IN101 - cours 05 - 15 octobre 2010

Matthieu Finiasz

Description

IN 101 - Cours 057 octobre 2011pr´esent´e parMatthieu FiniaszUn probleme concretRecherche de collisionspLe paradoxe des anniversaires dit que 365 ´el`eves sont suffisants(en moyenne) pour avoir une collision d’anniversaire,deux ´el`eves ayant leur anniversaire le mˆeme jour._Comment fait-on pour efficacement trouver ces “paires” d’´el`eves?1Un probleme concretRecherche de collisionspLe paradoxe des anniversaires dit que 365 ´el`eves sont suffisants(en moyenne) pour avoir une collision d’anniversaire,deux ´el`eves ayant leur anniversaire le mˆeme jour._Comment fait-on pour efficacement trouver ces “paires” d’´el`eves?M´ethode simple :on remplit un tableau avec les n dates d’anniversaire,on compare chaque ´el´ement `a tous les autres du tableau2complexit´e enΘ(n )._Peut-on faire mieux?2Un probleme concretRecherche de collisionspLe paradoxe des anniversaires dit que 365 ´el`eves sont suffisants(en moyenne) pour avoir une collision d’anniversaire,deux ´el`eves ayant leur anniversaire le mˆeme jour._Comment fait-on pour efficacement trouver ces “paires” d’´el`eves?M´ethode simple :on remplit un tableau avec les n dates d’anniversaire,on compare chaque ´el´ement `a tous les autres du tableau,2complexit´e enΘ(n )._Peut-on faire mieux? OUI_on trie le tableau,on le parcourt en regarant si 2 voisins sont ´egaux,complexit´e enΘ(nlogn)._3Commenttrier un tableauLe triDescription du problemeOn se donne un tableau de n ´el´ements (des entiers ...

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Extrait

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UNRTQ=DLMDAQNATD“ 1DAHDTAHD CD AQLLiUiQNU

Leparadoxedesanniversairesditque365el`evessontsusants , (enmoyenne)pouravoirunecollision d’annive saire r deuxele`vesayantleuranniversaireleme^mejour.

_

Comment

fait-on

pour

ecacement

trouver

ces

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de’l`eves

? 1

UN LiQLDADCAHDTAH1D “DTANQADMDL=QTR UiUNQ ? :  2 ?

Comment fait-on pourecacementve`le’d"seriap\esrcesouvetr

Methodesimple , onremplituntableauaveclescasreeria’dsvinndate on compare chaqueedsertuasuaelbatuntmelleusto`a _ complexiet en (c 2 ).

p Leparadoxedesanniversairesditque365el`evessontsusants (enmoyenne)pouravoirunecollision d’anniversaire , deuxele`vesayantleuranniversaireleme^mejour. _

Peut-on faire mieux

? :

p Leparadoxedesanniversairesditque365el`evessontsusants , (enmoyenne)pouravoirunecollision d’anniversaire deuxele`vesayantleuranniversaireleme^mejour. _

3

Methodesimple onremplituntableauaveclescadetnnvidsa’ireersa , , on compare chaqueeabutauletnemlleusto`asdreutsa complexieten(c 2 . ) _

Comment fait-on pourecacementuoevcrsep\iaer"sd’el`evesrt

_ Peut-on faire mieux ? OUI , ontrie le tableau onleparcourtenregarantsi2voisinssontegaux, complexietenclogc). _ (

DTAH1DAH ATD“DAQNLMDTR=QNU NQiUUADCDiLLQ

’QMMDN“ “TiDT aN “5=LD5a

D(UATiR“iQNaCTRQ , D=

On se donne un tableau decelments (des entiers par exemple) et unerelation d’ordre totale. oneectueuntri par comparaisonutilisant uniquement , lacomplexietestlenombredecomparaisons.

Les algorithmesenteelexicomptuneesonriatneml

Lesmeilleursalgorithmesontunecomplexieten

 

  c 2
.

(clog(c).

En autorisant plus que des comparaisons on peut parfois faire(c). ,

 L D M “ D 4 Ti

: x : iT5vDL=5 LDa0UDaS QM’DbRLDi“ Ni“iCDQNU

’QMRLDbiD“C5NULDRiTDA5U Tempsdecalculdanslepirecaspourlesenteresdetailleceex

’QMRLDbiD“MQcDNND Temps de calcul moyen sur toutes les enteres de taille

5

( max,(x). , c) = {x,jxj=cg

c.

X ( ( (x. , a c) =e c x),) , jxj=c

( e c )utseidenirtsbutiondeprobabiltieuslrsenerteiltadeesle

ceex

3T 9 ){ } } DRAH5T5Mı¸TNQaATDH5A5M`NAQRTa iNUDiR5TN 2i T“iQ { {

01

} h361\%)] 0 had,

00 00

0 iov*f=gb[fcg_bc[hh"idh* 1 idh&[&\ah,d 2 >cf "[0), [-b, [%%) 3 had 0 h361[], 4 \ 0 [-), 5 kM[_= ""\ >0 ()& " 6 h,]\163h0])%\163 7 \-,

h361\] > had

L’elmentistrangeemrapselii 1 premierseinttmre`dase(j)esl ou^teaupirei een mo i inesrerunelment c   yenn 2 , complexietenc 2
nversementtrie)dalenserip(saclbatiuae , complexietmoyenne en   c 2
aussi.

h36&idhb)

6 :

3Ti5 =aLLDU

L’iedeestdefaireremonterlesgrandseenm`atsnlataduulbael on parcourt le tableau en comparant l’elmentiaui et on+ 1 , lesinversesiencessaire _ , , a`landuparcoursledernierelment est le plus grand apr`esiparcours lesiplus grandsent`atssomenl.aln on faitc   uocrtesratalaelbstueitre.1ap

Complexiet:oneectue(c compa- ) () parcours comportant c raisons`achaquefois , letria`bullesaunecomplexietde   c 2
dans le pire cas et en moyenne.

, Pourameliorerunpeulesperformancesonarer^teletrid`esque l’undesparcoursn’inverseaucunelments. Ce tri ne fait que(c.eriaelbatnuta`jedupara)comssurison

7

3TiEaUiQN 2iA5 M5TAHD RQaT ” N `A5 M5TAHD RQaT N



Inesrerunemenlnsuntsdalbattuaeeiru^oc(tec) , fusionner deux tableaux de taille c 2 ico^uteauss(c).

Oncherche`aerduireleproble`me , on coupe le tableau en deux , ontriechaquemoitei on fusionne.

:

Lecuo^ttotalestceluidesfusions chaquefusioncuo^te(g   e), lecuo^ttotalet(clog( , sc) dans le pire cas et en moyenne.

: 8

3TiEaUiQN FaUiQNCDUUQaU-“5=LD5ab

Oncommenceparrecopier\dosa`dos"les2tableaux(cou^t



c) ( ,

puisonparcourtparlesdeuxboutsenavancantdupluspetitoc^et `achaquefois(cou^t(c) aussi).

 9