Modèles GARCH et à volatilité stochastique - Université de ...

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Stationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Modèles GARCH et à volatilité stochastique
Université de Montréal
12 mars 2007
Jean-Michel ZAKOIAN
Université Lille 3 & CREST
Chapitre 1: Séries financières et modèles GARCH
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastique Stationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Modèles AutoRégressifs Conditionnellement Hétéroscédastiques
Engle (1982) :
"Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of
the Variance of U.K. Inflation," Econometrica, 50, 987–1008.
Generalized ARCH
Bollerslev (1986) :
"Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,"
Journal of Econometrics, 31, 309–328.
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastique Stationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Outline
1 Stationnarité, innovations, modèles ARMA
2 Propriétés des séries financières
3 Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastique Stationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
1 Stationnarité, innovations, modèles ARMA
2 Propriétés des séries financières
3 Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Laboratoire de statistique du CRM Modèles ...

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Stationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Modèles GARCH et à volatilité stochastique
Université de Montréal
12 mars 2007
Jean-Michel ZAKOIAN
Université Lille 3 & CREST
Chapitre 1: Séries financières et modèles GARCH
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastiqueStationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Modèles AutoRégressifs Conditionnellement Hétéroscédastiques
Engle (1982) :
"Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of
the Variance of U.K. Inflation," Econometrica, 50, 987–1008.
Generalized ARCH
Bollerslev (1986) :
"Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,"
Journal of Econometrics, 31, 309–328.
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastiqueStationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Outline
1 Stationnarité, innovations, modèles ARMA
2 Propriétés des séries financières
3 Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastiqueStationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
1 Stationnarité, innovations, modèles ARMA
2 Propriétés des séries financières
3 Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastiqueStationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Modèles stationnaires
Une série (X ) est stationnaire si ses propriétés probabilistes sontt
les mêmes que celles de la série (X ), pour tout entier h.t+h
Définition
(X ) est stationnaire au sens strict sit
(X ,X ,...,X ) a même loi que (X ,X ,...,X )1 2 k 1+h 2+h k+h
pour tout h et tout k≥ 1.
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastiqueStationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Stationnarité au second ordre
Définition
2Soit (X ) telle que EX <∞. La fonction moyenne de (X ) estt tt
μ (t) =E(X )X t
La fonction covariance de (X ) estt
γ (r,s) = Cov(X ,X )X r s
Définition
(X ) est stationnaire (au second-ordre) sit
(i) μ (t) est indépendante de t, etX
(ii) γ (t,t+h) est indépendante de t, pour tout h.X
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Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Fonctions d’autocovariance et d’autocorrélation
Définition
Soit (X ) une série stationnaire. La fonction d’autocovariance det
(X ) est définie part
γ (h) = Cov(X ,X ), h = 0,±1,±2,...X t t+h
La fonction d’autocorrélation de (X ) est définie part
γ (h)X
ρ (h) = = Cor(X ,X ), h = 0,±1,±2,...X t t+h
γ (0)X
Remarque : Fonctions paires
γ (h) =γ (−h), ρ (h) =ρ (−h).X X X X
Laboratoire de statistique du CRM Modèles GARCH et à volatilité stochastique6
6
Stationnarité, innovations, modèles ARMA
Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Bruit blanc
Définition
Un bruit blanc est une suite ( ) de variables centrées, de variancet
constante et non corrélées :
2 0E( ) = 0, Var( ) =σ , Cov( , 0) = 0, t =tt t t t
2Notation : ( )∼ BB (0,σ ).t
Fonction d’autocovariance :
2σ , h = 0
γ (h) =
0, h = 0.
On parle de bruit blanc fort si les sont centrées, de variance finie,t
identiquement distribuées et indépendantes.
Les bruits blancs jouent un rôle important pour la construction de
modèles plus sophistiqués.
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Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
Autocorrélations empiriques
En pratique on observe x ,...x :1 n
réalisation partielle d’une série (X ) supposée stationnaire.t
Pour étudier la dépendance, en vue de la sélection d’un modèle, un
outil important est la fonction d’autocorrélation empirique.
Définition
P
1 nLa moyenne empirique de x ,...x est x = x .1 n tn t=1
La fonction d’autocovariance empirique est
nX1
γˆ(h) = (x −x)(x −x), |h|<n.tt+|h|
n
t=1
La fonction d’autocorrélation empirique est
γˆ(h)
ρˆ(h) = , |h|<n.
γˆ(0)
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Propriétés des séries financières
Modèles GARCH : propriétés probabilistes
On montre que pour un BB fort, les ρˆ(h) sont approximativement
distribuées comme uneN(0,1/n) pour n grand.
Donc, pour un BB fort, environ 95% desρˆ(h) doivent tomber entre√
les bornes±1.96/ n.
0.06
0.04
0.02
2 4 6 8 10 12
-0.02
-0.04
-0.06
Autocorrélations empiriques d’un bruit blanc fort, pour n=5000.

En pointillés les bornes de significativité :±1.96/ n
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