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UNIVERSIT PARIS 7-DENIS DIDEROTUFR DE MATH MA TIQUESDOCTORATSpØcialitØ:MathØmatiquesPrØsentØ parIdrisse KHEMARSystŁmes intØgrables intervenant engØomØtrie di Øren tielle et en physiquemathØmatiqueThŁse dirigØe par: FrØdØric H LEINSoutenue le 1 mars 2006 devant le jury composØ deM. Daniel BENNEQUINM. Olivier BIQUARDM. FrØdØric H LEINM. Fran ois LABOURIEM. Pascal ROMONM. Volodya ROUBTSOV2Table des matiŁres1 Surfaces isotropes de O et systŁmes intØgrables. 131.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 L’algŁbre des octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1 DØ nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 PropriØtØs de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Plans isotropes et Groupes opØrants . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.1 Analogie à l’aide des octonions . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.2 A la recherche de groupes agissant sur V . . . . . . . . . . 201.3.3 Action de G sur les plans de V=SO(2) . . . . . . . . . . . 231.3.4 DØcomposition de G et de son algŁbre de Lie. . . . . . . . 271.4 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29V1.4.1 Immersions conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29V1.4.2 DØcomposition de l’algŁbre de Lie. . . . . . . . . . . . . . 321.4.3 Equations associØes (linØaire et non linØaire) . . . . . . . . 341.5 Groupe de lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

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Langue English

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UNIVERSITÉ PARIS 7-DENIS DIDEROT UFR DE MATHÉMATIQUES
DOCTORAT Spécialité:Mathématiques
Présenté par Idrisse KHEMAR
Systèmes intégrables intervenant en géométrie différentielle et en physique mathématique
Thèse dirigée par: Frédéric HÉLEIN Soutenue le 1 mars 2006 devant le jury composé de
M. Daniel BENNEQUIN M. Olivier BIQUARD M. Frédéric HÉLEIN M. François LABOURIE M. Pascal ROMON M. Volodya ROUBTSOV
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Supersymmetric Harmonic Maps into Symmetric Spaces 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Definitions and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Supersymmetric Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 The caseM=Sn. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.3.3 The superspace formulation . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Lift of a superharmonic map into a symmetric space . . . . 2.4.1 The caseM=Sn. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
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32 34 36 36 37 39 41 41 42
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13 13 16 16 17 19 19 20 23 27 29 29
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Surfaces isotropes deOet systèmes intégrables. 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 L’algèbre des octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Propriétés de la multiplication . . . . . . . . . 1.3 Plans isotropes et Groupes opérants . . . . . . . . . . 1.3.1 Analogie à l’aide des octonions . . . . . . . . . 1.3.2 A la recherche de groupes agissant surV. . . . 1.3.3 Action deGsur les plans deV /SO(2). . . . . 1.3.4 Décomposition deG .et de son algèbre de Lie. 1.4 SurfacesV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Immersions conformesV. . . . . . . . . . . .  1.4.2 Décomposition de l’algèbre de Lie. . . . . . . . 1.4.3 Equations associées (linéaire et non linéaire) . . 1.5 Groupe de lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Théorèmes de décomposition de groupe . . . . 1.5.3 Représentation de Weierstrass . . . . . . . . . . 1.5.4 Potentiel méromorphe . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Le vecteur courbure moyenne . . . . . . . . . . . . . . 1.7 SurfacesωI-isotropes,-harmoniques . . . . . . . . . . 1.7.1 Le produit vectoriel deOet le groupeSpin(7) 1.7.2 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 SurfacesωI isotropes et harmoniques . . . . 1.7.4 Calcul du vecteur courbure moyenne . . . . . .
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49 49 50 57 57
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42 45 46 48
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matières
3
Table
des
2.4.2 The general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 The zero curvature equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Weierstrass-type representation of superharmonic maps . . . . . . 2.7 The Weierstrass representation in terms of component fields. . . 2.8 Primitive and Superprimitive maps with values in a 4-symmetric space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 The classical case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 The supersymmetric case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 The second elliptic integrable system associated to a 4-symmetric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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64 65 71 75
77 77 81
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Résumé
Notre thèse est divisée en 2 chapitres indépendants correspondant chacun à un article.
Dans le premier chapitre, nous définissons une notion de surfaces isotropes dansO, i.e. sur lesquelles certaines formes symplectiques canoniques s’annulent. En utilisant le produit vectoriel dansO, nous définissons une application:Gr2(O)S6de la grassmanienne des plans deOdansS6. Cela nous permet d’associer à chaque surfacesdeOune fonction: S6. Alors, nous montrons que les surfaces isotropes deOtelles queest harmonique sont solutions d’un système complètement intégrable. En utilisant les groupes de lacets, nous construisons une représentation de type Weierstrass de ces surfaces. Par restriction àHO, nous retrouvons comme cas particulier les surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires deR4. Par restriction à Im(H), nous retrouvons les surfaces CMC deR3.
Dans le second chapitre, nous étudions les applications supersymétriques harmoniques définies surR2|2et à valeurs dans un espace symétrique, du point de vue des systèmes intégrables. Il est bien connu que les applications harmo-niques deR2à valeurs dans un espace symétrique sont solutions d’un système intégrable. Nous montrons que les applications superharmoniques deR2|2dans un espace symétrique sont solutions d’un système intégrable, et que l’on a une représentation de type Weierstrass en termes de potentiels holomorphes (ainsi qu’en termes de potentiels méromorphes). Nous montrons également que les applications supersymétriques primitives deR2|2dans un espace 4-symétrique donnent lieu, par restriction àR2, à des solutions du système elliptique du se-cond ordre associé à l’espace 4-symétrique considéré (au sens de C.L. Terng). Ceci nous permet d’obtenir, de manière conceptuelle, une sorte d’interprétation supersymétrique de tous les systèmes elliptiques du second ordre associés à un espace 4-symétrique, en particulier du système intégrable construit au chapitre 1 (et plus particulièrement des surfaces lagrangiennes hamiltoniennes station-naires dans un espace symétrique).
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Introduction
L’objectif de cette thèse est d’étudier certains systèmes intégrables issus de la géométrie différentielle et de la physique mathématique. Au cours des dernières décennies la liste des systèmes complètement inté-grables s’est considérablement enrichie par des exemples fournis par la géométrie différentielle : surfaces à courbure moyenne constante, applications harmoniques à valeurs dans les espaces symétriques, surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires dans les espaces hermitiens symétriques, etc. pour les systèmes à deux variables ; connexions autoduales de Yang-Mills et métriques d’Einstein auto-duales, ou encore métriques hyperkählériennes pour des systèmes à 4 va-riables et plus. Parallèlement le rôle important que semblent jouer ces systèmes intégrables dans les théories quantiques des champs s’est confirmé, grâce no-tamment aux progrès importants qui ont été réalisés dans la compréhension des diverses dualités entre “quanta” et “solitons” depuis la dualité entre sin-Gordon et Thiring massif en dimension deux jusqu’aux théories des supercordes en di-mention 10, en passant par les monopoles de ’t Hooft-Polyakov en dimension 4. Ces résultats constituent un encouragement à rechercher d’autres systèmes intégrables, et surtout ceux qui possèdent une signification géométrique.
Notre thèse est divisée en 2 chapitres indépendants correspondant chacun à un article. Le premier concerne l’étude de certaines surfaces isotropes deR8 solutions d’un système intégrable et généralisant les surfaces hamiltoniennes sta-tionnaires deR4Le second concerne l’étude des applications supersymétriques. harmoniques définies surR2|2et à valeurs dans un espace symétrique, du point de vue des systèmes intégrables. Dans cette thèse, nous utilisons la méthode « DPW », pour obtenir une representation de type Weierstrass des systèmes intégrables que nous construi-sons. C’est la méthode développée par J. Dorfmeister, F. Pedit et H.-Y. Wu, pour les applications harmoniques à valeurs dans un espace symétrique ([8]). Cette méthode permet à l’aide de l’utilisation des groupes de lacets (cf. [26]) d’obtenir une représentation de type Weierstrass des applications harmoniques à valeurs dans un espace symétrique en fonction de données holomorphes. Concrè-tement, on a un algorithme qui permet à partir de donneés holomorphes (i.e.un certain nombre de fonctions holomorphes surCà valeurs dans un espace vecto-riel) de construire toutes les applications harmoniques à valeurs dans un espace
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symétrique. Ces applications sont donc solutions d’un système intégrable, plus précisèment du système elliptique intégrable d’ordre 1 associé à l’espace symé-trique considéré, au sens de Terng (cf. [29]). Expliquons ce que cela veut dire. Une fonctionudéfinie surR2à valeurs dans un espace symétriqueG/Hadmet un relèvementU:R2Gqui a une forme de Maurer-Cartan =U 1.dUqui vérifie alors l’équation de Maurer-Cartan (qui caractérise les formes de Maurer-Cartani.e.les 1-formes qui peuvent s’ecrireU 1.dUpour un certainU) :
d +[12
] = 0.
Ensuite, écrivant la décomposition de suivant la décomposition de Cartan de l’algèbre de Lie deG,g=g0g1(oùg0est l’algèbre de Lie deH), = 0+ 1, on introduit la forme de Maurer-Cartan prolongée
= 1 01+ +00 0 1
pourS1, avec 01= 1(z)dz, 010= 1(z)dz.Alorsu:R2G/H harmonique si, et seulement si, vérifie l’équation de courbure nulle :
d
+21[
] = 0.
est
Ainsi on obtient l’équation de courbure nulle pour une 1-forme à valeurs dans l’algèbre de Lie de dimension infinieg(lacets twistés deg). On dit alors – sui-vant Terng (cf. [29]) – que les applications harmoniques à valeurs dans l’espace symétriqueG/Hsystème elliptique du premier ordre associésont solutions du à l’espace symétriqueG/H(car dans le développement de en puissances du paramètre spectral,=P|k|nk ˆk, on an= 1). Et on peut alors appli- quer la méthode « DPW » pour obtenir une représentation de type Weierstrass (cf. [8]). Il y a quelques années, F. Hélein et P. Romon ont montré que les surfaces lagrangiennes hamiltoniennnes stationnaires dans dans un espace symétrique hermitienG/Hsont également solutions d’un système intégrable (cf. [19]). Les surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires dans une variété kählé-rienne sont des surfaces lagrangiennes qui sont des points critiques de la fonc-tionnelle d’aire pour une classe particulière de variation infinitésimale préservant la contrainte lagrangienne, à savoir les champs de vecteurs hamiltoniens à sup-port compact. L’équation d’Euler-Lagrange peut être formulée en fonction de l’angle lagrangien , une fonction à valeurs dansR/2Zdéfinie le long de la surface lagrangienne. Une surface lagrangienne est hamiltonienne stationnaire si, et seulement si, est harmonique. (Cette fonction permet notamment de retrouver la forme de Maslov par =1d .)  F. Hélein et P. Romon ont alors montré que : si:GGest l’involution sy-métrique associée àG/Halors il existe un automorphisme d’ordre 4 du groupe G,, tel que=2, et les surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires dansG/Hsont les solutions du(G )-système elliptique intégrable du second ordre (toujours au sens de Terng). Précisons cela.
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Soituune application d’un ouvert deR2dansG/HOn la relève par un relè-. vementU: G. Ecrivant la décomposition degCen somme directe de sous-espaces propres deT1,gC=kZ4gk(gkétant le sous-espace propre associé à la valeur propreeik /4), on décompose la forme de Maurer-Cartan =U 1.dU, =  1+ 0+ 1+ 2et on introduit la forme de Maurer-Cartan prolongée
 20+ =  2
 1
 1+ 0+
1+2 020.
Alorsuest une immersion conforme lagrangienne etUest un relèvement la-grangien deu(i.e.Uetuont le même angle lagrangien) si, et seulement si, 00 1= 0et 01ne s’annule pas. De plusuest hamiltonienne stationnaire si, et  seulement si, 1 d 2[+  ] = 0. C’est le premier exemple de système elliptique intégrable d’ordre 2. De plus on peut construire, là aussi, une représentation de type Weierstrass (cf. [19]).
Dans le premier chapitre, nous construisons des généralisations plus com-plexes dansR8du système intégrable précédent dansR4. Dans un premier temps, nous procédons par analogie. Nous montrons que la formulation du pro-blème dansR4à l’aide des quaternions, peut être reproduite dansR8à l’aide des octonions. Cela donne lieu à un système plus complexe car l’équation linéaire 4 = 0est remplacée par l’équation non linéaire4+|r|2= 0, oùest à valeurs dansS3Plus précisément après avoir défini une famille. {ωi1i7} de formes symplectiques canoniques deO, nous considérons les surfaces iso-tropes pour les 3 formes symlectiquesω1 ω2 ω3, que nous appelonssurfaces V; et à chacune d’elle,, nous associons de manière naturelle une fonction : S3. Alors on montre que les surfacesVtelles queest harmonique  sont solutions d’un système complètement intégrable (un système elliptique du second ordre). Nous construisons une représentation de type Weierstrass pour ces surfaces. Dans un deuxième temps, on montre que nous pouvons aller plus loin dans notre généralisation. En effet, en considérant le produit vectoriel deO, nous définissons une application:Gr2(O)S6, de la grassmanienne des plans de OdansS6. Alors nous montrons que les surfaces immergéesdeOtelles que :z7→(Tz)S6est harmonique (surfaces harmoniques) forment  un système complètement intégrable. Plus généralement, soitI&{1 ...7}alors les surfacesωI isotropes(i.e. isotropes pour chaque forme canoniqueωi,iI) dont le(qui est alors à valeurs dansSI=S(i /I,i>0Rei)'S6|I|) est har-monique, forment un système complètement intégrable. PourI={123}, on retrouve les surfacesV. Nous construisons donc une famille(SI)paramétrée parIde surfaces solutions d’un système intégrable, tous inclus, d’ensembles dansS, telle queIJimpliqueSJ SI. Par restriction àHde cette théo-rie, nous obtenons les surfaces harmoniques,ωI isotropesdeH. Alors (Gr2(H)) =S2et|I|= 01ou2. Pour|I|= 1on retrouve les surfaces lagran-giennes hamiltoniennes stationnaires deR4et pour|I|= 2, les surfaces spéciales
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lagrangiennes. Par restriction à Im(H), on retrouve les surfaces CMC deR3.
Dans le deuxième chapitre, on étudie les applications supersymétriques har-moniques du point de vue des systèmes intégrables. Nous noterons( x y1 2)les coordonnées du super espaceR2|2,(x y)étant les coordonneés paires et(1 2)les coordonnées impaires. Alors siMest une variété riemannienne nous écrirons un superchamp :R2|2M(i.e.une ap-plication paire deR2|2dansM) sous la forme
=u+1 1+2 2+
12F0
(1)
u12 F0sont les composantes de champs (cf. [7]) ;uest une application paire deR2dansM, 12sont des sections impaires deu(T M)etF0est une section paire deu(T M). Ainsiu F0sont paires tandis que 12sont impaires (donc leurs coordonnées anticommutent). Tout au long de ce deuxième chapitre, nous utiliserons à chaque fois, d’une part la formulation en termes de super espace et de superchamps, d’autre part la formulation en termes des composantes de champs, en nous efforcant pour chaque résultat de donner les deux formulations. L’équation des superchamps harmoniques :R2|2M, que nous dérivons à partir d’un lagrangien supersymétrique (qui peut être obtenu par restriction à R2|2du lagrangien supersymmétrique du-modèle surR3|2, cf. [7]) est alors
DrD 0 =
(2)
DDsont des champs de vecteurs surR2|2(en fait des sections de(TR2|2)C) donnés par 1 2 (D1 iD2)D=12(D1+iD2)D= D1 D2étant les champs de vecteurs invariants à gauche deR2|2, obtenus (par translation à gauche) à partir de12. On peut expliciter cette équation en termes des composantes de champs, nous obtenons alors un système qui laisse apparaitre un couplage entre les champsuet . Par exemple dans le cas d’une sphère,M=Sn, ce système s’écrit : 4rzuz=  zu+   zu rz14=h i  F0= 0
 où évidemmentrz=∂z huzi. On remarque que si l’on se restreint aux superchamps tels que = 0 F0= 0, on retrouve l’équation classique des appli-cations harmoniques à valeurs dansSn. Nous montrons alors que les applications supersymétriques harmoniques définies surR2|2à valeurs dans un espace symétrique sont solutions d’un système inté-grable, plus précisèment d’un système elliptique intégrable du premier ordre (au
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sens supersymétrique), et nous construisons une représentation de type Weiers-trass pour ces applications, en termes de potentiels holomorphes surR2|2(ainsi qu’en termes de potentiels méromorphes). Pour ce faire, nous devons surmon-ter, entre autres, deux difficultées. La première consiste à savoir caractériser les formes de Maurer-Cartan surR2|2, c’est ce qui est fait dans le théorème 2.5. A notre connaissance, ce théorème n’avait encore jamais été démontré dans la littérature. Nous n’en avons trouvé qu’un énoncé sans preuve dans [25]. La deuxième difficultée réside dans le fait que pour démontrer la surjectivité de la représentation de Weierstrass on a besoin de résoudre unD-problème (dans le cas classique – non supersymmétrique – on a besoin de résoudre un-problème, cf. [8]), c’est ce qui est fait dans la démonstration du théorème 2.9. En comparant le cas classique avec le cas supersymétrique, nous remarquons deux choses. Premièrement, si l’on choisit de représenter les formes de Maurer-|2 Cartan surR2, , par le couple( (D)( D))comme cela est permis d’après le théorème 2.5, alors on obtient une formulation des résultats analogue à celle du cas classique où l’on choisit de représenter les formes de Maurer-Cartan )). Deu par( (z)(zxièmement, les deux cas présentent un différence essen-tielle : alors que dansR2les 2-formes alternées sont engendrées pardzdz, dans R2|2l’espace vectoriel des 2-formes alternées est de dimension 8. Par exemple, d1d1n’est pas nulle. Ceci a pour conséquence que la forme de Maurer-Cartan prolongée a des termes en2et 2. On peut faire disparaitre ces termes en représentant une forme de Maurer-Cartan par le couple( (D)( D)), mais comme nous le verrons en explicitant la représentation de Weierstrass en termes des composantes de champs on ne peut pas se débarrasser complètement de ces termes. Ainsi ils constituent une différence essentielle entre le cas classique et le cas supersymétrique. D’ailleurs c’est justement l’existence de ces termes qui nous permet d’obtenir, de manière conceptuelle, une sorte d’interprétation supersymétrique de tous les systèmes elliptiques du second ordre associés à un espace 4-symétrique, en par-ticulier du système intégrable construit au chapitre 1 (et plus particulièrement des surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires dans un espace symé-trique). En effet, nous montrons que les fonctions super primitives à valeurs dans un es-pace 4-symétrique donnent lieu par restriction àR2à des solutions du système elliptique du second ordre associé à cet espace 4-symétrique. Pour cela nous avons besoin de construire une représentation de Weierstrass pour les applica-tions primitives. A notre connaissance, on ne trouve pas une telle construction dans la littérature où l’on se restreint (pour la représentation de Weierstrass) aux applications primitives de type fini (cf. [3]). Ensuite nous en déduisons une représentation de Weierstrass pour les applications super primitives.
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