Mathematiques pour l'ingenieur - Rappels de cours - Methodes - Exercices et problemes avec corriges

Yves Leroyer

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OUTILSMATHÉMATIQUES 1DEBASERAPPELSDECOURS1.1 RAPPELSD’ANALYSEa) IntégralesgénéraliséesDéfinitions ∞ Rf (x)dx= lim f (x)dxR→∞a a b bf (x)dx= lim f (x)dx si f non bornée en x= ae→0a a+eSi ces limites existent, on dit que l’intégrale correspondante converge (ou est convergente),sinon elle diverge (ou est divergente).Exemplel’intégrale de Riemann (dans les deux cas ci-dessous on a a > 0):∞ 1• à l’infini dx converge si a > 1 et diverge sinonaxa a 1• en zéro dx converge si a < 1 et diverge sinon.ax0On en déduit un critèredeconvergencetrès utile :∞1• si pour x∼∞on a : f(x)∼ alors l’intégrale f(x)dx converge si a > 1 et diverge sinon;ax aa1• si pour x∼ 0 on a : f(x)∼ alors l’intégrale f(x)dx converge si a < 1 et diverge sinon.ax 0Par extension on définit (définition au sens standard) ∞ c Rf (x)dx = lim f (x)dx + lim f (x)dx pour c borné quelconque.R →∞ R→∞−∞ −R c b c−e bf (x)dx = lim f (x)dx+lim f (x)dx si f non bornée en x= c∈ ]a, b[e→0 e→0a a c+e•Chapitre1 OutilsmathématiquesdebaseOn utilise souvent une définition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de la partieprincipale (ou valeur principale) de Cauchy ∞ RPP f (x)dx = lim f (x)dxR→∞−∞ −R b c−e bPP f (x)dx = lim f (x)dx + f (x)dx si f non bornée en x= c∈ ]a, b[e→0a a c+eSi l’intégrale converge au sens standard elle converge aussi en partie principale et les deux défi-nitions donnent la même valeur de l’intégrale. Une intégrale ...

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Extrait

O UTILS MATHÉMATIQUES DE BASE

RAPPELS DE COURS

1.1 R APPELS D ’ ANALYSE a) Intégralesgénéralisées Définitions   ∞R f(x)d x=limf(x)d x R→∞ a a   b b f(x)d x=limf(x)d xsifnon bornée enx=a e→0 a a+e

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Si ces limites existent, on dit que l’intégrale correspondante converge (ou est convergente), sinon elle diverge (ou est divergente). Exemple l’intégrale de Riemann(dans les deux cas ci-dessous on aa>0) :  ∞ 1 • à l’infinidxconverge sia>1et diverge sinon a x a  a 1 • en zérodxconverge sia<1et diverge sinon. a x 0 On en déduit uncritère de convergencetrès utile :  ∞ 1 • si pourx∼ ∞on a:f(x)∼alors l’intégralef(x)dxconverge sia>1;et diverge sinon a x a  a 1 • si pourx∼0on a:f(x)∼alors l’intégralef(x)dxconverge sia<1et diverge sinon. a x 0

Par extension on définit (définition au sens standard)   ∞c R f(x)d x=limf(x)d x+ limf(x)d xpourcborné quelconque.  R→∞  R→∞ −∞ −R c   b c−eb f(x)d x=limf(x)d x+ limf(x)d xsifnon bornée enx=c∈]a,b[  e→0e→0  a ac+e

• Chapitre 1Outils mathématiques de base

On utilise souvent une définition alternative de ces intégrales généralisées dite au sens de lapartie principale(ou valeur principale) de Cauchy   ∞R PPf(x)d x=limf(x)d x R→∞ −∞ −R     b c−eb PPf(x)d x=limf(x)d x+f(x)d xsifnon bornée enx=c∈]a,b[ e→0 a ac+e Si l’intégrale converge au sens standard elle converge aussi en partie principale et les deux défi nitions donnent la même valeur de l’intégrale. Une intégrale peut converger en PP sans converger au sens standard. b) Séries Séries numériques On appelle somme partielle de rangNd’une série numérique de terme généralu n la somme : N  S N =u n n=0 La série converge et a pour sommeSsi la suiteS N a une limite bornée :S=limS N et on note : N→∞ ∞  S=u n n=0 Unecondition nécessairelimde convergence est queu n =0 ; la convergence de la série de terme n→∞ général|u n |entraîne celle de la série de terme généralu n qui est alors qualifiée d’absolument convergente. Exemples ∞  1 1. soitz(x)=(fonctionzde Riemann); cette fonction est définie (iela série converge) x n n=1 pourx>1; ∞  n 2. lasérie géométriquederaisonq:qest convergente pour|q|<1et a pour somme n=0 1 . 1−q

• Critères de convergence pour une série à termes positifs (u n 0) : u n+1 ®critère de d’Alembert : soitL=lim . SiL<; si1 la série convergeL>1 la série u n n→∞ diverge ;

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1.1. Rappelsd’analyse

1/n ®critère de Cauchy : soitL=lim (u n ) .SiL<; si1 la série convergeL>1 la série n→∞ diverge ; u n ®limcritère de comparaison : si=Lavec 0<L<∞alors les deux séries de terme n→∞ v n généralu n etv n sont de même nature. n Pour une série alternéeu n =(−1)a n aveca n >0 ona le critère de Leibniz : si à partir d’un rangNla suitea n est monotone décroissante etlima n =0 (condition nécessaire) alors la série n→∞ converge.

Séries de fonctions Le terme général est une fonction :x→u n (x). De ce fait la somme de la série est aussi une fonc tionx→S(x). Àxfixé on est ramené à une série numérique. La convergence de la série est alors assujettie à la valeur de la variable (convergence simple). On parle dedomaine de convergence. S’il existe une série numériqueconvergenteà termes positifsa n telle qu’à partir d’un rangNon a|u n (x)|a n ∀x∈ [ a,b] alors la série de terme généralu n (x) estuniformément (et absolument) convergentedans [a,b] et la somme de la série est une fonction continue dans cet intervalle (critère de Weierstrass).

n •Cas particulier : les séries entièresu n (x)=a n x a n Le domaine de convergence est l’intervalle ]−R,R[ oùR=lim estappelérayon de   a n+1 n→∞ convergencede la série (dansCle domaine de convergence est un disque de rayonR). Dans le domaine de convergence la somme d’une série entière est une fonction continue. La série est dérivable et intégrable terme à terme. Exemples de séries entières ∞ ∞   2n n 1 n x x=|x|<1 (−1)=cosx|x|<∞ 1−x(2n)! n=0n=0 ∞ ∞   n2n+1 x x n x =e|x|<∞ ( −1)=sinx|x|<∞ n! (2n+ 1)! n=0n=0 ∞  n x =−ln(1−x)|x|<1 n n=1

c) Équationsdifférentielles Il existe des méthodes générales de résolution dans un petit nombre de cas rappelés cidessous :

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• Chapitre 1Outils mathématiques de base

 •Équations du premier ordreF(x,y,y)=0 • les équations aux variables séparables : l’équation peut être mise sous la formef(y)d y=g(x)d x et intégrée directement ; • les équations linéaires : elles sont de la forme

 a 0 (x)y+a 1 (x)y=f(x)   a 1 (x) la solution générale est de la forme :y(x)=ay 1 (x) +y 0 (x) oùy 1 (x)=exp−d x a 0 (x) est une solution de l’équation sans second membre,aune constante arbitraire ety 0 (x) une solution particulière de l’équation complète, qui peut s’obtenir parvariation de la constante:  x  f(x)  y 0 (x)=y 1 (x)d x.   a 0 (x)y 1 (x) •Équations linéaires du second ordre à coefficients constants   a 0 y+a 1 y+a 2 y=f(x) r x L’équation sans second membre se résout en posanty(x)=eoùr∈RouCest déterminé par identification. La solution particulière de l’équation complète s’obtient par identification selon la forme du second membre ou par la méthode de variation de la constante.

1.2 L ES FONCTIONS UTILISÉES EN PHYSIQUE •Fonctionscontinuesoucontinues par morceaux, à dérivées continues ou continues par morceaux k Une fonction est de classeCsur un intervalleI(éventuellementR) si elle est continue surIainsi ∞ que seskpremières dérivées. Une fonctionCest indéfiniment dérivable. Une fonction continue par morceaux a des discontinuités de première espèce (de saut fini) et est continue sur les intervalles délimités par les discontinuités. Exemples 1 0 1. la fonction valeur absoluet→ |t|estCpar morceaux car elle est continue (C) et sa dérivée première est continue par morceaux; 2. la fonction (ou échelon) deHeaviside

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u:t→u(t)=0pourt<0 =1pourt>0

0 est continue par morceaux (ouCpar morceaux); 3. les fonctionscausalessont nulles pourt<0. Elles satisfont l’identitéf=ufoùuest la fonction de Heaviside.