 pas d'extremum ()
′′7. ∀∈:exp =exp>0 pas de point d'inflexion, courbure positive () ()
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x −∞+ ∞
′exp (x) +
8. tableau de variation: ′′exp (x) +
exp(x) 0 + ∞

9. Tangentes à C exp
x ′ x′a. En général: Comme ∀x∈=:exp(xx)exp()=ee () ()
xx00 ty≡=e+ex−x ( )x 00

b. Cas particuliers:

00i. x=≡0:ty=e+e⋅x t≡y=x+1 00 0
11ii. x1:=e+e⋅x−1=e+e⋅x−e t≡y=e⋅x ( )01 1

10. Représentation: C exp





xCy≡==f()xe exp

















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Réponses succintes:

n
1) a) pn()=⋅5,31,018 n∈ ()
Définir un nouveau fichier de type Data dans le
(4)Data/Matrix Editor , appelé p.ex. populati(on) .



n p()nDéfinir
cs1 =eq(i,,0,50)
cc2=∗5.3 1.018 ^ 1 ( )





Pour la représentation graphique procéder
comme suit:
„ Plot Setup

ƒ Define





Confirmer par ¸

La V200 affiche la “définition” du Plot 1






Choix de la fenêtre grahique par ¥$
et représentation graphique par ¥%.

(4) On pourrait aussi étudier et représenter graphiquement la suite np∈→()n. Pour cela il faudrait passer en mode
SEQUENCE. Dans ce cas toutefois il ne serait pas possible de superposer le graphe de la suite np∈→()net celui
de la fonction x∈→ px() , comme on le fera à la page suivante pour montrer aux élèves que la fonction
np∈→()npeut être prolongée en la fonction x∈→ px() .
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