MTH2302B plan de cours automme 2006
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1 Département de mathématiques et de génie industriel MTH 2302D – Probabilités et statistique TD-2: PROBABILITÉS DATE vendredi 22 janvier 2010 - 12h45 /13h45 LOCAL groupe 01 M-2203 Julien Hackenbeck LAMBERT groupe 02 B316.1 Walid MATHLOUTHI Source Hines, W.W., Montgomery, D.C., Goldsman, D.M. et Borror, C.M., (HMGB) Probabilités et statistique pour ingénieurs. et ceux sur le site WEB (W): http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH2302.htm (Exercices supplémentaires) remarque : généralement, le nombre d’exercices dans une séance de TD excède le temps disponible. 1. (HMGB 2.8) La demande quotidienne X d’un produit est définie par : x : -1 0 1 2 probabilité : 0,2 0,1 0,4 0,3 Une demande de -1 signifie qu’une unité vendue fut retournée. (a) Tracez le graphique de sa fonction de masse p (x). X (b) Déterminez sa fonction de répartition F (x) et tracez son graphique. X(c) Calculez sa moyenne et son écart type. 2. (HMGB 2.11) La fonction de densité f (x) d’une variable aléatoire est définie par : Xf (x) = k x si 0 ≤ x < 2 Xf (x) = k (4 - x) si 2 ≤ x < 4 Xf (x) = 0 si x < 0 ou si x > 4 X(a) Déterminez la valeur de k et tracez le graphique de la densité. (b) Déterminez la fonction de répartition F (x) et tracez le graphique. X(c) Calculez la moyenne et l’écart type. (d) Déterminez les percentiles (aussi appelés quantiles) d’ordre q pour ...

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Langue Français

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1
1
Source
H
ines, W.W.,
M
ontgomery, D.C.,
G
oldsman, D.M. et
B
orror, C.M., (
HMGB
)
Probabilités et statistique pour ingénieurs
.
et
ceux sur le
site WEB (
W
):
http://www.cours.polymtl.ca/mth6301/MTH2302.htm
(
Exercices supplémentaires
)
remarque
: généralement,
le nombre d’exercices dans une séance de TD excède le temps disponible.
1.
(HMGB 2.8)
La demande quotidienne X d’un produit est définie par :
x :
-1
0
1
2
probabilité :
0,2
0,1
0,4
0,3
Une demande de
-1
signifie qu’une unité vendue fut retournée.
(a)
Tracez le graphique de sa fonction de masse p
X
(x).
(b)
Déterminez sa fonction de répartition F
X
(x) et tracez son graphique.
(c)
Calculez sa moyenne et son écart type.
2.
(HMGB 2.11)
La fonction de densité f
X
(x) d’une variable aléatoire est définie par :
f
X
(x) = k x
si
0 ≤ x < 2
f
X
(x) = k (4 - x)
si
2 ≤ x < 4
f
X
(x) = 0
si
x < 0 ou
si
x > 4
(a)
Déterminez la valeur de k et tracez le graphique de la densité.
(b)
Déterminez la fonction de répartition F
X
(x) et tracez le graphique.
(c)
Calculez la moyenne et l’écart type.
(d)
Déterminez
les percentiles (aussi appelés quantiles) d’ordre q pour les valeurs suivantes
de
q:
0,05
0,10
0,50
0,75
0,95.
Définition: le percentile d’ordre q
(0 <
q
< 1) , noté x
q
, d’une variable aléatoire X est cette
valeur unique
x
q
qui satisfait l’équation
F
X
(x
q
) = q
c-à-d. x
q
= F
-1
X
(q)
3.
(W4.1)
Une variable aléatoire X a un écart type égal à 1 et sa densité de probabilité est une fonction
constante sur l’intervalle (-θ, θ) :
f
X
(x) = 1/2θ
si
- θ ≤ x ≤
θ
f
X
(x) = 0
si
x < - θ
ou
si
x > θ
(a)
Déterminez la valeur de θ.
(b)
Calculez la moyenne de X.
(c)
Déterminez
la fonction de répartition F
X
(x).
4.
(W4.5)
Un manufacturier d’appareils de télévision offre une garantie d’un an sur l’écran LCD.
Il estime que la durée (année) avant la première panne est une variable T dont la densité
de probabilité f
T
(t) est définie par :
f
T
(t) = 0,25 exp (- 0,25 *t)
si
t ≥ 0
f
T
(t) = 0
si
t < 0
(a)
Déterminez le pourcentage des appareils seront réparés durant la période de garantie?
(b)
Si une vente rapporte un profit de 200$ et que le coût de réparation est de 200$, quel est le
profit moyen réalisé?
Département de mathématiques et de génie industriel
MTH 2302D – Probabilités et statistique
TD-2: PROBABILITÉS
DATE
vendredi
22 janvier 2010
-
12h45 /13h45
LOCAL
groupe 01
M-2203
Julien Hackenbeck
LAMBERT
groupe 02
B316.1
Walid
MATHLOUTHI
2
2
5.
(W4.11)
Un lot de 10 articles contient 3 articles défectueux. On tire sans remise les articles un à la fois et
on examine à chaque tirage si l’article est défectueux ou non. Soit X la variable aléatoire représentant le
nombre d’articles tirés afin d’obtenir un deuxième article défectueux.
(a)
Déterminez la fonction de masse de probabilité p
X
(x).
(b)
Déterminez la fonction de répartition F
X
(x).
(c)
Calculez la moyenne et l’écart type.
6.
(W4.10)
Un ingénieur doit régler une machine qui produit r articles par heure. La
proportion
d’articles
défectueux est notée X et elle dépend de
r. Pour chaque article non défectueux on réalise un profit de 1$ et
pour chaque article défectueux, la perte est de - 20$. On a établit que la proportion d’articles défectueux X
possède une densité de probabilité définie par :
f
X
(x) = (1/1000) r
x
(1/1000)r - 1
si
0 <
x
< 1
f
X
(x) = 0
si
x <
0
ou
si
x > 1
(a)
Si on fixe r et
x, montrez que le profit par heure est égal à
r (1 - 21 x).
(b)
Si on fixe r, montrez que le profit moyen par heure est égal à
(1000r – 20 r
2
) / (1000 + r)
(c)
Pour quelle valeur de r
le profit moyen par heure moyen est-il maximal?
7.
(W 4. 13)
Une famille de densité de probabilité employée pour représenter la distribution des revenus X fut
développée par l’ingénieur et l’économiste italien Wilfredo Pareto (1843-1923). Cette distribution est
employée en ingénierie de la qualité pour ordonnancer les causes dans un problème de qualité. Elle donna
lieu à la célèbre règle du 80-20 qui stipule que 80% de la variabilité peut être expliquée par 20% des
causes. Cette distribution de probabilité est caractérisée par deux paramètres (k, θ) et la fonction de densité
suivante:
(a)
Déterminez la constante c en fonction de k et de θ.
(b)
Déterminez la fonction de répartition F
X
(x; k, θ).
(c)
Calculez P (2 < X < 3)
si k = 2 et θ = 1
(d)
Si k > 1, déterminez la moyenne de X et calculer sa valeur pour k = 2, θ = 1.
(e)
Si k > 2, déterminez l’écart type de X et calculer sa valeur si k = 2, θ = 1.
(f)
Déterminez
le q-ième quantile de X. Calculer le quantile d’ordre 0,8 si k = 2 et θ = 1.
8.
(W4.9)
Une molécule dans un gaz a une vitesse aléatoire V de densité f
V
(v) :
f
V
(v ) = c v exp(-v
2
)
si v ≥ 0
et
f
V
(v ) = 0
si v
< 0
(a)
Déterminez la constante c.
(b)
Déterminez la fonction de répartition de V.
(c)
L’énergie cinétique E d’une molécule de masse m est définie par
E = mV
2
/2
Calculez la probabilité que E < 8m.
f
X
(x; k, θ) = c / x
k + 1
si
x >
θ
θ > 0
k > 0
=
0
si
x < θ
densité Pareto
k = 2,
θ
= 1
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
fonction répartition Pareto k = 2,
θ
= 1
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
densité
f
X
k = 2
θ = 1
répartition F
X
k = 2
θ = 1
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