Forces centrales conservatives (étude générale)

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Forces centrales conservatives (étude générale)Extrait du Webphysiquehttp://www.webphysique.frForces centralesconservatives (étude générale)- Fiches de cours - Mécanique - Date de mise en ligne : dimanche 27 janvier 2008Description :Fiche résumé sur l'étude générale des forces centrales conservatives.WebphysiqueCopyright © Webphysique Page 1/8Forces centrales conservatives (étude générale)Fiche résumé sur l'étude générale des forces centrales conservatives : les intégrales premières dumouvement sont établies à partir des lois de conservation (moment cinétique et énergiemécanique).
Sommaire
    • Forces centrales conservatives• Conservation du moment cinétique• Conservation de l’énergie• Méthode générale de résolution : utilisation des intégrales premières du mouvement [Sommaire] Forces centrales conservativesDéfinitionConsidérons un point matériel , dans un référentiel , soumis à une force .Une force est dite centrale lorsque son support passe constamment par un point fixe appelé centre ou pôle de la force. Elle est dite attractive si la force est dirigée de vers , et répulsive si elle est dirigé de vers .Supposons que cette force s'écrit où et le vecteur radial des ...

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Forces centrales conservatives (étude générale)
Extrait du Webphysique
http://www.webphysique.fr
Forces centrales
conservatives (étude générale)
- Fiches de cours - Mécanique -
Date de mise en ligne : dimanche 27 janvier 2008
Description :
Fiche résumé sur l'étude générale des forces centrales conservatives.
Webphysique
Copyright © Webphysique Page 1/8Forces centrales conservatives (étude générale)
Fiche résumé sur l'étude générale des forces centrales conservatives : les intégrales premières du
mouvement sont établies à partir des lois de conservation (moment cinétique et énergie
mécanique).
<div style=" border-bottom:1px dotted silver; line-height:1; position:inherit; font-weight:bold; text-align:center;">Sommaire
<ul style="font-size:84%; list-style-image:none; list-style-position:outside; list-style-type:none; margin:0.3em 0.5em 0.1em
0.7em; padding:0pt;">
• Forces centrales conservatives
• Conservation du moment cinétique
• Conservation de l&#8217;énergie
• Méthode générale de résolution : utilisation des intégrales premières du mouvement

[Sommaire] Forces centrales conservatives
Définition
Considérons un point matériel
, dans un référentiel
, soumis à une force
.
Une force
est dite centrale lorsque son support passe constamment par un point fixe
appelé centre ou pôle de la force. Elle est dite attractive si la force est dirigée de
vers
, et répulsive si elle est dirigé de
vers
.
Supposons que cette force s'écrit

et
le vecteur radial des coordonnées sphériques. Alors la force est conservative (cf. fiche travail et énergie) car elle dérive d'une
énergie potentielle
. En effet, calculons le travail élémentaire
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car
est orthogonal à
.
Une force centrale conservative de la forme
dérive d'une énergie potentielle
telle que
Exemples
Il existe deux forces centrales très importantes en physique : la force de gravitation et la force de Coulomb.
La force de gravitation qui s'exerce entre deux masses ponctuelles situées en
et
est définie par :
où et
sont les masses gravitationnelles de
et
. Cette interaction est toujours attractive.
Si le point
(par exemple) est fixe dans le référentiel d'étude, on est alors en présence d'une force centrale de centre
. En appelant la distance
on a alors pour la force
Cette force dérive d'une énergie potentielle, appelée énergie potentielle de gravitation
où l'origine est choisie à l'infini.
La force électrostatique (dite de Coulomb) qui s'exerce entre deux charges ponctuelles placées en
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et
est définie par :

F.m
la permittivié du vide. Cette interaction est soit attractive (charges de signes opposés), soit répulsive (charges de même
signe).
Comme précédemment, si le point
est fixe par exemple, on est alors en présence d'une force centrale conservative qui dérive de l'énergie potentielle
électrostatique
avec
et l'origine de l'énergie potentielle à l'infini.

[Sommaire] Conservation du moment cinétique
On étudie un point matériel
, dans un référentiel galiléen
, soumis à une force centrale
.
Loi de conservation
Appelons
le pôle de la force centrale. Le moment cinétique en
de la particule
est donné par
. Le théorème du moment cinétique appliqué à
en
s'écrit
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puisque la force est centrale, donc colinéaire au vecteur position.
Dans un mouvement à force centrale de centre
, le moment cinétique en
est constant.
Cette constante du mouvement va fournir une intégrale première du mouvement, c'est-à-dire une relation entre vitesse et
position.
Planéité du mouvement
D'après sa définition, le moment cinétique est orthogonal à
et à
. Comme le moment cinétique est constant, on en déduit que les vecteurs position et vitesse appartiennent au plan
orthogonal au moment cinétique contenant
. Ce plan est défini par les conditions initiales du mouvement.
Dans un mouvement à force centrale, le mouvement est plan et s'effectue dans le plan orthogonal au moment cinétique défini
par les vecteurs position et vitesse à l'instant initial.
Dans le cas où le moment cinétique est nul, alors les vecteurs position et vitesse sont colinéaires : le mouvement est
rectiligne (si l'un des deux est nul, le point ne bouge pas).
Comme le mouvement est plan nous allons pouvoir nous ramener à un problème à deux degrés de liberté et nous utiliserons
les coordonnées polaires comme système de repérage (adapté au cas d'un centre fixe).
Constante des aires
Calculons le moment cinétique en coordonnées polaires

. La masse étant constante, on en déduit une intégrale première du mouvement, la constante des aires.
Pour un mouvement à force centrale, la conservation du moment cinétique donne une intégrale première du mouvement
appelée constante des aires. Elle est telle que
et est donc reliée aux conditions initiales
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Interprétation géométrique
L'aire balayée par le rayon vecteur
pendant
(intervalle de temps infiniment petit) est donnée par
Or, en polaires
, donc
D'où
L'expression précédente définit la vitesse aréolaire et permet d'énoncer la loi des aires.
Loi des aires : le rayon vecteur
balaye des aires égales pendant des temps égaux.
[Sommaire] Conservation de l'énergie
Désormais, nous nous occuperons uniquement de forces centrales conservatives.
Pour un système soumis à une force centrale conservative, l'énergie mécanique se conserve, ce qui fournit une seconde
intégrale première du mouvement : l'intégrale première de l'énergie (cf. fiche travail et énergie).
L'énergie mécanique s'exprime par
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On pose l'énergie potentielle effective
ce qui permet d'écrire
On constate alors que l'étude se ramène à celle d'un point matériel de masse , dont la position est décrite par un seul
degré de liberté , et soumis à une force conservative d'énergie potentielle
.
Nous savons alors que la nature du mouvement peut être de deux types, suivant la valeur de l'énergie mécanique et la forme
de
:
les états liés, pour lesquels le mouvement de
est borné entre deux valeurs de ;
les états de diffusion correspondants à un mouvement non borné :
peut s'éloigner à l'infini.

[Sommaire] Méthode générale de résolution : utilisation des
intégrales premières du mouvement
Les deux intégrales premières du mouvement obtenues par conservation du moment cinétique et de l'énergie mécanique
suffisent à déterminer l'équation de la trajectoire puisque le problème ne comporte que deux degrés de liberté et
.
L'intégrale première de l'énergie
donne
Le signe est choisi si
s'éloigne de
, autrement c'est le signe . En séparant les variables et en intégrant entre l'instants initial et l'instant on obtient
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Donc la fonction
est connue.
La constante des aires
donne
. En intégrant entre
et
Donc la fonction
est connue.
La fonction
est nécessairement monotone d'après la loi des aires.
Les lois de conservation permettent de résoudre entièrement le problème étudié dans le cas général.
Néanmoins les intégrales précédentes ne sont pas forcément possibles à calculer. Dans le prochain chapitre, nous étudierons
le cas des forces centrales newtoniennes, dont la force de gravitation et la force de Coulomb sont les principaux exemples.
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