MTH2302B plan de cours automme 2006

Bernard Clément

Description

1 Département de mathématiques et de génie industriel MTH 2302D – Probabilités et statistique TD-2: PROBABILITÉS DATE vendredi 22 janvier 2010 - 12h45 /13h45 LOCAL groupe 01 M-2203 Julien Hackenbeck LAMBERT groupe 02 B316.1 Walid MATHLOUTHI Source Hines, W.W., Montgomery, D.C., Goldsman, D.M. et Borror, C.M., (HMGB) Probabilités et statistique pour ingénieurs. et ceux sur le site WEB (W): http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH2302.htm (Exercices supplémentaires) remarque : généralement, le nombre d’exercices dans une séance de TD excède le temps disponible. 1. (HMGB 2.8) La demande quotidienne X d’un produit est définie par : x : -1 0 1 2 probabilité : 0,2 0,1 0,4 0,3 Une demande de -1 signifie qu’une unité vendue fut retournée. (a) Tracez le graphique de sa fonction de masse p (x). X (b) Déterminez sa fonction de répartition F (x) et tracez son graphique. X(c) Calculez sa moyenne et son écart type. 2. (HMGB 2.11) La fonction de densité f (x) d’une variable aléatoire est définie par : Xf (x) = k x si 0 ≤ x < 2 Xf (x) = k (4 - x) si 2 ≤ x < 4 Xf (x) = 0 si x < 0 ou si x > 4 X(a) Déterminez la valeur de k et tracez le graphique de la densité. (b) Déterminez la fonction de répartition F (x) et tracez le graphique. X(c) Calculez la moyenne et l’écart type. (d) Déterminez les percentiles (aussi appelés quantiles) d’ordre q pour ...

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• Langue: Français

Extrait

1

1

Source

H

ines, W.W.,

M

ontgomery, D.C.,

G

oldsman, D.M. et

B

orror, C.M., (

HMGB

)

Probabilités et statistique pour ingénieurs

.

et

ceux sur le

site WEB (

W

):

http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH2302.htm

(

Exercices supplémentaires

)

remarque

: généralement,

le nombre d’exercices dans une séance de TD excède le temps disponible.

1.

(HMGB 2.8)

La demande quotidienne X d’un produit est définie par :

x :

-1

0

1

2

probabilité :

0,2

0,1

0,4

0,3

Une demande de

-1

signifie qu’une unité vendue fut retournée.

(a)

Tracez le graphique de sa fonction de masse p

X

(x).

(b)

Déterminez sa fonction de répartition F

X

(x) et tracez son graphique.

(c)

Calculez sa moyenne et son écart type.

2.

(HMGB 2.11)

La fonction de densité f

X

(x) d’une variable aléatoire est définie par :

f

X

(x) = k x

si

0 ≤ x < 2

f

X

(x) = k (4 - x)

si

2 ≤ x < 4

f

X

(x) = 0

si

x < 0 ou

si

x > 4

(a)

Déterminez la valeur de k et tracez le graphique de la densité.

(b)

Déterminez la fonction de répartition F

X

(x) et tracez le graphique.

(c)

Calculez la moyenne et l’écart type.

(d)

Déterminez

les percentiles (aussi appelés quantiles) d’ordre q pour les valeurs suivantes

de

q:

0,05

0,10

0,50

0,75

0,95.

Définition: le percentile d’ordre q

(0 <

q

< 1) , noté x

q

, d’une variable aléatoire X est cette

valeur unique

x

q

qui satisfait l’équation

F

X

(x

q

) = q

c-à-d. x

q

= F

-1

X

(q)

3.

(W4.1)

Une variable aléatoire X a un écart type égal à 1 et sa densité de probabilité est une fonction

constante sur l’intervalle (-θ, θ) :

f

X

(x) = 1/2θ

si

- θ ≤ x ≤

θ

f

X

(x) = 0

si

x < - θ

ou

si

x > θ

(a)

Déterminez la valeur de θ.

(b)

Calculez la moyenne de X.

(c)

Déterminez

la fonction de répartition F

X

(x).

4.

(W4.5)

Un manufacturier d’appareils de télévision offre une garantie d’un an sur l’écran LCD.

Il estime que la durée (année) avant la première panne est une variable T dont la densité

de probabilité f

T

(t) est définie par :

f

T

(t) = 0,25 exp (- 0,25 *t)

si

t ≥ 0

f

T

(t) = 0

si

t < 0

(a)

Déterminez le pourcentage des appareils seront réparés durant la période de garantie?

(b)

Si une vente rapporte un profit de 200$ et que le coût de réparation est de 200$, quel est le

profit moyen réalisé?

Département de mathématiques et de génie industriel

MTH 2302D – Probabilités et statistique

TD-2: PROBABILITÉS

DATE

vendredi

22 janvier 2010

-

12h45 /13h45

LOCAL

groupe 01

M-2203

Julien Hackenbeck

LAMBERT

groupe 02

B316.1

Walid

MATHLOUTHI

2

2

5.

(W4.11)

Un lot de 10 articles contient 3 articles défectueux. On tire sans remise les articles un à la fois et

on examine à chaque tirage si l’article est défectueux ou non. Soit X la variable aléatoire représentant le

nombre d’articles tirés afin d’obtenir un deuxième article défectueux.

(a)

Déterminez la fonction de masse de probabilité p

X

(x).

(b)

Déterminez la fonction de répartition F

X

(x).

(c)

Calculez la moyenne et l’écart type.

6.

(W4.10)

Un ingénieur doit régler une machine qui produit r articles par heure. La

proportion

d’articles

défectueux est notée X et elle dépend de

r. Pour chaque article non défectueux on réalise un profit de 1$ et

pour chaque article défectueux, la perte est de - 20$. On a établit que la proportion d’articles défectueux X

possède une densité de probabilité définie par :

f

X

(x) = (1/1000) r

x

(1/1000)r - 1

si

0 <

x

< 1

f

X

(x) = 0

si

x <

0

ou

si

x > 1

(a)

Si on fixe r et

x, montrez que le profit par heure est égal à

r (1 - 21 x).

(b)

Si on fixe r, montrez que le profit moyen par heure est égal à

(1000r – 20 r

2

) / (1000 + r)

(c)

Pour quelle valeur de r

le profit moyen par heure moyen est-il maximal?

7.

(W 4. 13)

Une famille de densité de probabilité employée pour représenter la distribution des revenus X fut

développée par l’ingénieur et l’économiste italien Wilfredo Pareto (1843-1923). Cette distribution est

employée en ingénierie de la qualité pour ordonnancer les causes dans un problème de qualité. Elle donna

lieu à la célèbre règle du 80-20 qui stipule que 80% de la variabilité peut être expliquée par 20% des

causes. Cette distribution de probabilité est caractérisée par deux paramètres (k, θ) et la fonction de densité

suivante:

(a)

Déterminez la constante c en fonction de k et de θ.

(b)

Déterminez la fonction de répartition F

X

(x; k, θ).

(c)

Calculez P (2 < X < 3)

si k = 2 et θ = 1

(d)

Si k > 1, déterminez la moyenne de X et calculer sa valeur pour k = 2, θ = 1.

(e)

Si k > 2, déterminez l’écart type de X et calculer sa valeur si k = 2, θ = 1.

(f)

Déterminez

le q-ième quantile de X. Calculer le quantile d’ordre 0,8 si k = 2 et θ = 1.

8.

(W4.9)

Une molécule dans un gaz a une vitesse aléatoire V de densité f

V

(v) :

f

V

(v ) = c v exp(-v

2

)

si v ≥ 0

et

f

V

(v ) = 0

si v

< 0

(a)

Déterminez la constante c.

(b)

Déterminez la fonction de répartition de V.

(c)

L’énergie cinétique E d’une molécule de masse m est définie par

E = mV

2

/2

Calculez la probabilité que E < 8m.

f

X

(x; k, θ) = c / x

k + 1

si

x >

θ

θ > 0

k > 0

=

0

si

x < θ

densité Pareto

k = 2,

θ

= 1

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

fonction répartition Pareto k = 2,

θ

= 1

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

densité

f

X

k = 2

θ = 1

répartition F

X

k = 2

θ = 1