le cours-p4 -Lp104
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Quatrième partieHydrostatique,hydrodynamique des fluidesparfaits105Chapitre 11LE THÉORÈME DE BERNOULLILe principedeconservationdel’énergie est trèsgénéral. Nousallonsmontrerqu’ilpermet d’établir le théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits incompressibles.11.1 Généralités sur l’écoulement des fluidesEn observant un petit morceau de bois emporté par un cours d’eau (ou par l’eaud’un caniveau que l’on nettoie), on distingue deux types d’écoulements.1. L’écoulement laminaire (ou lamellaire).Lorsque la vitesse n’est pas trop grande, le bout de bois emporté par le courantsuit une trajectoire bien définie; son mouvement est prédictible. Si vous lâchez un autrebout de bois du même endroit, il décrira la même trajectoire que le premier bout de bois.Latrajectoire du bout debois matérialise une"lignedecourant".Les lignes decourantsont les lignes suivies par un petit volume du fluide qui s’écoule.2. L’écoulement turbulent.Observez maintenant le mouvement du bout de bois derrière un galet qui a ffleure(oumettezlepiedsdanslecaniveau).Lesmouvementsontdésordonnéesetimprédictibles.L’écoulementestditturbulent.Unautreexempleestceluidesturbulencesquiapparaissentderrière une barrière de congère où les flocons de neige emportés par le vent matérialisentle mouvement de l’air.Dans ce cours, nous étudions seulement le régime laminaire.La particule de fluide qui passe en un point M à l’instant t est animée d’une→−vitesse V . Nous limitons notre étude au cas des régimes ...
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Extrait
hydro
Quatrième
partie
Hydrostatique, dynamique des parfaits
ß uides
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Chapitre 11 LE THÉORÈME DE BERNOULLI
Le principe de conservation de lénergie est très général. Nous allons montrer quil permet détablir le théorème de Bernoulli pour les ß uides parfaits incompressibles. 11.1 Généralités sur lécoulement des ß uides En observant un petit morceau de bois emporté par un cours deau (ou par leau dun caniveau que lon nettoie), on distingue deux types découlements. 1. Lécoulement laminaire (ou lamellaire). Lorsque la vitesse nest pas trop grande, le bout de bois emporté par le courant suit une trajectoire bien dé Þ nie ; son mouvement est prédictible. Si vous lâchez un autre bout de bois du même endroit, il décrira la même trajectoire que le premier bout de bois. La trajectoire du bout de bois matérialise une " ligne de courant " . Les lignes de courant sont les lignes suivies par un petit volume du ß uide qui sécoule. 2. Lécoulement turbulent. Observez maintenant le mouvement du bout de bois derrière un galet qui a ffl eure (ou mettez le pieds dans le caniveau). Les mouvement sont désordonnées et imprédictibles. Lécoulement est dit turbulent. Un autre exemple est celui des turbulences qui apparaissent derrière une barrière de congère où les ß ocons de neige emportés par le vent matérialisent le mouvement de lair. Dans ce cours, nous étudions seulement le régime laminaire . La particule de ß uide qui passe en un point à linstant t est animée dune −→ vitesse V Nous limitons notre étude au cas des régimes permanents . Cela signi Þ e que dans une région donnée du ß uide, les propriétés sont les mêmes à chaque instant. Par −→ conséquent V est indépendant du temps, de même que la masse volumique ρ au point ou que la pression P Attention ! Toute particule qui passe en a une vitesse bien dé Þ nie, toujours la même. Cependant, la vitesse dune particule de ß uide peut changer au cours de son trajet. Pensez aux voitures à la sortie de Paris sur lautoroute de louest. Si vous restez au tunnel de Saint-Cloud, vous constaterez que les automobiles ont toutes la même vitesse ( 10 km h ou moins, les jours dembouteillages !) mais si vous êtes dans la voiture votre vitesse ne sera pas toujours 10 km h (sauf lorsque vous passerez le tunnel de Saint-Cloud !). −→ En chaque point du ß uide, passe une ligne de courant. La vitesse V est tangente à la ligne de courant. Lensemble des lignes de courant qui traversent une surface S constitue " un tube de courant " . Si la section transversale du tube est assez petite, les vitesses au voisinage dun point A ou quelconque sont toutes pratiquement parallèles et de même norme. Dans ce cas le tube de courant est " un tube de courant élémentaire " .
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Le théorème de Bernoulli
Þ g. 11.1 : Tube de courant él émentaire. Les sections droites, sections du tube perpendiculaires aux lignes de courant (cest à dire aux vitesses), ont pour aire S et S Les vitesses en A et sont v et v Pendant le temps dt il entre dans le tube, en A le volume S v dt La masse volumique en A est ρ La masse qui entre dans le tube est donc ρ S v dt Dans le même temps il sort en la masse ρ S v dt La surface latérale du tube de courant est formée de ligne de courants, le ß uide longe cette surface et aucune matière ne la traverse. Le régime étant permanent, la masse de ß uide dans le tube de courant, entre S et S est constante, ce qui implique ρ S v dt = ρ S v dt . Cette relation est la relation de conservation du débit massique , Q m dans le tube. Q m = ρ S v = ρ S v (11.1) Pour un ß uide incompressible, la masse volumique ne dépend pas du point consi-déré : ρ = ρ := ρ . Dans ce cas la conservation du débit en masse équivaut à la conservation du débit en volume , Q , dans le tube. ρ = ρ := ρ ⇒ Q = S v = S v
Considérons un ß uide qui sécoule dans un tuyau cylindrique. Le plus souvent, le frottement du tuyau ralentit le ß uide et on peut même considérer que le ß uide colle à la paroi. La vitesse croît progressivement de la paroi vers le centre où elle est maximale.
Þ g. 11.2 : Ecoulement visqueux à faible vitesse. Le pro Þ l des vitesses est représenté sur la Þ gure 11.2. Les régions périphériques, lentes, freinent les régions centrales tandis que celles-ci plus rapides entraînent les régions
Le théorème de Bernoulli 109 −→−→ périphériques. Des forces de frottement, F et − F apparaissent sur les faces latérales du petit cylindre creux représenté sur la Þ gure 11.2. La force qui sexerce sur une surface latérale daire élémentaire dS est proportionnelle à dS Cette capacité du ß uide à produire des frottements internes est appelée " visco-sité " . Pour lutter contre la viscosité et assurer lécoulement permanent dans le tuyau, il faut fournir au ß uide un travail moteur. Dans la suite nous considérons des ß uides sans viscosité ; plus précisément nous supposons que le travail nécessaire pour combattre les frottements internes est négligeable. En labsence de viscosité, la vitesse dans un tuyau de section constante est uni-forme. Un tel tuyau dans son ensemble peut donc être considéré comme un tube de courant élémentaire, tel que nous lavons dé Þ ni plus haut, même si ses dimensions transversales ne sont pas petites. 11.2 Le théorème de Bernoulli Considérons un tube élémentaire de ß uide, limité à linstant t par les sections droites S ( t ) et S ( t ) A linstant t + dt la matière du tube sest déplacée. Le point a progressé de v dt et le point A de v dt
Þ g. 11.3 A linstant t + dt la même matière est comprise entre les sections S ( t + dt ) et S ( t + dt ) Lélément di ff érentiel dt étant in Þ niment petit, les aires S et S nont pratiquement pas varié ; les volumes V et V sont in Þ niment petits ; la vitesse de la matière peut y être considérée comme uniforme, de norme v et v A linstant t le tube compris entre S ( t ) et S ( t ) est la réunion de deux volume, le volume V et le volume V Le volume V peut être assimilé à un petit cylindre de masse ρ S v dt et dénergie cinétique 12 ρ ( S v dt ) ( v ) 2 dont lénergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre est ρ ( S v dt ) gz où g = k −→ g k est laccélération de la pesanteur tandis que z est laltitude du point A A linstant t + dt le même système matériel est la réunion des deux volumes V et V La matière contenue dans le volume V à linstant t + dt nest pas la même que la matière contenu dans le même volume à linstant t cependant le régime étant permanent, les énergies cinétiques et potentielles du volume V sont les mêmes aux deux instants. Le tableau ci-dessous où Q m = ρ S v = ρ S v est le débit en masse dans le tube, donne lexpression des énergies cinétique et potentielle des divers volume qui constituent le système. Létude des écoulements et des déformations des matériaux est un domaine de la physique appelé rhéologie . Les propriétés des matériaux sont complexes et leur description du point de vue rhéologique ne se limite pas seulement à lintroduction de la viscosité.
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Le théorème de Bernoulli én. cinétique én. potentielle t V (1 2) v 2 Q m dt gz Q m dt V E E p én. cinétique én. potentielle t + dt V (1 2) Q m v 2 dt gz Q m dt V E E p Les énergies mécaniques du système aux instants t et t + dt sont E m ( t ) et E m ( t + dt ) La variation dénergie mécanique est 1 2 E m ( t + dt ) − E m ( t ) = ½ 2 ¡ v − v 2 ¢ + g ( z − z ) ¾ Q m dt (11.2) La conservation de lénergie implique que cette variation dénergie mécanique doit être fournie au système pendant le temps dt . Cette énergie est le travail des forces de pression, les seules forces dont le travail na pas été pris en compte dans le calcul des énergies potentielles. La force qui agit sur S est P S où P est la pression en A Son travail est P S v dt où v dt est le déplacement du point dapplication de la force. Cette force est motrice. De même le travail de la force de pression en est − P S v dt (ce travail étant résistant, il est négatif). En remplaçant S v et S v par Q m ρ et Q m ρ lexpression du travail fourni au système sécrit δW = µ P − ¶ Q m dt (11.3) P ρ ρ La conservation de lénergie, qui prend ici la forme du théorème de lénergie mécanique, sécrit E m ( t + dt ) − E m ( t ) = W Pour un ß uide incompressible, on obtient la relation
21 ρv 2 + ρgz + P = 21 ρv 2 + ρgz + P Cette relation constitue le théorème de Bernoulli (un seul "i" sil vous plaît !). 11.3 Généralisation du théorème de Bernoulli Rappelons ici les résultats obtenus précédemment. La conservation de la masse (equ. 11.1) : Q m = ρ S v = ρ S v La variation dénergie mécanique entre deux instants voisins (equ. 11.2) : E m ( t + dt ) − E m ( t ) = © 12 ¡ v 2 − v 2 ¢ + g ( z − z ) ª Q m dt Le travail des forces de pression (equ. 11.3) : δW = µ Pρ − ρP ¶ Q m dt
Généralisation du théorème de Bernoulli 111 Nous considérons maintenant que lénergie interne par unité de masse de ß uide peut varier sur la ligne de courant. Lénergie interne des volumes V et V est donc u Q m dt et u Q m dt où u et u sont les énergies internes par unité de masse, respecti-vement en A et Supposons en outre quentre A et un moteur fournisse la puissance P au ß uide (éventuellement négative dans le cas où le système fournit de lénergie au lieu den consommer). La conservation de lénergie sécrit alors Q m ½µ 21 v 2 + gz + u + Pρ ¶ − µ 12 v 2 + gz + u + ρP ¶¾ = P En A la masse du volume V est ρ S v dt lenthalpie du volume V est dH = ρ S v dt u + P S v dt Lenthalpie par unité de masse est donc dH De même ρ S v dt := h = u + ρP en lenthalpie par unité de masse est u + P La conservation de lénergie sécrit donc ρ µ 12 v 2 + gz + h ¶ − µ 21 v 2 + gz + h ¶ = P Q m (11.4) Dans le cas des ß uides incompressibles, nous admettons que la masse volumique, ρ est uniforme dans tout le ß uide et que lénergie interne par unité de masse est constante le long dune ligne de courant. Cette hypothèse est légitime si on admet que lenvironne-ment moléculaire est le même en tout point, quelle que soit la pression. Dans ces conditions il vient h − h = P − P . On trouve alors ρ P µ 12 ρv 2 + ρgz + P ¶ − µ 12 ρv 2 + ρgz + P ¶ = Q (11.5) où Q est le débit en volume : Q = Q m ρ = S v = S v
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Chapitre 12 APPLICATIONS DU THÉORÈME DE BERNOULLI 12.1 Application à lhydrostatique Considérons un ß uide homogène au repos. On peut considérer quil sécoule avec une vitesse nulle selon des lignes de courant à notre convenance. Considérons deux points A et dans le ß uide. Nous imaginons une ligne de courant qui joint A et Nous appliquons le théorème de Bernoulli avec v = v = 0 Il vient P − P = ρg ( z − z ) := ρgh (12.1) où h est la di ff érence daltitude entre les points et A (cf. Þ g 12.1 a ). Cette relation constitue le théorème de Pascal (voir équ. 1.2 page 13).
Þ g. 12.1 : Théorème de Pascal. Immergeons un petit parallélépipède rectangle dans un ß uide de masse volumique ρ au repos ( Þ g. 12.1 ). Laire de la base (horizontale) est S Les forces qui sexercent sur les bases sont verticales ; elles ont pour norme F 1 = P 1 S sur la face supérieure et F 2 = P 2 S sur la face inférieure. Les forces latérales se compensent. La résultante de toutes les forces est donc une force verticale, F A rch dirigée du bas vers le haut, appelée " poussée dArchimède " : F A rch = ( P 2 − P 1 ) S avec P 2 − P 1 = ρgh Le volume du parallélépipède est Sh On obtient donc F A rch = ρ g V V est le volume de ß uide déplacé par le parallélépipède, ρ V est la masse de ce volume ; la poussées dArchimède est égale au poids du volume de ß uide déplacé . Cette propriété est générale, quelle que soit la forme du corps immergé. Attention ! Lexpression de la poussée dArchimède suppose que le volume im-mergé est complètement entouré par le ß uide. Sil repose au fond, seule la pression P 1 agît, créant une force qui pousse le corps vers le bas. Ainsi, si un baigneur colle son dos au sol dune piscine il se trouve plaqué au fond. A une profondeur de 2m, compte tenu
114 Applications du théorème de Bernoulli de la pression atmosphérique, sur une surface de 50 × 20 cm 2 la force est approximative-ment égale au poids sur Terre dune masse de 1200 kg (plus dune tonne !). Le baigneur ne pourrait pas se dégager. Fort heureusement un contact parfait entre le dos du baigneur et le sol de la piscine, sur une telle surface, est di ffi cilement réalisable. Considérons quelques exemples dapplication du théorème de Pascal. Premier exemple. La pression atmosphérique au niveau de la mer est voisine de P 0 = 10 5 Pa La masse volumique de lair dans latmosphère est généralement inférieure à ρ ' 1 3 kg m − 3 := ρ La di ff érence de pression atmosphérique ∆ P entre le niveau de la mer et un point daltitude h est donc inférieure à ρ g h Cette di ff érence est négli-geable lorsque ∆ P ρ g h P 0 Soit h 7600 m La pression atmosphérique peut donc être considérée comme constante lorsque h nexcède pas quelques dizaines de mètres (voire plusieurs centaines de mètres si la précision des calculs le permet). La pression atmosphérique dépend malgré tout de laltitude ; cette propriété est utilisée dans certains altimètres. Deuxième exemple. La Þ gure 12.2 ) représente deux liquides non miscibles dans un tube en U.
Þ g. 12.2 Le liquide le moins dense surnage ( ρ 1 ρ 2 ). Les points et D appartiennent au même ß uide de masse volumique ρ 2 ; ils sont dans le même plan horizontal ( h = 0) , les pressions en ces points, P et P D sont donc égales. Les points A et appartiennent au même ß uide de masse volumique ρ 1 Le théorème de Pascal fournit la pression en A sous la forme P = P − ρ 1 gh 1 De même P = P D − ρ 2 gh 2 Les points A et appartiennent également à latmosphère. La pression en A et est donc la pression atmosphérique : P = P = P 0 On déduit des relations précédentes ρ 1 h 1 = ρ 2 h 2 ce qui fournit la relation entre h 2 et h 1 Troisième exemple. Sur la Þ gure 12.2 ) nous avons schématisé une presse hy-draulique . Les points A et sont sur le même plan horizontal, ils appartiennent au même ß uide, la pression y est la même : P = P Cette relation est encore pratiquement véri Þ ée si la pression dans le ß uide est élevée et si la dénivelée entre A et est petite (voir le premier exemple ci-dessus, mutatis mutandis ). On énonce cette propriété : "Les ß uides −→ transmettent les pressions". Sur le piston en A on exerce la force F de norme F représentée sur la Þ gure. Cette force crée dans le ß uide la pression P = F S où S est la surface du piston. Cette pression est transmise en Le ß uide exerce alors sur le piston en la force F = = F S Pour S >> S il vient F >> F P S = P SS Certains crics hydrauliques employés dans les garages fonctionnent sur ce principe. La force F est exercée sur un petit piston au moyen dun levier. La pression est transmise
Application aux écoulements permanents 115 à un piston de surface beaucoup plus importante qui exerce alors une force capable de soulever un camion. Ce principe est celui des vérins hydrauliques. 12.2 Application aux écoulements permanents Bien que les ß uides réels ne soient pas parfaits ni que les régimes ne soient pas toujours laminaires, le théorème de Bernoulli fournit le plus souvent des ordres de grandeur convenables pour lestimation des vitesses et des pressions. Nous considérons ci-dessous divers exemples où g ' 10 m s − 2 est laccélération de la pesanteur. Exemple 1. Un ß uide sécoule dans un tube horizontal ( z = 0) de section constante. La vitesse découlement est donc uniforme ( V = te ) Le théorème de Ber-noulli implique que la pression, P est constante le long du tube. Cette pression peut être visualisée grâce à des tubes verticaux dans lesquels le poids de liquide immobile équilibre la force pressante latérale du ß uide en mouvement. Plus précisément, la pression P est égale à P 0 + ρgh où P 0 est la pression atmosphérique.
Þ g. 12.3 : Phénomène de Venturi. Si le tube se rétrécit, sa section passe de la valeur S à la valeur s La vitesse passe de la valeur V à la valeur v Le débit restant constant, il vient SV = sv La vitesse augmente : v = ( Ss ) V > V La pression passe de la valeur P à la valeur p Le théorème de Bernoulli sécrit : P +21 ρV 2 = p +21 ρv 2 ⇒ P − p = ρ g ∆ h =12 ρ õ sS ¶ 2 − 1 ! V 2 ∆ h = V 2 g 2 õ Ss ¶ 2 − 1 ! Le niveau baisse de la hauteur ∆ h (cf. Þ gure 12.3). Attention ! La pression baisse quand la vitesse augmente, cest à dire quand le tube est plus étroit. Ce phénomène est connu sous le nom de phénomène de Venturi. En réalité, les frottement que nous avons négligé entraînent une baisse de pression continue dans le tube. La quantité 21 ρv 2 + ρgz + P est appelée "la charge". Les écoulements réels saccompagnent dune perte de charge (voir la Þ gure 12.4).
Þ g. 12.4 : La perte de charge ⇒ h 2 h 1
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