Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques Emmanuel Risler, INSA de Lyon

Emmanuel Risler

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Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiques
Emmanuel Risler, INSA de Lyon
1 - Equations différentielles sur la droiteDéterminisme et équations différentielles
• Système S dont l’état peut évoluer dans le temps
• On peut considérer l’ensemble E de tous les états possibles du système
• Cet ensemble est appelé l’espace des états, ou espace des phases
• Si l’état du système est caractérisé par un nombre fini de quantités réelles, alors
n nl’espace des états est R ou un sous-ensemble de R
• On dit que le système évolue de façon déterministe si son état à un instant donné
détermine tous ses états futurs
• Dans ce cas, son état à un instant donné détermine également toutes ses vitesses
futures, et en particulier sa vitesse à ce même instant
x x3 3
?? ?
X(t)
x x2 2
x x1 1dx
(t) = V(x(t))
dtDéterminisme et équations différentielles (suite)
• A tout système déterministe, on peut associer un champ de vecteurs x->V(x) sur
l’espace des phases, c’est le champ des vitesses instantanées d’évolution du système
• L’évolution du système vérifie naturellement l’équation différentielle associée à ce
champ de vecteur
• Réciproquement, tout système dont l’évolution vérifie une telle équation
différentielle se comporte-t-il de façon déterministe ?
• Oui, c’est le théorème d’existence et d’unicité des solutions
• Le caractère déterministe de l’évolution du fait de l’équation différentielle peut être
illustré par la méthode d’Euler : x(t+dt) = x(t)+V(x(t)) dt
• Le système est dit autonome si le second membre de l’équation différentielle ne
dépend pas du temps (dans le cas contraire il est dit non autonome)
x2
dx
(t) = V(x(t))
dt
x
dx
(t) = V(x(t),t)
dt
V(x) x1Remarque complémentaire
Lorsqu’une équation fait intervenir plusieurs variables (espace des phases de dimension
supérieure ou égale à deux), on parle de système d’équations différentielles (par opposition à :
équation différentielle scalaire).
De nombreuses lois physiques (notamment en mécanique) s’écrivent naturellement comme des
équations différentielles (ou des systèmes) d’ordre deux (ou plus).
Mais on peut toujours se ramener à un système d’ordre un, dont les composantes
comprennent toutes les dérivées d’ordre inférieur à l’ordre de l’équation ou du système initial.
Exemple :
dx
2 = yd x
dt= f(x)
2dt
dy
= f(x)
dtObjet de la théorie des systèmes dynamiques
Etudier le comportement dans le temps des systèmes déterministes, notamment le
comportement asympotique lorsque t -> l’infini
• à temps discret : x(n+1)=f(x(n))
• à temps continu : dx/dt(t) = f(x(t))
En ce qui concerne les systèmes dynamiques à temps continu, régis par des équations
différentielles (et autonomes), la complexité du comportement dynamique que l’on peut
rencontrer est fortement contrainte par la dimension de l’espace des phases :
• dimension 1 : équilibres (et bifurcations d’équilibres)
•ion 2 : oscillations (solutions périodiques)
• dimension 3 et plus : comportements « complexes » (« chaotiques »)
Question : si on a un système dynamique avec « retard » de la forme : dx/dt = f(x(t-T)), quel
niveau de complexité peut-on rencontrer, si x est scalaire (dimension un) ?
Réponse : dans ce cas l’espace des phases est de dimension infinie, donc on peut avoir tous les
types de comportements.Equations différentielles en dimension un1. Linéaire
dx/dt = f(x) = ax, a>0
f(x)
xCroissance exponentielle
Accroissement linéaire :
X(t)
X(t+1) - X(t) = a . X(t)
dX/dt = a . X(t)
=> croissance exponentielle
Temps de Exemples
• Placement rémunéré à taux doublement
constant
• Population en environnement
(ressources) illimité
Croissance = 2% par an
temps de doublement : 35 ans
3% par an
temps de doublement : 24 ansPopulation mondiale depuis 10 000 ans
Source : Musée de l’HommeCroissance économique depuis un siècle
PIB mondial de 1900 à 2000
(reconstitution, car le PIB date de l’après-guerre), en dollars de 1990
x 20 environ
Source : Maddison, 1995