Notion de proportion - Cours

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• Publié par: Nujec
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• Langue: Français

Extrait

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THEME :



PROPORTIONNALITE






Notion de proportion :
En mathématique , une proportion est une égalité de deux rapports.
a c
L’écriture = s’appelle une proportion.
b d
6 4
Par exemple, l’écriture = est une proportion, les deux rapports étant, après simplification, égaux à
9 6
2
.
3
6 4
Remarque : En présence de la proportion = , nous pouvons dire que 6 est à 9 ce que 4 est à 6 .
9 6
Remarque : Vocabulaire
a c
Dans l’égalité = , a et d s’appellent les extrêmes et b et c les moyens.
b d

Moyen
Extrême a c
=
b d
Moyen Extrême


Propriété :
Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens .
Soit
a c
Si = , alors a d = b c
b d

Cette propriété est souvent connue sous le nom de " produit en croix ".

4 6
Exemple 1 : Les deux fractions et sont égales.
6 9
4 6
=
6 9
/ /4 2 2 2 6 2 3 2
Il suffit pour cela de simplifier les deux fractions : = = et = =
6 2/ 3 3 9 3 3/ 3
Nous constatons également que 4 9 = 6 6 ( produit en croix ) ·
·
1391 169
Exemple 2 : Les deux fractions et sont-elles égales ?
1177 143
Nous pouvons chercher à les simplifier ( si elles sont simplifiables ) mais cette recherche risque
d’être longue.
1391 169
Cherchons la valeur des deux « produits en croix ».
1177 143
Nous avons 1391 143 = 198913 et 1177 169 = 198913.
1391 169
Il y a égalité, donc les deux fractions sont égales : =
1177 143


Tableau de proportionnalité :

Ligne 1 a a'
Ligne 2 b b'

Ce tableau est un tableau de proportionnalité si les termes de la seconde ligne s'obtiennent en
multipliant ceux la première ligne par un même nombre ( appelé coefficient de proportionnalité ).

Il y a donc proportionnalité s’il existe un nombre k ( le coefficient de proportionnalité ) vérifiant :
b‘ = k a et b’ = k a’
Ce qui peut s’écrire également ( a et a ‘ non nuls ) :
b b'
= k et = k
a a'
Nous pouvons donc dire qu'il y a proportionnalité si les quotients obtenus pour tous les couples de
nombres situés dans une même colonne sont égaux.
b b'
Il y a donc proportionnalité si =
a a'

Exemple 1 :

Ligne 1 4 7
Ligne 2 20 35

Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
20 35
Nous constatons que = 5 et = 5 . Les différents rapports sont égaux au même nombre 5.
4 7
Le tableau est donc un tableau de proportionnalité.

Ligne 1 4 7 x 5
Ligne 2 20 35


Exemple 2 :

Ligne 1 7 9
Ligne 2 24,5 32,4

Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?
24,5 32,4
Nous constatons que = 3,5 et = 3,6 Les rapports ne sont pas égaux, donc ce tableau n’est
7 9
pas un tableau de proportionnalité.

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Un tableau du type
Ligne 1 a a'
Ligne 2 b b'
b b'
est un tableau de proportionnalité si =
a a'
Nous obtenons une proportion ( d’où le nom tableau de proportionnalité )
Par conséquent, ce tableau est un tableau de proportionnalité si b a' = b' a ( produit « en croix » )

Quatrième proportionnelle :

b b'
Dans l’égalité = on appelle quatrième proportionnelle l'un quelconque des 4
a a'
termes par rapport aux trois autres.


Exemple :

24 20
Déterminer la valeur de x qui vérifie = , c’est trouver la quatrième proportionnelle de cette
36 x
proportion.
Cette égalité peut également s’écrire de manière plus simple ( produit «en croix» )
24 x = 20 36
20 36 4 5 6 6
Soit x = = = 5 6 = 30
24 4 6

Comment utiliser la proportionnalité ?


Cinq objets coûtent 2,5 €. Quel est le prix de 7 objets ?


Nous savons que le prix d’un objet est proportionnel au nombre d’objets.

Méthode 1 : Recherche de la quatrième proportionnelle
Le prix des objets est proportionnel au nombre d'objets. Le tableau suivant est donc un tableau de
proportionnalité.

Nombre d'objets 5 7
Prix ( en € ) 2,5 ?
Colonne 2 : Nous cherchons à

déterminer le prix de 7 objets.

Nous inscrivons donc 7 dans la Colonne 1 : Cinq objets
ligne correspondant au nombre coûtent 2,5 €. Nous inscrivons
d’objets. Le but de l’exercice donc 5 dans la ligne
est de déterminer le nombre correspondant au nombre
qui doit remplacer le point d’objets et 2,5 dans la ligne
d’interrogation. correspondant au prix.


Pour pouvoir effectuer le calcul, nous remplacerons le point d’interrogation par la lettre x.
Nombre d'objets 5 7
Prix ( en € ) 2,5 x

Ce quatrième nombre que nous désirons connaître (nous connaissons, dans ce tableau de proportionnalité,
trois nombres, 5 ; 2,5 et 7) s’appelle la quatrième proportionnelle.
Pour déterminer ce nombre, il suffit d’employer « le produit en croix ».
Nous avons :

Nombre d'objets 5 7
Prix ( en € ) 2,5 x

5 . x = 2,5 . 7 ( le point représente ici le signe de multiplication pour éviter toute confusion avec la lettre x )
2,5 . 7 17,5
soit x = = = 3,5
5 5
Le prix de 7 objets est donc de 3,5 €.


Méthode 2 : Recherche du coefficient de proportionnalité
Revenons à l’exemple donné précédemment.
Le tableau de proportionnalité est le suivant :


Nombre d'objets 5 7
Prix ( en € ) 2,5 x

Comme ce tableau est un tableau de proportionnalité, les nombres de la seconde ligne sont obtenus en
multipliant les nombres de la première ligne par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Il suffit donc de déterminer ce coefficient de proportionnalité.

Nombre d'objets 5 7 ? Prix ( en € ) 2,5 x

2,5
Le coefficient est égal à : soit 0,5.
5
Nombre d'objets 5 7
0,5 Prix ( en € ) 2,5 x

Par conséquent, la valeur x cherchée est égale au produit de 7 par 0,5 , ce qui donne 3,5.
Le prix de 7 objets est donc de 3,5 €.
Méthode 3 : Règle de trois
C'est un tableau de proportionnalité "caché".
Reprenons le même exemple que précédemment :
Cinq objets coûtent 2,5 €. Quel est le prix de 7 objets ?

Il serait facile de répondre à cette question si l'on nous demandait de déterminer le prix de 10 objets,
ou de 15 objets. Il suffirait de multiplier le prix des 5 objets, c'est à dire 2,5 €, par deux ( pour 10
objets ) ou par trois ( pour 15 objets )
Mais comment "passer" de 5 à 7 ?
Le " truc " est de chercher le prix d'un objet. ( Cette méthode s'appelle le passage à l'unité )
Nous avons donc :

5 objets coûtent 2,5 €
: 5 : 5
1 objet coûte 2,5 : 5 , soit 0,5 €
x 7 x 7
7 objets coûtent 7 X 0,5 , soit 3,5 €

Nous pouvons donc conclure
Ce nombre est le
Le prix de 7 objets est donc de 3,5 €. coefficient de
Remarque : proportionnalité

déterminé dans la

méthode précédente.












Remarques concernant la proportionnalité ?

Remarque 1 :
Si k est le coefficient de proportionnalité de la première ligne vers la seconde ligne , alors le coefficient
1
de proportionnalité de la seconde ligne vers la première ligne est .
k

Ligne 1 a a’ 1x k x
Ligne 2 b b’ k

Remarque 2 :
2 + 3 = 5


Ligne 1 2 3 5 x 1,5
Ligne 2 3 4,5 7,5


3 + 4,5 = 7,5
Dans un tableau de proportionnalité, la somme ( ou la différence )de deux nombres de la première ligne
est « proportionnelle * » à la somme ( ou la différence ) des deux nombres correspondants dans la
seconde ligne. ( *le mot proportionnelle n’est pas totalement correct dans cette phrase. Un vocabulaire plus précis
est nécessaire pour exprimer de manière rigoureuse cette remarque )




2 x 2,5 = 5 Remarque 3 :
2 x 3 = 6


L