Notion d'homotopie

Description

Jusqu’a` la section 3, le terme espace d´esigne un espace topologique quelconque, une fl`echef : X −→ Y entre espaces d´esigne une application continue, et on note Top la cat´egorie desespacesavecapplicationscontinues.Nousreviendrons`alasection3surlad´efinitiond’une«bonne»cat´egorie d’espaces topologiques.1. La notion d’homotopie1.1. R´etraction par d´eformation et homotopies. La topologie consid`ere comme ´equivalentsdeux espaces ayant la «mˆeme forme». La notion la plus intuitive correspondante est sans doutelaD´efinition 1.1.1 (r´etraction et r´etraction par d´eformation). Soit A⊂X un sous-espace de X.2– Une r´etraction de X sur A est une application r :X−→A satisfaisant r =r.– Une application continue r : X −→ A est une r´etraction par d´eformation de X sur A s’ilexiste une application continueF :X×I−→X(I d´esignant l’intervalle [0,1]) v´erifiantF(·,t) = Id ∀t∈I |A AF(·,0) = Id .XF(·,1) = r(·)D´efinissons plus g´en´eralement la notion d’homotopie entre deux applications continues :D´efinition 1.1.2 (homotopie). Une homotopie entre deux applications continuesf ,f :X−→Y0 1est une application continueF : X×I −→ Y(x,t) −→ f (x) =F(t,x)treliant f a` f . On dit que les applications f et f sont homotopes et on ´ecrit f ∼f .0 1 0 1 0 1Onv´erifieimm´ediatementquelarelationd’homotopieestunerelationd’´equivalencesurTop(X,Y).D´efinition1.1.3. On note[X,Y] l’ensembleTop(X,Y)/∼ des classes d’homotopie d’applicationsde X vers Y.D´efinition 1.1.4 (homotopie ...

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Extrait

Jusqu’`alasection3,letermeespaceue,uconqechenefl`´edgnsineeuacsppotegoloeuqileuq f:X−→Yee,otnntonepscarteeigesd´esppeaunnenoitacileunitnocTopalacdest´egorie espacesavecapplicationscontinues.Nousreviendronsa`lasection3surlad´efinitiond’une«bonne» cate´goried’espacestopologiques. 1.La notion d’homotopie 1.1..sthneioatieopotomcaitnoapdre´ofmrR´etropotaLnoceigolnestvilaerecsid`´equomme deux espaces ayant la«memeˆrmfoe». La notion la plus intuitive correspondante est sans doute la De´finition1.1.1raetr´(ationf)ormrd´eonpacaite´rtenrttcoi.SoitA⊂Xun sous-espace deX. –Uner´etractiondeXsurAest une applicationr:X−→Asatisfaisantr 2 =r. – Une application continuer:X−→Aseenutte´rferora´doipnartcondematiXsurAs’il existe une application continue F:X×I−→X (Ie´isngnadvalletl’inter[01]tnafiv)ire´  F(∙ t) |A = Id A ∀t∈I   F F ( ( ∙ ∙   )=0 )=1r Id (∙ X ) . De´finissonsplusg´en´eralementlanotiond’homotopieentredeuxapplicationscontinues: D´efinition1.1.2(homotopie).Une homotopie entre deux applications continuesf 0  f 1 :X−→Y est une application continue F:X×I−→Y (x t)−→f t (x) =F(t x) reliantf 0 `af 1 . On dit que les applicationsf 0 etf 1 tn´toriecomotepesostnohf 0 ∼f 1 . Onve´rifieimm´ediatementquelarelationd’homotopieestunerelationd’´equivalencesurTop(X Y). D´efinition1.1.3.On note[X Y]l’ensembleTop(X Y)/∼des classes d’homotopie d’applications deXversY. De´finition1.1.4(homotopie relative).SoitA⊂Xetf 0  f 1 :X−→Ydeux applications conti- nues. Une homotopieF:X×I−→Yreliantf 0 a`f 1 telle queF |A×I edantependnd´eestiIest apl´ehomotopierelativement`aA. On notef 0 ∼f 1 relA. pe ee un Aveccetteterminologie,unere´tractionpard´eformationr:X−→Adetiontsnuertcaree´X surAaoImdotope`h X tiverelaa`emtnA. 1.2.Equivalence d’homotopie.Remarquons que sii:A⊂Xetr:X−→Aertcaitnotsnuree´ pard´eformation,alors  r◦i ∼ dI= Id X A . i◦r Larelationder´etractionparde´formationn’estdoncpassym´etrique,onlasyme´triseenla D´efinition1.2.1qe´(aviucnel’hedotomieop).Une application continuef:X−→Yest une ´equivalenced’homotopies’ilexisteg:Y−→Xavec  g◦f∼Id X . f◦g∼Id Y 1

2 On dit aussi queXetYotnemmˆypet’hedotomeiponoteetonX'Y. Onv´erifieimm´ediatementquel’e´quivalenced’homotopieestunerelationd’e´quivalencesurles espacestopologiques.Sitoutere´tractionparde´formationestune´equivalencepard´eformation,la re´criproqueestfausse(c.f.exemple1.3.2).CependantdeuxespacesX,Ysont homotopiquement ´equivalentssietseulementsiilssontcontenusdansunmemeespaceZser´maorontiartenatcraptfe´d ˆ sur chacun d’entre eux : on peut prendre pourZle cylindreM f = (X×I) ` Y /(x1)∼f(x) (c.f. section??)n’delleuqe´eopmiqetred’homotuivalencpoeif:X'Y. D´efinition1.2.2(espace contractile).Un espaceXest dit contractile s’il a le type d’homotopie d’un point. D´efinition1.2.3(application homotopiquement triviale).Une applicationf:X−→Yest dite homotopiquementtrivialesielleesthomotope`auneapplicationconstante. Remarque1.2.4.itidnocseLneet:se´uqvilantessontonssuiva –Xest contractile. – Id X est homotopiquement triviale. – toute applicationf:X−→Yest homotopiquement triviale. – toute applicationf:Y−→Xest homotopiquement triviale. 1.3.Ilstlutirao-ionermat´efoparddeh’elcniuav´tqeceenerff´diladeonnoitcarte´rertne motopie. Lemme 1.3.1.SiXeformatictepard´iotnnousurpn´resartex∈X, alors tout voisinageUdex admet un sous-voisinageV⊂U,x∈Vtel que l’inclusionV⊂Xest homotopiquement triviale. De´monstration.SoitF:X×I−→Xune homotopie reliant Id X nocnnats’detgamie`al’applicatio x. AlorsF(x t) =xpour toutt∈I,F(X1) ={x}etF(∙0) = Id X . SoitUvoisinage dexnndo.´e PosonsV={y∈X /∀t∈I F(y t)∈U} ⊂U. AlorsVest un voisinage dexet l’inclusion V⊂Uest homotopiquement triviale.  Exemple1.3.2.emexetCetseeuqissalcelpurpme´tn[a`?nousn.16p.C8]sionerd´.xe,«peigne triangulaire»: le sous-espace deR 2 (muni de la topologie induite) X= ([01]× {0})∪ r∈Q∩[0,1] ({r} ×[01−r]) lelemmepr´ece´dentmontrequeXroamitnopera´dfer´etractse[0dentoitpourtsu1]× {0}mais sur aucun autre. En«recollant»ˆcbscpeoethe-edeceˆteeids«peigne»Xon obtient un espaceY quiestcontractilemaisnesere´tractepard´eformationsuraucunpoint. 2.CW-complexes Danscettesection,nousintroduisonsunecate´goried’espacestopologiques(appel´esCW-complexes) agr´eablesa`manipulercombinatoirement:cesontintuitivementlesespacesobtenusparrecollement decellules(disquesouvert)lelongdeleurbord(sphe`res),ceciinductivement par dimension crois- santesedetrˆ´ent’i.LCWesexelpmoc-dnnetaoisnrte´omeladettrpermstdee´tesrospi´prbromseeu de facon simple par induction. ¸ D´efinition2.0.3.On noteD n alobluuem´eedenit´eferR n irteeeuqruop´masstnedaanliucendidr etS n−1 =∂D n alpseorddt´ebeunih`erD n . Par cellule de dimensionnon entend un espace topologiquee n `haballeouveouetrhmoe´moroD n \S n−1 . p e

3 De´finition2.0.4(CW-complexes).UnCW-complexeXest un espace construit comme suit : (1)SoitX 0 tea,sirccadeenpsu´eelpp0-squelette deX. (2)Par induction on construit len-squeletteX n aptrried`aX n−1 en recollant desn-cellulese αn 1 via des applicationsφ α :∂D n α =S n− −→X n−1 : X n = (X n−1 a D n α )/(x∼φ α (x)∀x∈∂D n α ). α∈A n L’ensemble d’indicesA n est quelconque. Onv´erifieimme´diatementquepourtoutα∈A n l’application Φ α :D n α ,→X n−1 a D αn −→X n ⊂X α estcontinueetquesarestriction`alabouleouverteD αn \∂D αn ihmsseruosnhounsterpmoeom´ imagee n α . L’applicationΦ α ulelaceledeltiquerisicplioatarnct´acepats´leppaeee n α . (3)X=∪ n∈N X n est muni de la topologie faible : un sous-espaceY⊂Xest ouvert si et seuleme- ment siY∩X n est ouvert dansX n pour toutn∈N. Entermesd’applicationscaracte´ristique,onv´erifieaise´mentqu’unsous-espaceY⊂Xest ouvert si et seulement si pour toutα∈A=∪ n∈N A n Φgemaeir´ap,l α −1 (Y) est ouvert dansD n α . De´finition2.0.5.On noteCWlentbjsooregdoiesessteltnoac´talCW-complexes et les mor- phismes les applications continues entreCW-complexes. 2.1.Exemples. 1.UnCW-complexe de dimension 1 est un graphe. 2.eresph`LaS n =e 0 ∪e n u`o,e n iaev´echtaattseS n−1 −→e 0 . Autrement ditS n =D n /∂D n . 3.RP n =S n /(v∼ −vitoudtneenu’me´hes)eqtl`ereisphD n avec points antipodaux de∂D n identifi´es.Mais∂D n /(v∼ −v)'RP n−1 doncRP n =RP n−1 ∪e n avec recollementS n−1 −→ RP n−1 eluqordre2.Potientd’dnenonoitcudnira:itdu´e RP n =e 0 ∪e 1 ∙ ∙ ∙ ∪e n . On peut alors former l’union infinie RP ∞ =∪ n RP n  qui a une cellule en toute dimension. 4.eDamine`erisimalsp’eelireacCP n des droites complexes deC n+1 s’identifie au quotient de lasphe`reunite´S 2n+1 deC n+1 edlee´emtnshomarlept´ou.Te1rmnodeesxelpmocseite´hto S 2n+1 alentsoust´equiver(veuneuctitala`notecseretw p 1− |w| 2 )∈C n ×Ravecw <1. Cetterepre´sentationestuniquesi|w| 6= 1, ce qui fournit une cellulee 2n . Si|w|= 1 on obtientlequotientd’unesph`ereS 2n−1 ocseite´htomohse1,meorensdxelempolsrtaipCP n−1 . FinalementCP n =e 2n ∪CP n−1 avec recollement l’application quotient naturelleS 2n−1 −→ CP n−1 . Par induction CP n =e 0 ∪e 2 ∪ ∙ ∙ ∙ ∪e 2n  etCP ∞ est unCWtoendeut´egrirpa.-coxefomple’dnumre´ulelcele 5.quatorialeLcni’isule´noS 0 ⊂S 1  ⊂ ∙ ∙⊂ ∙S n n’est pas une inclusion de sous-complexes pour les structures deCW-complexes de l’exemple 2.Lepaouecd´tauqe´egedlairoS i en deux demi- h´emisphe`resfournituneautreCW-structureS i =S i−1 ∪e i ∪e i . Ce qui munit l’union infinie S ∞ d’une structure naturelle deCW-complexe. On montre facilement queS ∞ est contractile.